對(duì)一道有關(guān)動(dòng)點(diǎn)的軌跡題解法的探究

陳琳

立體幾何問(wèn)題的命題方式比較多，如判斷點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系、求空間角的大小、求空間距離的大小、與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的軌跡問(wèn)題等，其中與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的軌跡問(wèn)題的綜合性較強(qiáng)，對(duì)同學(xué)們的空間想象能力和抽象思維能力的要求較高.本文以一道題為例，談一談解答與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的軌跡問(wèn)題的兩種思路.

例題：如圖1，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠DAB=60°，PA=PD，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD，點(diǎn)Q是△PBC內(nèi)（含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且DQ⊥AC，則點(diǎn)Q所形成的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為_____.

本題不僅考查了四棱錐的特征和性質(zhì)、面面垂直的性質(zhì)定理，還考查了與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的軌跡問(wèn)題，難度較大.解答本題，需首先根據(jù)題意明確各點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，確定動(dòng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡，建立與動(dòng)點(diǎn)Q相關(guān)的關(guān)系式.本題有以下兩種解題思路.

一、利用平面幾何知識(shí)求解

運(yùn)用平面幾何知識(shí)解答立體幾何中與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的軌跡問(wèn)題，關(guān)鍵在于將點(diǎn)、線、面之間空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化到某個(gè)平面中，將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題，借助平面幾何知識(shí)，如勾股定理、點(diǎn)到直線的距離公式、正余弦定理、等邊三角形的性質(zhì)等來(lái)解題.對(duì)于本題，我們可以根據(jù)題意添加合適的輔助線，將四棱錐中的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化到△PAC、△MOC、△BCM中，再運(yùn)用勾股定理、余弦定理、直角等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)求得點(diǎn)Q所形成的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度.

解：連接BD交AC于點(diǎn)O ，在PC上取一點(diǎn)M，連接MB、MD，使得MD⊥AC，如圖2所示，

∵DM⊥AC ， AC⊥BD ， DM？BD=D ，

∴AC⊥平面DBM ，

∴只要使點(diǎn)Q在平面DBM與側(cè)面PBC的交線上即可，即點(diǎn)Q的軌跡是線段BM，連接MO ，

∵直線AC⊥平面DBM ，

∴AC⊥MO ，∴△MOC為直角三角形，

取AD中點(diǎn)N ，連接PN，BN ，

∵△PAD是直角等腰三角形，△BAD是等邊三角形，

∴AD⊥PN ， AD⊥BN，

又PN？BN=N ，平面PAD⊥平面ABCD ，平面PAD？平面ABCD=AD ，

∴AD⊥平面PNB ， PN⊥平面ABCD，

二、借助空間向量法求解

空間向量法是解答立體幾何問(wèn)題的常用方法.運(yùn)用空間向量法解題，要根據(jù)已知點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)空間向量的運(yùn)算來(lái)求得問(wèn)題的答案.對(duì)于本題，我們根據(jù)題意可以確定AC⊥平面BDM，于是以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸、OB為y軸建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系，給各個(gè)點(diǎn)、線段賦予坐標(biāo)、向量，運(yùn)用空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則、空間向量基本定理以及模的公式求得問(wèn)題的答案.

解：如圖3，連接BD交AC于點(diǎn)O，

∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，

在PC上取一點(diǎn)M，連接MD，MB ，

∴DM⊥AC ，又AC⊥BD，BD？DM=D ，

∴AC⊥平面BDM ，則點(diǎn)Q的軌跡為BM，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系.

雖然立體幾何中與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的軌跡問(wèn)題較為復(fù)雜，但是我們只要將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題，利用平面幾何知識(shí)求解，或建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)空間向量運(yùn)算來(lái)求解，也能使問(wèn)題順利得解.相比較而言，利用平面幾何知識(shí)求解的過(guò)程較為復(fù)雜，借助空間向量法解題的思路較為簡(jiǎn)單但運(yùn)算量較大.同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)可根據(jù)解題需求選擇最優(yōu)的解題方案.

（作者單位：江蘇省泰興市第一高級(jí)中學(xué)）