五點法在正、余弦型函數(shù)含參題中的應用

廣東省汕頭市聿懷中學(515041) 李 虹

五點作圖法就能高效的解決正、余弦型函數(shù)含參題. 它是數(shù)形結合思想方法的運用,簡單實用,學生只要找到三角函數(shù)中幾個關鍵點,就可以描繪出三角函數(shù)的簡易圖像,通過圖像問題就能迎刃而解,且解法簡捷,使復雜的三角問題簡單化,抽象問題具體化,能夠變抽象思維為形象思維,有助于把握數(shù)學問題的本質,它是數(shù)學的規(guī)律性與靈活性的有機結合.

1 含參單調性的問題

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解題模板: 第一步根據(jù)題意畫出第一零點,主題至少畫兩個周期.

解題心得: 本題在考查正弦型函數(shù)單調性,求解參數(shù)ω的問題,這類題通常是中檔題或者難題,學生用三角函數(shù)的單調區(qū)間去解題會遇到較麻煩的分類討論,學生不容易掌握該法. 用五點法畫圖,就會非常直觀的發(fā)現(xiàn)它的單調性與區(qū)間的關系, 輕松比較大小, 進而求出參數(shù)的值. 我們常常以“五點法”中的第一零點作為突破口,要從圖象的升降情況找準對稱軸的位置,要善于抓住特殊量和特殊點. 特別指出在該類題型中,常見的參數(shù)還有A,B,?,或者是動區(qū)間問題,解法與該題一樣,作圖會稍難.

2 含參零點的問題

例2(2019 新課標Ⅲ理12)設函數(shù),已知f(x)在[0,2π]有且僅有5 個零點. 下述四個結論:

其中所有正確結論的編號是( ).

A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①③④

【解析】列表、畫圖如下:

ωx+ π 5 0 1 2π 5π 11 2 π 6π x ?π 5ω 3π 10ω 24π 5ω 53π 10ω 29π 5ω y 0 1 0?1 0

解題模板: 第一步要明確函數(shù)的性質與條件,然后把與試題有關的點都描出來.

第二步觀察在定義域內零點的個數(shù),我們就可以得到解答需要的等式或不等式,進而求出相關參數(shù)的范圍.

第三步結合參數(shù)的范圍和圖像就可以解決試題中的所有答案.

解題心得: 本題是五點作圖法解決正、余弦型函數(shù)含參題的典型例題. 該題雖然是“2019 新課標Ⅲ理”選擇題的壓軸題,但我們通過圖像,能輕松得出該題的答案,相對其它方法會簡單得多. 數(shù)形結合對于解多選題會有得天獨厚的優(yōu)勢,我們可以通過一個圖像觀察函數(shù)的性質,可以極大的節(jié)約解題時間和提高解題準確度. 值得注意的是對于零點要從圖象的升降情況判斷其為“第一零點”還是“第二零點”.

3 含參正、余弦型函數(shù)值域的問題

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解題模板: 第一步把ωx+? 看做一個整體,找出關鍵的五個點,列表繪制出五點圖.

第二步注意把值域的最大值最小值標出.

解題心得:

五點作圖法解決正、余弦型函數(shù)含參題,該題是非常嚴格地按照五點法作圖求解,基本思想是把ωx+? 看做一個整體,根據(jù)定義域找值域的適合區(qū)間是一類常見的題型,要從圖象的升降情況找準函數(shù)的最大最小值的位置,這種題用五點法做的好處是: ①容易確定動態(tài)定義域所在位置或大致位置; ②最值點位置由圖就可以得到; ③最重要的是參數(shù)可以當作常數(shù)處理會避免繁雜的討論. 因此五點法是解這類題的不二方法.

4 含參正、余弦型函數(shù)對稱軸的問題

【解析】列表畫圖如下:

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解題模板: 第一步用五點法畫出一個周期的圖像.

第二步在y 軸右側畫出第一條對稱軸和第二條對稱軸.

綜上所述,“五點法”是數(shù)形結合思想的一部分,具有形象直觀,易于接受等優(yōu)點,且對于溝通知識間的聯(lián)系,活躍課堂氣氛,開闊學生思路,發(fā)展智能,提高數(shù)學水平有著獨到的作用,所以,我們要高效備考高考時,一定要讓學生熟練掌握“五點法”,特別是在解正、余弦型函數(shù)含參題是要優(yōu)先考慮“五點法”. 該法在解其它函數(shù)題時同樣很重要,在解決具體題目時可以根據(jù)需要增加或刪減點的個數(shù). 當然我們也要了解五點法的局限性,因為五點法只是大概圖形,往往沒辦法得到精準答案.