湍流熱對流系統(tǒng)中粗糙壁面對流動(dòng)結(jié)構(gòu)的影響

陽建林 張義招 周 全

(1.上海大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院, 上海 200444;2.上海大學(xué)上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所, 上海 200072)

湍流作為一種流體流動(dòng)現(xiàn)象存在于自然界中, 我們生產(chǎn)生活中見到的流體流動(dòng)絕大部分都處于湍流狀態(tài).Rayleigh-B′enard(RB)湍流熱對流是抽象出來的研究對流問題的經(jīng)典流體力學(xué)模型, 研究RB 湍流熱對流可以理解湍流運(yùn)動(dòng)的物理本質(zhì).RB湍流熱對流的研究最早可以追溯到20 世紀(jì)初, 1900 年B′enard[1]進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究, 1916 年Rayleigh 等[2]在理論上對浮力驅(qū)動(dòng)的分層流動(dòng)進(jìn)行了描述.RB系統(tǒng)由一個(gè)封閉的對流槽構(gòu)成, 對流槽頂部和底部放置有可以傳導(dǎo)熱量的導(dǎo)板, 對流槽內(nèi)部充滿流體介質(zhì).對底部導(dǎo)板加熱并對頂部導(dǎo)板進(jìn)行冷卻, 底部流體介質(zhì)受熱膨脹, 頂部流體介質(zhì)遇冷收縮, 就會(huì)產(chǎn)生密度差.在浮力和重力的作用下, 底部熱流體上升, 頂部冷流體下降, 開始流動(dòng).根據(jù)上下導(dǎo)板的溫度差?T不同, 對流槽內(nèi)流體會(huì)出現(xiàn)不同流動(dòng)狀態(tài).隨著?T增大, 對流槽內(nèi)流體會(huì)由靜止發(fā)展為規(guī)則的對流狀態(tài);當(dāng)?T繼續(xù)增大到一定程度時(shí), 對流槽內(nèi)流體的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鳡顟B(tài).在充分發(fā)展的湍流熱對流系統(tǒng)中, 冷熱羽流分別從上下導(dǎo)板中生成、分離, 并在運(yùn)動(dòng)過程中通過自組織運(yùn)動(dòng)形成大尺度環(huán)流[3].

1 RB 湍流熱對流

1.1 控制方程、控制參數(shù)和響應(yīng)參數(shù)

RB 湍流熱對流是一個(gè)復(fù)雜的強(qiáng)非線性系統(tǒng), 流體的溫度與速度耦合, 溫度變化會(huì)引起密度的變化.在流體溫度梯度變化不大的情況下, 通過引入Oberbeck-Boussinesq 近似[4-5]簡化模型, RB 系統(tǒng)的控制方程組使用特征長度H、特征速度κ/H、特征溫度T、特征時(shí)間H2/κ無量綱后表示如下:

式中:u是速度矢量,θ是溫度,p是壓力,z為豎直方向的單位矢量.式(1)～(3)為含有熱浮力項(xiàng)的Navier-Stokes(NS)方程連續(xù)性方程和熱運(yùn)輸方程.由上述無量綱化的方程組可以得出RB 系統(tǒng)的兩個(gè)重要的控制參數(shù)Rayleigh 數(shù)(Ra)和Prandtl 數(shù)(Pr), 分別為

式中:α為膨脹系數(shù);g為重力加速度;ν為流體黏性系數(shù);κ為熱擴(kuò)散系數(shù).Ra數(shù)表示驅(qū)動(dòng)流體流動(dòng)的熱浮力與抑制流體運(yùn)動(dòng)的流體耗散力的比值, 與對流槽的上下板的溫差?T和對流槽高度H的三次方成正比.Pr數(shù)代表流體本身的物理性質(zhì), 是動(dòng)量擴(kuò)散率與熱擴(kuò)散率之比,也反映黏性邊界層厚度δu和溫度邊界層厚度δth之間的關(guān)系.流槽的幾何形狀采用寬高比Γ描述,

式中:D為對流槽的水平方向長度;H為豎直方向長度.

RB 對流系統(tǒng)還有兩個(gè)重要的響應(yīng)參數(shù), 分別為Nusselt 數(shù)(Nu)和Reynolds 數(shù)(Re),

式中:Nu用于描述系統(tǒng)的傳熱效率;λ是流體的熱傳導(dǎo)系數(shù);Q為通過對流槽的熱通量;Re表示流體所受的慣性力和黏性力之比, 是系統(tǒng)的無量綱速度;U可以是大尺度環(huán)流的特征速度,也可以是流場中速度均方根的值.

1.2 研究現(xiàn)狀

粗糙邊界作為一個(gè)增強(qiáng)傳熱的方法廣泛應(yīng)用于湍流熱對流中, Shen 等[6]的實(shí)驗(yàn)以水為對流介質(zhì), 在對流槽上下導(dǎo)板表面均勻地排布了金字塔狀的粗糙元, 發(fā)現(xiàn)當(dāng)Ra數(shù)超過某一臨界值時(shí), 系統(tǒng)的整體熱輸運(yùn)效率可以增強(qiáng)約20%.Du 等[7-8]的工作更進(jìn)一步地表明, 大尺度環(huán)流引發(fā)的強(qiáng)水平剪切流動(dòng)與粗糙元相互作用會(huì)在粗糙元之間形成二次渦, 有利于羽流的形成, 從而可以極大地提高系統(tǒng)的整體熱輸運(yùn)效率, 實(shí)驗(yàn)測得Nu數(shù)增量超過76%.Shishkina 等[9]對底部粗糙元剖面為長方形的方形對流槽進(jìn)行數(shù)值模擬, 并基于二維Prandtl-Blasius 邊界層方程提出了一種計(jì)算粗糙元引起的Nu數(shù)偏差的分析模型.Liot 等[10]對頂板保持光滑, 下底板布置有方形粗糙元的方形對象槽進(jìn)行實(shí)驗(yàn), 值得一提的是此工作中的實(shí)驗(yàn)裝置非常大, 高度和寬度達(dá)到2.5 m, 厚度為0.5 m, 能夠測得非常精細(xì)的速度場, 研究發(fā)現(xiàn)粗糙元之間流體存在外部對流和流體交換時(shí)能顯著增強(qiáng)傳熱.Xie 等[11]對底部粗糙元為金字塔型的圓柱形對流槽進(jìn)行實(shí)驗(yàn), 通過定義粗糙元高寬比λ, 7.5×107≤Ra≤1.31×109,Pr數(shù)從3.57 增加至23.34, 發(fā)現(xiàn)隨著λ從0.5 增加至4,Nu和Ra的標(biāo)度律關(guān)系大致可以分為3 個(gè)區(qū)域(區(qū)域一標(biāo)度律和光滑相比并無明顯變化, 區(qū)域二標(biāo)度律從0.36 上升至0.59 是由熱邊界層主導(dǎo)的, 區(qū)域三從0.30 上升至0.50 是由黏性邊界層主導(dǎo)的), 并給出Re和Ra的標(biāo)度律關(guān)系從0.471 增加至0.551 是由大尺度環(huán)流的動(dòng)力學(xué)發(fā)生變化引起的解釋.Stringano 等[12]研究了粗糙元尺寸h對系統(tǒng)傳熱的影響, 結(jié)果表明當(dāng)系統(tǒng)的平均溫度邊界層厚度小于粗糙元尺寸時(shí)可以觀測到傳熱增強(qiáng).上述研究結(jié)果都表明粗糙元能夠增強(qiáng)系統(tǒng)的傳熱.

粗糙元被認(rèn)為可能有助于觀測到“終極區(qū)間”, 因?yàn)榇植谠拇嬖跁?huì)破壞邊界層結(jié)構(gòu).Toppaladoddi 等[13]使用直接數(shù)值模擬計(jì)算帶有正弦形狀粗糙元的RB 系統(tǒng), 通過改變粗糙元波長, 發(fā)現(xiàn)存在一個(gè)最優(yōu)波長使得Nu數(shù)與Ra數(shù)接近滿足1/2 的標(biāo)度律.根據(jù)“終極區(qū)間”理論, 只有在Ra數(shù)很大時(shí)才能觀察到1/2 標(biāo)度律.而Zhu 等[14]采用相同的粗糙元將Ra數(shù)擴(kuò)展到1012, 發(fā)現(xiàn)在Ra數(shù)相對較低的區(qū)間內(nèi)能夠觀察到1/2標(biāo)度律, 但是隨著Ra數(shù)增加,標(biāo)度律指數(shù)會(huì)重新回到1/3,Nu數(shù)與Ra數(shù)1/2 標(biāo)度律只能存在小范圍Ra數(shù)內(nèi), 以此證明Toppaladoddi 等[13]觀測到的并不是“終極區(qū)間”.最近, Zhu 等[15]采用多尺度粗糙元, 成功實(shí)現(xiàn)了在廣范圍Ra數(shù)內(nèi)保持1/2 的標(biāo)度律, Xia[16]則認(rèn)為這是一種通過調(diào)整RB 系統(tǒng)邊界形狀來控制傳熱的新方法.

Zhang 等[17]通過改變?nèi)切未植谠叨萮, 模擬二維方形對流槽, 結(jié)果表明: 對流槽加入粗糙元后并不是總意味著傳熱增加, 在粗糙元高度較小時(shí)反而會(huì)使傳熱減小;當(dāng)粗糙元的高度h較小時(shí), 相鄰粗糙元間腔體內(nèi)部的流動(dòng)主要受流體的黏性所控制, 這時(shí)熱流體被限制在這些腔體內(nèi)部無法充分混合, 導(dǎo)致腔體內(nèi)部溫度邊界層厚度增加, 從而阻礙了系統(tǒng)的整體熱輸運(yùn)效率;相反, 當(dāng)h足夠大時(shí)腔體內(nèi)部逐漸增強(qiáng)的流體流動(dòng)可以有效地混合冷熱流體, 導(dǎo)致更多更強(qiáng)的羽流結(jié)構(gòu)生成, 使Nu數(shù)急劇增加.

上述工作主要側(cè)重于研究粗糙壁面對傳熱的影響, 而對Re數(shù)的關(guān)注度有所欠缺, 因此本工作主要在前人工作基礎(chǔ)上使用數(shù)值模擬的方法研究粗糙元高度對Re數(shù)的影響.

2 計(jì)算模型及參數(shù)

圖1 為RB 對流系統(tǒng)計(jì)算模型.對流槽寬度為D、高為H, 底板加熱溫度為無量綱溫度0.5, 頂板冷卻溫度為無量綱溫度?0.5;對流槽的側(cè)壁保持絕熱, 所有邊界均為無滑移邊界條件.對流槽上下板分布有等腰直角三角形形狀的粗糙元, 粗糙元的頂角保持直角不變, 通過改變粗糙元的數(shù)量來改變粗糙元的高度h, 且保持粗糙元與對流介質(zhì)的接觸面積不變, 即達(dá)到改變邊界粗糙程度又不影響加熱接觸面積的效果.易知加入粗糙元后加熱面積是沒有粗糙元(光滑)情況下的1.41 倍.

圖1 RB 對流系統(tǒng)計(jì)算模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of calculation model on RB

本工作采用交錯(cuò)網(wǎng)格四階差分格式求解控制方程, 采用浸入邊界法處理粗糙元的邊界問題, 采用非等距網(wǎng)格跟蹤粗糙面附近的細(xì)節(jié), 并在求解過程中確保熱邊界層內(nèi)有16 個(gè)以上的網(wǎng)格點(diǎn), 以滿足網(wǎng)格分辨率[18].本工作計(jì)算所使用代碼在Zhang 等[17]、Bao 等[18]和Chen等[20]的工作中已得到了驗(yàn)證, 計(jì)算過程主要在“天河二號(hào)”超算中心進(jìn)行, 所有算例保持寬高比Γ=1 不變(D=1,H=1).Ra數(shù)的計(jì)算區(qū)間為107≤Ra≤109,Pr=0.7, 粗糙元數(shù)量由2個(gè)增加到70 個(gè), 對應(yīng)粗糙元高度h由0.125 減小至0.014.

3 結(jié)果分析和討論

Re數(shù)和系統(tǒng)內(nèi)流體的運(yùn)動(dòng)相關(guān), 可以表征系統(tǒng)的無量綱流動(dòng)速度.本工作中Re數(shù)使用速度均方根Urms進(jìn)行計(jì)算, 結(jié)合式(6), 有

式中:表示時(shí)間和空間上取平均.

圖2(a)為Ra=108,Pr=0.7 時(shí)Re數(shù)隨粗糙元高度h的變化規(guī)律, 可以發(fā)現(xiàn): 隨著粗糙元高度h的增加,Re數(shù)首先有一個(gè)減小的過程, 達(dá)到極小值后Re數(shù)開始增加, 拐點(diǎn)位于粗糙元高度h=0.05 處, 對應(yīng)的粗糙元數(shù)目為10;當(dāng)Re數(shù)增加到極大值后, 隨著高度h繼續(xù)增加,Re數(shù)又有一個(gè)減小的過程, 此時(shí)拐點(diǎn)位于粗糙元高度h=0.1 處, 對應(yīng)粗糙元數(shù)目為5.

光滑情況(粗糙元高度h= 0) 下的Re數(shù)記為Re(0), 對粗糙情況下Re數(shù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化, 結(jié)果如圖2(b)所示, 其中虛線表示Re(h)/Re(0)= 1, 即光滑情況Re數(shù)與粗糙情況Re數(shù)相等.可以發(fā)現(xiàn): 粗糙元對Re數(shù)的影響很大, 隨著粗糙元高度不同, 對Re數(shù)既有增強(qiáng)作用也有抑制作用.只有當(dāng)粗糙元高度h足夠大時(shí), 粗糙元才能對Re數(shù)有增強(qiáng)作用, 但是當(dāng)粗糙元高度h極大時(shí),Re數(shù)又會(huì)受抑制.

粗糙元對Re數(shù)的作用非常復(fù)雜, 根據(jù)Re數(shù)隨粗糙元高度h變化的2 個(gè)拐點(diǎn)可以大致分為3 個(gè)區(qū)間(見圖2(b)).那么Re數(shù)隨粗糙元高度h如此變化的物理本質(zhì)是什么呢？Re數(shù)由速度均方根Urms、對流槽高H和流體黏性系數(shù)ν共同決定, 算例中固定對流槽寬高比Γ和Pr數(shù)不變, 只改變粗糙元高度h, 那么一定是h影響Urms, 從而影響Re數(shù).

圖2 Re 數(shù)隨粗糙元高度h 的分布(Ra=108, Pr =0.7)Fig.2 Re as a function of the roughness height h (Ra=108, Pr =0.7)

圖3 是速度時(shí)間平均場的分布, 其中箭頭代表速度的方向.區(qū)域一(見圖2(b))內(nèi)Re數(shù)減小對應(yīng)圖3(a)變化到圖3(b), 從圖中可以發(fā)現(xiàn)都存在一個(gè)明顯的大尺度環(huán)流, 但是在大尺度環(huán)流作用下, 圖3(a)中速度均方根Urms最大值為0.502, 而(b)中最大值為0.423.從Urms分布上來看, 圖3(a)中Urms值大的點(diǎn)(紅色區(qū)域)明顯多于圖3(b), 主要沿大尺度環(huán)流外側(cè)分布, 分別呈橢圓狀和呈圓形狀.隨著粗糙元高度h增加, 大尺度環(huán)流發(fā)現(xiàn)空間受限, 大尺度環(huán)流形狀逐漸由橢圓轉(zhuǎn)變?yōu)閳A形,Urms隨著減小導(dǎo)致Re數(shù)隨h的減小, 這也印證了Re數(shù)與大尺度環(huán)流的動(dòng)力學(xué)密切相關(guān)[12].此外二次渦的作用也不可忽略, 二次渦是在大尺度環(huán)流剪切作用下粗糙元之間流體形成類似于“頂蓋流”[21]的流動(dòng).如圖4(a)所示, 粗糙元高度h較小時(shí)二次渦發(fā)展受限, 混合作用弱, 流動(dòng)速度小[17], 這導(dǎo)致大量流體“滯留”在粗糙元之間, 對Re數(shù)貢獻(xiàn)非常小.

區(qū)域二(見圖2(b))內(nèi)Re數(shù)增加對應(yīng)圖3(b)變化到圖3(c), 在此區(qū)域內(nèi)Re數(shù)隨著粗糙元高度h增加而增加, 此時(shí)圖2(c)中粗糙元高度h比圖3(b)中更大.隨著h的增加, 粗糙元對大尺度環(huán)流的抑制作用應(yīng)該更強(qiáng), 為何會(huì)如此反常呢.我們認(rèn)為主要有兩個(gè)方面原因: 首先是羽流的作用, 羽流之間互相作用形成更大尺度的渦流進(jìn)而最終形成大尺度環(huán)流[3];其次是二次渦的作用.Du 等[7-8]的研究結(jié)果表明粗糙元有利于羽流的生成, 隨著粗糙元的高度增加, 粗糙元對羽流生成作用越有利, 隨著羽流大量生成, 又為大尺度環(huán)流注入了動(dòng)力, 這就導(dǎo)致了Urms增加從而Re數(shù)增加.圖4 所示的是粗糙元附近的Urms, 其中圖4(a)對應(yīng)圖3(b)下底板正中間局部放大部分, 圖4(b) 對應(yīng)圖3(c)下底板正中間局部放大部分.與區(qū)域一不同, 隨著粗糙元高度h增加, 粗糙元之間腔體越大, 更有利于二次渦發(fā)展, 二次渦越強(qiáng)[21].對比圖4(a)和(b)明顯可以發(fā)現(xiàn), 由于二次渦變強(qiáng)圖, 4(b)中的Urms無論從數(shù)值大小還是分布都大于圖4(a).

圖3 速度時(shí)間平均場對應(yīng)不同粗糙元高度h 的分布(Ra=108, Pr =0.7)Fig.3 Time aver velocity fields for differnet roughness height h (Ra=108, Pr =0.7)

圖4 粗糙元附近速度時(shí)間平均場(Ra=108, Pr =0.7)Fig.4 Time aver velocity fields near rough element (Ra=108, Pr =0.7)

由圖2(b)中的區(qū)域三可知,Re數(shù)隨著粗糙元高度h增加而減小.對比圖3(c)和(d)可以發(fā)現(xiàn), 隨著粗糙元的進(jìn)一步增加, 大尺度環(huán)流的發(fā)展空間變得很小, 這導(dǎo)致大尺度環(huán)流變?nèi)? 此時(shí)Urms最大值僅為0.399.并且大尺度環(huán)流的影響范圍也變得十分有限, 這導(dǎo)致Urms在空間分布上不如圖3(c).

總體來說,Re數(shù)隨粗糙元高度h的分布主要是粗糙元對大尺度環(huán)流抑制作用以及與粗糙元對羽流的生成和二次渦的促進(jìn)作用競爭的結(jié)果.當(dāng)粗糙元對羽流的生成和二次渦的促進(jìn)作用大于粗糙元存在對大尺度環(huán)流的抑制作用時(shí),Re數(shù)增加, 反之則減小.

圖5(a)給出了不同Ra數(shù)時(shí)Re數(shù)隨著粗糙元高度h的變化規(guī)律.可以發(fā)現(xiàn): 對于所有Ra數(shù)依舊能夠符合隨著粗糙元高度h增加Re數(shù)有一個(gè)先減小后增加再減小的變化規(guī)律;但是在不同Ra數(shù)下,Re數(shù)分布的拐點(diǎn)有所不同,Ra=107時(shí)拐點(diǎn)對應(yīng)粗糙元高度最大,Ra=109時(shí)拐點(diǎn)對應(yīng)粗糙元高度最小.這是因?yàn)殡S著Ra數(shù)增加, 大尺度環(huán)流剪切能力越強(qiáng), 越易于增加二次渦的強(qiáng)度, 也有利于羽流的產(chǎn)生, 所以當(dāng)Ra數(shù)很大時(shí), 粗糙元高度h很小就能對Re數(shù)增加起到促進(jìn)作用.

圖5 不同Ra 數(shù)下Re 數(shù)隨粗糙元高度h 的分布(Pr =0.7)Fig.5 Re as a function of the roughness height h for different Ra (Pr =0.7)

對于光滑情況,Ra數(shù)與Re數(shù)大致滿足Re～Ra0.6的標(biāo)度律關(guān)系.Zhang 等[22]的研究結(jié)果表明, 當(dāng)Pr=0.7 時(shí)Re～Ra0.59, 本工作中Re～Ra0.57, 二者結(jié)果相近.粗糙元對標(biāo)度律的影響如圖5(b)所示, 其中虛線為光滑時(shí)Ra數(shù)與Re數(shù)的標(biāo)度律0.57.在粗糙元高度h= 0.05 時(shí),粗糙元能提高Ra數(shù)與Re數(shù)的標(biāo)度指數(shù)至0.62.固定h= 0.05,Ra= 109時(shí)粗糙元已經(jīng)能促進(jìn)Re數(shù)增加, 而Ra= 108是抑制Re增加,Ra= 107則抑制更多.這意味著粗糙元高度h= 0.05 時(shí),Ra= 107的Re數(shù)是小于光滑情況的, 而Ra= 109的Re數(shù)是大于光滑情況的,直接導(dǎo)致了標(biāo)度律指數(shù)相比于光滑情況有所增加.同理, 如果粗糙元對Ra= 109時(shí)Re數(shù)的抑制作用比Ra= 107時(shí)更大, 則表現(xiàn)為標(biāo)度律指數(shù)減小, 如圖5(b)前半段.標(biāo)度律指數(shù)變化的深層原因還是因?yàn)殡S著Ra數(shù)增加, 二次渦在很小的粗糙元高度h就能對Re數(shù)起促進(jìn)作用.

4 結(jié) 論

本工作通過數(shù)值模擬的方法研究二維粗糙邊界RB熱對流系統(tǒng)中粗糙元高度h對Re數(shù)的影響.

(1) 同一Ra數(shù)下, 隨著h的增加,Re數(shù)有一個(gè)先減小后增加再減小的過程, 這是粗糙元對大尺度環(huán)流的抑制作用與粗糙元對羽流的生成和二次渦的促進(jìn)作用相互競爭所導(dǎo)致的.當(dāng)粗糙元對羽流的生成和二次渦的促進(jìn)作用大于粗糙元存在對大尺度環(huán)流的抑制作用時(shí),Re數(shù)會(huì)增加.

(2) 不同Ra數(shù)下, 粗糙元對羽流的生成和二次渦的促進(jìn)作用所需粗糙元高度h不同, 導(dǎo)致了粗糙情況下Ra數(shù)與Re數(shù)的標(biāo)度律關(guān)系異常.