基于KPLS 和BA 的直線進(jìn)給系統(tǒng)伺服參數(shù)優(yōu)化

李鐸

（200093 上海市 上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院）

0 引言

相比于傳統(tǒng)旋轉(zhuǎn)電機(jī)，直線電機(jī)能夠直接將電能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能，不需要中間傳動(dòng)裝置的同時(shí)可以高效驅(qū)動(dòng)直線進(jìn)給系統(tǒng)。隨著現(xiàn)代制造技術(shù)的發(fā)展，高精尖數(shù)控機(jī)床對(duì)響應(yīng)性和精密性的要求日愈提高，直線電機(jī)因具有高精度、高速度、高加速度和高可靠性等優(yōu)勢(shì)，已廣泛應(yīng)用于高精數(shù)控機(jī)床[1-2]。

受到直線電機(jī)驅(qū)動(dòng)的高速和高加速進(jìn)給在提高加工效率的同時(shí)不僅降低了系統(tǒng)能耗，也提升了工件的加工精度。然而直線電機(jī)由于自身缺少中間緩沖機(jī)構(gòu)，其對(duì)各種干擾更加敏感，在運(yùn)行過程中易受到推力紋波、端部效應(yīng)、摩擦阻力等因素的影響，以致驅(qū)動(dòng)性能受限[3-5]。通常采用傳統(tǒng)的PID 控制策略可以初步解決上述問題，但是當(dāng)數(shù)控機(jī)床的加工精度和穩(wěn)定性要求進(jìn)一步提高時(shí)，常規(guī)PID 控制方式實(shí)現(xiàn)的性能往往不夠理想[6-8]。

目前多數(shù)結(jié)合單一智能算法進(jìn)行PID 參數(shù)優(yōu)化的研究仍需依賴仿真軟件模擬系統(tǒng)輸出作為優(yōu)化對(duì)象。本文采用結(jié)合兩種智能算法的方式以消除仿真模擬的離線和低效等缺點(diǎn)?；谥本€電機(jī)的力學(xué)和電磁學(xué)模型，分析了直線進(jìn)給伺服系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)性能的影響因素，選取上升時(shí)間和速度超調(diào)量作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，通過核偏最小二乘法(KPLS)建立的可靠回歸模型，應(yīng)用蝙蝠算法(BA)優(yōu)化伺服系統(tǒng)PID 參數(shù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該優(yōu)化方法在最大速度超調(diào)量的約束下，可有效辨識(shí)得到較隨機(jī)實(shí)驗(yàn)組上升時(shí)間更短的伺服PID 參數(shù)組合。

1 永磁同步直線電機(jī)數(shù)學(xué)模型

為構(gòu)建永磁同步直線電機(jī)的數(shù)學(xué)模型，首先對(duì)直線電機(jī)驅(qū)動(dòng)的進(jìn)給系統(tǒng)做出如下假設(shè)：

（1）忽略磁飽和的影響，認(rèn)為電機(jī)繞組自感與互感均為線性；

（2）忽略電機(jī)渦流和磁滯的損耗；

（3）不考慮頻率和溫變對(duì)繞組的影響；

（4）假設(shè)定子三相繞組在電機(jī)的磁隙間僅產(chǎn)生正弦磁勢(shì)；

（5）假設(shè)定子空載電勢(shì)為正弦波。

將永磁同步直線電機(jī)的三相坐標(biāo)系經(jīng)過Clark 和Park 變換后，即可在d-q 坐標(biāo)下研究電機(jī)的控制，得出直線電機(jī)的數(shù)學(xué)模型，其電壓方程如下：

以及磁鏈方程為：

式中：ud，uq——d 軸和q 軸的定子端電壓分量；id，iq——d 軸和q 軸的電流；Rs——永磁直線電機(jī)繞組的電阻值；ψd，ψq——d軸，q軸的磁鏈分量；ψf——永磁磁鏈的幅值；Ld，Lq——電機(jī)d 軸和q軸等效電樞的電感。

直線電機(jī)矢量控制策略是使直軸電流id=0，根據(jù)坐標(biāo)分解原則可達(dá)到交軸電流最大，即最大化電機(jī)輸出力矩，則有電壓平衡方程為：

由此可得電機(jī)輸出的電磁推力表達(dá)式為：

進(jìn)而建立永磁同步直線電機(jī)動(dòng)力學(xué)方程為：

式中：Fe——電機(jī)推力；Kf——電機(jī)推力系數(shù)；Fl——摩擦力；Fd——非線性因素?cái)_動(dòng)合力；m——?jiǎng)幼雍拓?fù)載總質(zhì)量。

直線電機(jī)伺服系統(tǒng)通常采用三環(huán)控制結(jié)構(gòu)，即如圖1 所示由電流環(huán)、速度環(huán)和位置環(huán)組成的3 層閉環(huán)PID 調(diào)節(jié)控制系統(tǒng)。其中電流環(huán)位于系統(tǒng)最內(nèi)層，用于保證繞阻電流對(duì)電流參考信號(hào)跟蹤的實(shí)時(shí)和準(zhǔn)確性，其輸入i 是速度環(huán)的輸出信號(hào)；速度環(huán)位于電流環(huán)和位置環(huán)之間，作用是消除速度和力矩波動(dòng)，提高系統(tǒng)抗負(fù)載擾動(dòng)的能力，其輸入u 是位置環(huán)的輸出信號(hào)；位置環(huán)位于最外層，用以提升電機(jī)跟蹤位置指令的準(zhǔn)確性，其輸入是運(yùn)動(dòng)指令X。圖1 中Kp、Kd、Ki分別為比例、微分和積分增益；Kpi為位置環(huán)比例增益；Kvi為電流環(huán)積分增益；L 為反電勢(shì)常數(shù)。一個(gè)確定系統(tǒng)中的動(dòng)子和負(fù)載總質(zhì)量m、固有控制成分1/s 不會(huì)產(chǎn)生變動(dòng)，直線電機(jī)選定之后推力系數(shù)Kf和電流環(huán)參數(shù)也不會(huì)改變，但是伺服參數(shù)（Kp、Kd、Ki）是可以進(jìn)行調(diào)節(jié)的，而且與加速時(shí)間和運(yùn)動(dòng)速度之間有著密切聯(lián)系。

圖1 直接進(jìn)給伺服系統(tǒng)控制框圖Fig.1 Control block diagram of direct feed servo system

2 混合KPLS 和BA 的參數(shù)優(yōu)化方法

2.1 偏最小二乘方法概述

偏最小二乘回歸（PLS）作為一種雙線性模型是KPLS 方法的基礎(chǔ)。PLS 基于自變量和因變量矩陣，綜合利用多元線性回歸、主成分分析和典型相關(guān)分析等數(shù)據(jù)處理方式，并且突破了數(shù)據(jù)容量的限制，適用于少量樣本回歸建模且回歸效果更加出色。

PLS 首先將觀測(cè)n 個(gè)樣本所得到的自變量和因變量矩陣分別假設(shè)為X={x1，x2，…，xp}和Y={y1，y2，…，yp}。為避免不同數(shù)據(jù)類型所具有的不同數(shù)量級(jí)和量綱對(duì)回歸模型的可靠性造成影響，預(yù)先將所有數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。根據(jù)PLS有：

為了對(duì)初始樣本進(jìn)行充分分析，PLS 分別從兩組變量提取第一對(duì)成分t1和u1，t1是自變量集合X 的線性組合，u1是因變量集合Y 的線性組合：

要求二者滿足協(xié)方差Cov(t1,u1)最大，即：

而后迭代計(jì)算直到第r 個(gè)主成分滿足精度要求，即可得到自變量集合X 和因變量集合Y 之間的偏最小二乘回歸方程。

2.2 核偏最小二乘回歸建模

核函數(shù)偏最小二乘（KPLS）是一種非線性建模方法，因其具備較強(qiáng)的非線性回歸能力廣泛適用于非線性數(shù)據(jù)處理[9]。原理是在PLS 中通過引入核函數(shù)將變量從低維空間映射到高維特征空間，使非線性問題轉(zhuǎn)化為高維空間的線性問題，從而建立非線性回歸模型。本文將直線進(jìn)給驅(qū)動(dòng)控制系統(tǒng)的伺服參數(shù)(Kp，Kd，Ki)作為自變量集合X，最大速度超調(diào)量σ 和上升時(shí)間t 作為因變量集合Y，應(yīng)用KPLS 方法建立關(guān)系模型?；貧w建模步驟如下：

（1）首先對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，假設(shè) n×3 的自變量矩陣為X=[Kp，Kd，Ki]和n×2的因變量矩陣為Y=[t，σ]。則標(biāo)準(zhǔn)化矩陣X0、Y0為：

（2）標(biāo)準(zhǔn)化處理后的數(shù)據(jù)xk∈R，k=1，2，…，N，通過如式（10）計(jì)算核矩陣K∈RN×N：

（4）對(duì)于本文因變量數(shù)據(jù)類型，采用徑向基函數(shù)為：

(5) 利用KPLS 算法計(jì)算得出回歸系數(shù)矩陣：

(6) 由T=[t1，t2，…，tN]和U=[u1，u2，…，uN]兩個(gè)得分矩陣可以得到：

（7）最后應(yīng)用式（14）得到上升時(shí)間和最大速度超調(diào)量估計(jì)值模型的計(jì)算式為:

2.3 基于蝙蝠算法的伺服參數(shù)辨識(shí)

蝙蝠算法（Bat Algorithm,BA）是Yang 于2010 年提出的一種群集智能算法，研究表明，它在解決工程優(yōu)化問題上效果優(yōu)于遺傳算法和粒子群算法[10]。本文應(yīng)用蝙蝠算法，在自變量集合X=（Kp，Kd，Ki）所生成的三維空間中搜索優(yōu)化伺服參數(shù)組合。在求解過程中，蝙蝠飛行的速度和位置按式（16）迭代更新：

式中：fi——蝙蝠i 發(fā)出的聲波頻率，頻率區(qū)間為 fi∈[ fmin，fmax]；——蝙蝠i 在t 時(shí)刻的位置；——飛行速度；X*——當(dāng)前搜索的全局最優(yōu)解；β——一個(gè)隨機(jī)數(shù)，β∈[0，1]。

式（16）表明蝙蝠發(fā)射的是波，即遵循波長(zhǎng)和速度關(guān)系公式v=λ×f。

蝙蝠剛開始搜索獵物時(shí)會(huì)發(fā)出高強(qiáng)度、低頻率的聲波，如此則可以探測(cè)更遠(yuǎn)的距離，便于搜索較大的空間；而在接近目標(biāo)獵物的過程中，蝙蝠的搜索空間也不斷減小，此時(shí)它會(huì)減小聲波強(qiáng)度并增大頻率，以便時(shí)刻掌握目標(biāo)的位置變化。聲波強(qiáng)度和頻率更新可用式（17）模擬：

2.4 優(yōu)化方法

本文針對(duì)直線進(jìn)給系統(tǒng)伺服參數(shù)的回歸建模和優(yōu)化流程設(shè)計(jì)如下：首先在固定位移的實(shí)驗(yàn)中，利用位移采集系統(tǒng)獲取不同伺服參數(shù)對(duì)應(yīng)的上升時(shí)間t 和最大速度超調(diào)量σ 數(shù)據(jù)。然后將伺服參數(shù)組合（Kp、Kd、Ki）和實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別作為自變量和因變量樣本建立統(tǒng)計(jì)樣數(shù)據(jù)庫(kù)，再按照2.2中的核偏最小二乘方法建立非線性回歸模型得到算式如下：

最后設(shè)定優(yōu)化約束條件為最大速度超調(diào)量不大于5 mm/s，應(yīng)用蝙蝠算法辨識(shí)優(yōu)化伺服參數(shù)。

3 實(shí)驗(yàn)研究

3.1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

為驗(yàn)證本文所提出優(yōu)化方法的可行性，搭建如圖2 所示實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，包括一個(gè)最大推力690 N、最大速度2 000 mm/s 和一個(gè)行程400 mm 的工作臺(tái)。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的伺服控制系統(tǒng)由Turbo PMAC2 ETH-Lite 運(yùn)動(dòng)控制卡和HAR-A12/100I 驅(qū)動(dòng)器構(gòu)成。位移采集系統(tǒng)由MCV-500 激光多普勒位移測(cè)量?jī)x和IPC1-400 高頻數(shù)據(jù)采集卡組成。

圖2 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)布局Fig.2 Layout of experimental platform

按照如上描述構(gòu)建得到一個(gè)完整且閉環(huán)的伺服控制系統(tǒng)。首先上位機(jī)發(fā)送運(yùn)動(dòng)指令給運(yùn)動(dòng)控制卡，控制卡規(guī)劃相應(yīng)的實(shí)時(shí)運(yùn)動(dòng)后發(fā)送運(yùn)動(dòng)信號(hào)給伺服驅(qū)動(dòng)器，驅(qū)動(dòng)器負(fù)責(zé)控制直線進(jìn)給系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)。同時(shí)編碼器測(cè)量實(shí)際位移并反饋到控制卡對(duì)比實(shí)際值和理論值，然后通過發(fā)送差值信號(hào)調(diào)節(jié)電機(jī)的運(yùn)動(dòng)誤差，以閉環(huán)形式實(shí)現(xiàn)直線電機(jī)的高精密驅(qū)動(dòng)控制。

3.2 實(shí)驗(yàn)方案與結(jié)果分析

因?yàn)橐谖灰乒潭ǖ臈l件下觀測(cè)上升時(shí)間以及最大速度超調(diào)的大小來反映直線電機(jī)驅(qū)動(dòng)性能的強(qiáng)弱，故參數(shù)設(shè)置如下：目標(biāo)距離10 mm，目標(biāo)速度100 mm/s，采樣率5 000/s，采集時(shí)間2 s?？紤]到初始樣本數(shù)據(jù)的均勻性和正交性，本文采用正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法對(duì)伺服參數(shù)組合進(jìn)行選定，首先由初步實(shí)驗(yàn)確定各自變量的取值范圍，然后借助SPSS 統(tǒng)計(jì)工具，設(shè)計(jì)出3 個(gè)因素×8個(gè)水平的正交表，其中，各水平因子取值情況見表1。

表1 因素和水平因子分布表Tab.1 Distribution of factors and horizontal factors

由所測(cè)得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，應(yīng)用核偏最小二乘方法構(gòu)建上升時(shí)間和最大速度超調(diào)量關(guān)于伺服參數(shù)的回歸模型。模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際值對(duì)比及誤差效果如圖3 所示，可見各項(xiàng)偏差均比較小，說明該方法所構(gòu)建的模型精度較高。而后在速度最大超調(diào)量不大于5 mm/s 的約束條件下，利用蝙蝠算法辨識(shí)優(yōu)化伺服參數(shù)得到的解為：Kp=12 187.18，Kd=2 467.72，Ki=7 998.68，對(duì)應(yīng)上升時(shí)間為29.47 ms。

圖3 模型預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際對(duì)比Fig.3 Comparison between predicted results of the model and actual results

為了驗(yàn)證蝙蝠算法所優(yōu)化辨識(shí)伺服參數(shù)的有效性，本文在相同的實(shí)驗(yàn)環(huán)境和條件下，選取100 組伺服參數(shù)組合進(jìn)行實(shí)驗(yàn)并比較得出的結(jié)果，其中一組對(duì)應(yīng)優(yōu)化后的參數(shù)，其余組合均為隨機(jī)匹配。得到上升時(shí)間和最大速度超調(diào)量的數(shù)據(jù)對(duì)比如圖4 所示。圖4 中A 點(diǎn)和B 點(diǎn)分別表示優(yōu)化參數(shù)組合所對(duì)應(yīng)上升時(shí)間和最大速度超調(diào)量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。比A 點(diǎn)上升時(shí)間更短的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的最大速度超調(diào)量均高于約束條件5 mm/s；而B 點(diǎn)代表的優(yōu)化參數(shù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果不僅滿足此條件，且在所有滿足此超調(diào)量要求的數(shù)據(jù)點(diǎn)中，優(yōu)于其余4 組的平均值48.9%，說明優(yōu)化伺服參數(shù)組合的驅(qū)動(dòng)性能表現(xiàn)較好。

圖4 評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)比效果示意Fig.4 Comparison effect of evaluation indexes

4 結(jié)論

本文研究了直線進(jìn)給系統(tǒng)伺服控制參數(shù)的優(yōu)化方法，選用上升時(shí)間和最大速度超調(diào)量作為綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)，在自構(gòu)建的直線進(jìn)給實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上開展了測(cè)試研究。應(yīng)用正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法生成有代表性的實(shí)驗(yàn)組合，并基于核偏最小二乘回歸方法建立伺服參數(shù)與所選評(píng)價(jià)指標(biāo)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系模型，采用蝙蝠算法優(yōu)化辨識(shí)伺服參數(shù)。通過實(shí)驗(yàn)分析，所建立的模型能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)上升時(shí)間和最大速度超調(diào)。進(jìn)一步隨機(jī)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：在滿足相同速度超調(diào)量約束的參數(shù)組合中，優(yōu)化組得出的上升時(shí)間優(yōu)于其余各組平均值48.9%，即代表驅(qū)動(dòng)性能比隨機(jī)樣本組更好，說明本文提出的基于核偏最小二乘與蝙蝠算法的直線進(jìn)給系統(tǒng)伺服控制參數(shù)優(yōu)化方法是可行的。