雙向板裂縫及長(zhǎng)期開(kāi)裂撓度的有限元非線(xiàn)性分析

周立浪， 陳夢(mèng)龍， 扶長(zhǎng)生

(上海長(zhǎng)福工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)事務(wù)所，上海 200011)

0 引言

雙向板是成熟的樓蓋體系，在國(guó)外有廣泛的應(yīng)用。對(duì)于框架-核心筒結(jié)構(gòu)，僅設(shè)置周邊外框梁的重力荷載(預(yù)應(yīng)力)雙向平板樓蓋體系，在國(guó)內(nèi)也有所應(yīng)用。其實(shí)，采用僅承受重力荷載樓蓋體系的結(jié)構(gòu)，只要具有足夠的側(cè)向剛度，由于抗側(cè)力體系承擔(dān)了更多的地震作用，其整體抗震性能至少不會(huì)低于設(shè)樓面梁的同類(lèi)結(jié)構(gòu)。而且不設(shè)置樓面梁可以在滿(mǎn)足凈空要求的情況下降低層高，方便管道施工，節(jié)約投資。

混凝土抗拉強(qiáng)度約為抗壓強(qiáng)度的1/10，為了充分發(fā)揮受拉鋼筋的強(qiáng)度，受彎構(gòu)件拉應(yīng)力區(qū)混凝土的開(kāi)裂是必然的，也是必要的。而且，作為(超)高層建筑樓蓋體系的雙向板，需要嚴(yán)格控制板厚來(lái)減輕結(jié)構(gòu)自重。因此，徐變對(duì)長(zhǎng)期撓度和裂縫的放大效應(yīng)是重力荷載作用下雙向板樓蓋體系在使用極限狀態(tài)下的主要驗(yàn)算內(nèi)容，有時(shí)還是控制截面配筋設(shè)計(jì)的主要因素。

雙向板的受力特征與梁有明顯的區(qū)別。主要表現(xiàn)如下：1)對(duì)角線(xiàn)附近的截面，產(chǎn)生與彎矩同等數(shù)量級(jí)的扭矩； 2)可迅速完成塑性鉸后的內(nèi)力重分布，它的塑性變形機(jī)構(gòu)往往是沿對(duì)角線(xiàn)的塑性鉸線(xiàn)而不是發(fā)生在局部截面的塑性鉸； 3)板內(nèi)主拉應(yīng)力方向隨平面位置變化； 4)最大彎矩、最大撓度和最大裂縫寬度往往發(fā)生在不同位置：前者一般發(fā)生在柱上板帶，后兩者有可能發(fā)生在跨中板帶。國(guó)內(nèi)鋼筋混凝土有關(guān)教材和《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50010—2010)[1](簡(jiǎn)稱(chēng)GB 50010—2010)都未涉及計(jì)算雙向板裂縫寬度和長(zhǎng)期開(kāi)裂撓度的有關(guān)內(nèi)容。工程設(shè)計(jì)中，若需要驗(yàn)算，往往只能采用板帶分析法，按梁來(lái)進(jìn)行近似分析。但這僅僅適用于規(guī)則板格和滿(mǎn)鋪均布荷載的情況。

本文簡(jiǎn)述了受壓混凝土的徐變和裂縫間受拉混凝土對(duì)開(kāi)裂構(gòu)件剛度硬化效應(yīng)的基本原理，并以此作為準(zhǔn)則，點(diǎn)評(píng)了中國(guó)、歐洲、美國(guó)三本規(guī)范有關(guān)長(zhǎng)期撓度和裂縫寬度計(jì)算的條文； 指出歐洲規(guī)范的有關(guān)條文既適用于梁，又適用于雙向板，使用以歐洲規(guī)范建立的開(kāi)裂板單元進(jìn)行有限元非線(xiàn)性分析是計(jì)算雙向板長(zhǎng)期撓度和裂縫寬度的通用方法； 并利用CSI. SAFE[2]完成了有關(guān)編程。在敘述了有限元分析雙向板長(zhǎng)期撓度和裂縫寬度的基本流程后，作為一個(gè)算例，使用CSI. SAFE對(duì)地下室柱支撐雙向頂板進(jìn)行了使用極限狀態(tài)下長(zhǎng)期撓度和裂縫寬度的驗(yàn)算，并完成了頂板的截面設(shè)計(jì)。

1 徐變的基本知識(shí)

在長(zhǎng)期壓應(yīng)力作用下，由多相、具有初始缺陷復(fù)合材料組成的混凝土，其壓應(yīng)變逐漸增大的物理現(xiàn)象被稱(chēng)為徐變;另外一個(gè)方面，水泥水化過(guò)程中以及混凝土硬化后的很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)，毛細(xì)孔水逐漸流失、蒸發(fā)引起混凝土體積干縮,這種長(zhǎng)期逐漸干縮的自然現(xiàn)象被稱(chēng)為收縮。收縮與徐變，兩者效應(yīng)相似，均引起鋼筋混凝土構(gòu)件的內(nèi)力重分布，且可線(xiàn)性疊加。因此，盡管它們伴隨發(fā)生，為了敘述簡(jiǎn)潔，在以下討論中，本文不涉及收縮，也不涉及預(yù)應(yīng)力構(gòu)件。

1.1 徐變系數(shù)

圖1 徐變應(yīng)變和徐變系數(shù)

(1)

1.2 徐變應(yīng)變

當(dāng)t>t0，按徐變系數(shù)的定義，在維持截面應(yīng)力不變的情況下，計(jì)入徐變的應(yīng)變?yōu)椋?/p>

(2)

(3)

式中：τ為流動(dòng)坐標(biāo)；φ(t,τ)和Ec(τ)為以τ為變量的徐變系數(shù)和彈性模量。

顯然，若應(yīng)力的變化在t0時(shí)刻就全部完成，Δσc對(duì)徐變應(yīng)變的影響一定大于式(3)的積分表達(dá)式。為方便計(jì)算，式(3)的積分表達(dá)式可近似表示為[2]：

(4)

式中χ=χ(t,t0)為一個(gè)小于1的系數(shù)，是時(shí)間的函數(shù)，與φ(t,τ),Ec(τ)以及σc(τ)在t0→t時(shí)間段中的變化規(guī)律有關(guān)，稱(chēng)為齡期系數(shù)。

混凝土強(qiáng)度越高，加載齡期t0越長(zhǎng)，環(huán)境的相對(duì)濕度越高，應(yīng)力水平越低，徐變系數(shù)φ(t,t0)和齡期系數(shù)χ(t,t0)越小。研究成果表明，在正常養(yǎng)護(hù)的情況下，前者合理的范圍在2.5～3.5之間，后者約為0.8[3]。

(5)

則式(4)可改寫(xiě)為：

(6)

圖關(guān)系曲線(xiàn)的示意

(7)

徐變將增大受彎構(gòu)件受壓區(qū)混凝土的應(yīng)變，降低應(yīng)力，提升中和軸的位置，增大截面曲率、構(gòu)件撓度和增加裂縫寬度。

2 裂縫計(jì)算

2.1 開(kāi)裂構(gòu)件的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

對(duì)于開(kāi)裂構(gòu)件，顯然開(kāi)裂截面的剛度要小于裂縫之間非開(kāi)裂截面的剛度。把非開(kāi)裂截面稱(chēng)為狀態(tài)1，把開(kāi)裂截面稱(chēng)為狀態(tài)2(開(kāi)裂瞬間狀態(tài))。對(duì)應(yīng)的鋼筋拉應(yīng)力、拉應(yīng)變分別記作σs1,εs1和σs2,εs2。由于混凝土的早期開(kāi)裂特性，在使用極限狀態(tài)下混凝土開(kāi)裂，但鋼筋的應(yīng)力-應(yīng)變處于線(xiàn)性關(guān)系。這樣，無(wú)論是梁或單向板還是雙向板，在應(yīng)力-應(yīng)變坐標(biāo)平面中，總可以畫(huà)出二根不同斜率的直線(xiàn)，分別表示狀態(tài)1和狀態(tài)2的受拉鋼筋應(yīng)力與應(yīng)變之間的線(xiàn)性關(guān)系[2],見(jiàn)圖3。圖中σsr為鋼筋開(kāi)裂應(yīng)力；折線(xiàn)OAD為以鋼筋應(yīng)力和平均應(yīng)變表示的開(kāi)裂構(gòu)件應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。其中，OA段為開(kāi)裂前狀態(tài)，AD段為開(kāi)裂后狀態(tài)，剛度明顯折減。。

圖3 開(kāi)裂構(gòu)件的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線(xiàn)

2.2 平均應(yīng)變和剛度插入系數(shù)

不失問(wèn)題的一般性，設(shè)平面尺寸為l1×l2的雙向板處于雙向軸向受拉狀態(tài)。拉應(yīng)力記作σ1,σ2，其中主拉應(yīng)力σ1方向與l1平行。當(dāng)σ1達(dá)到fct(相當(dāng)于GB 50010—2010中的ftk)，截面開(kāi)裂。略去材料的泊松效應(yīng)，沿l1方向的變形特征如下：1)裂縫和裂縫間混凝土的應(yīng)變使構(gòu)件長(zhǎng)度從l1伸長(zhǎng)至l1+Δl1，構(gòu)件平均拉應(yīng)變?yōu)棣舠m=Δl1/l1； 2)裂縫間受拉混凝土具有硬化效應(yīng)，對(duì)構(gòu)件剛度有所貢獻(xiàn)，構(gòu)件的真實(shí)剛度在開(kāi)裂截面的剛度和非開(kāi)裂截面的剛度之間； 3)應(yīng)變沿桿長(zhǎng)并不均勻，在非開(kāi)裂截面處，有：

εs1=εc1，且εs1<εs2

(8)

式中εc1為非開(kāi)裂截面處混凝土拉應(yīng)變。

令Δεs為開(kāi)裂截面鋼筋應(yīng)變?chǔ)舠2和平均應(yīng)變?chǔ)舠m之差，表示裂縫間受拉混凝土對(duì)鋼筋應(yīng)力、應(yīng)變的折減作用。按圖3所示的幾何關(guān)系，有：

Δεs=εs2-εsm

(9)

且Δεs與σs2之間呈反比例關(guān)系。進(jìn)一步定義Δεs,max為鋼筋在開(kāi)裂瞬間狀態(tài)2的應(yīng)變和狀態(tài)1的應(yīng)變之差，根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)[3]有如下的經(jīng)驗(yàn)公式：

Δεs=Δεs,max·σsr/σs2

(10)

由圖3可進(jìn)一步寫(xiě)出：

Δεs,max=(εs2-εs1)·σsr/σs2

(11)

合并式(9)，(10)和(11)，平均應(yīng)變計(jì)算公式為：

εsm=(1-ζ)εs1+ζεs2

(12)

ζ=1-(σsr/σs2)2

(13)

式中ζ為0～1之間的無(wú)量綱剛度插入系數(shù)，反映截面開(kāi)裂的程度，ζ=0表示截面未開(kāi)裂。

2.3 裂縫的平均間距和寬度

當(dāng)σ1達(dá)到fct，截面最薄弱某處的混凝土退出工作，向兩側(cè)回縮并發(fā)生粘結(jié)滑移，形成第一條裂縫。開(kāi)裂截面處的鋼筋將單獨(dú)承擔(dān)軸向拉應(yīng)力的作用，應(yīng)變?cè)龃?。隨著離裂縫距離的增大，鋼筋與周?chē)炷林g的粘結(jié)力逐漸地把鋼筋應(yīng)力傳遞至混凝土。經(jīng)過(guò)一定的長(zhǎng)度sr0后，混凝土纖維的應(yīng)力上升至fct，在截面另一個(gè)薄弱處，出現(xiàn)了第二條裂縫。隨著荷載逐漸增大，重復(fù)出現(xiàn)裂縫，直至裂縫間距穩(wěn)定在某一個(gè)長(zhǎng)度。

設(shè)受拉區(qū)鋼筋總截面面積為As，平均粘結(jié)應(yīng)力為fbm。若僅有一種鋼筋，直徑為db，列出力的平衡公式如下：

Aceffct=sr0fbm(4As/db)

(14)

式中：(4As/db)為全部受拉鋼筋周長(zhǎng)之和；Acef為包裹全部受拉鋼筋的混凝土有效面積。對(duì)于受拉構(gòu)件，Acef為圖4中的陰影部分。

圖4 軸向受拉構(gòu)件混凝土有效面積示意[4]

試驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，fbm與fct之間成正比例關(guān)系。令κ1=fct/fbm，代入式(14)整理得：

sr0=κ1(db/4ρr)，ρr=As/Acef

(15)

除粘結(jié)力特征以外，影響裂縫間距和寬度的主要因素還有混凝土保護(hù)層厚度和縱向鋼筋的直徑、間距和截面面積等。一般地，增加保護(hù)層的厚度會(huì)增加裂縫間距和寬度，細(xì)而密的縱向鋼筋會(huì)減少裂縫間距和寬度。綜合各種因素，在式(15)的基礎(chǔ)上可以寫(xiě)出以混凝土保護(hù)層厚度cc，受拉鋼筋直徑db和配筋率ρr，計(jì)算裂縫平均間距srm的半經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式：

srm=λ1cc+λ2db/ρr

(16)

式中λ1,λ2分別為反映保護(hù)層影響和粘結(jié)力特性的經(jīng)驗(yàn)系數(shù)。

另一方面，式(12)中的ζεs2表示平均應(yīng)變與裂縫間受拉混凝土應(yīng)變之差。若裂縫平均間距srm已知，裂縫的平均寬度wm為：

wm=ζεs2srm

(17)

顯然，最大裂縫寬度wmax可以寫(xiě)為裂縫平均寬度與經(jīng)驗(yàn)放大系數(shù)λ3的乘積：

wmax=λ3wm=λ3ζεs2srm

(18)

式(16)～(18)是計(jì)算裂縫間距和寬度的最基本半經(jīng)驗(yàn)表達(dá)格式。

沿l2方向的開(kāi)裂機(jī)理和裂縫寬度的計(jì)算方法與沿l1方向相同，不予贅述。進(jìn)一步指出，上述基本原理和應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系也適用于承受重力荷載的雙向板。但裂縫寬度垂直于主拉應(yīng)力方向，應(yīng)沿主拉應(yīng)力方向進(jìn)行分析。雙向板的主應(yīng)力方向是隨平面位置而變化的。這也許是構(gòu)建整塊板裂縫間距、寬度和長(zhǎng)期開(kāi)裂撓度半經(jīng)驗(yàn)計(jì)算公式的難點(diǎn)之一。

3 基于規(guī)范的長(zhǎng)期撓度和裂縫寬度的計(jì)算

3.1 ACI 318-08

ACI 318委員會(huì)認(rèn)為結(jié)構(gòu)構(gòu)件中的裂縫寬度具有高度的離散性[5]。從ACI 318-02[6]起，使用控制縱向鋼筋的間距來(lái)實(shí)現(xiàn)限制裂縫寬度的目的。對(duì)于水池等對(duì)裂縫有特殊要求的構(gòu)件，可按ACI的研究報(bào)告進(jìn)行考慮徐變的裂縫寬度的驗(yàn)算[7-8]。

ACI 318-08[5]根據(jù)Branson D E的研究成果[9]，給出了考慮開(kāi)裂影響，梁的截面有效慣性矩Ie的計(jì)算公式：

Ie=(Mcr/Ma)3Iut+(1-(Mcr/Ma)3)Icr

(19)

式中：Iut,Icr分別為非開(kāi)裂換算截面(狀態(tài)1)的慣性矩和開(kāi)裂換算截面(狀態(tài)2)的慣性矩；Ma為最大彎矩；Mcr為開(kāi)裂彎矩； 1-(Mcr/Ma)3相當(dāng)于前述的狀態(tài)1和狀態(tài)2的插入系數(shù)ζ，且：

(20)

式中：yt為截面中和軸至受拉表面的距離；fr為混凝土開(kāi)裂模量。

對(duì)于梁的長(zhǎng)期撓度，ACI 318-08[5]使用放大系數(shù)λΔ計(jì)算徐變的附加長(zhǎng)期撓度：

λΔ=ξ/(1+50ρ′)

(21)

式中：ρ′為受壓鋼筋的配筋率；ξ為與時(shí)間相關(guān)的長(zhǎng)期荷載效應(yīng)系數(shù)，ξmax=2.0。

3.2 GB 50011—2010

按粘結(jié)滑移和混凝土回縮的組合模型，GB 50010—2010給出了考慮長(zhǎng)期作用影響，梁最大裂縫寬度wmax的計(jì)算公式：

(22)

式中：αcr為構(gòu)件受力特性系數(shù)，考慮了裂縫的不均勻性、長(zhǎng)期荷載效應(yīng)、裂縫間混凝土的硬化效應(yīng)、受力特征等，對(duì)于受彎構(gòu)件，取αcr=1.9；σs為開(kāi)裂截面的鋼筋應(yīng)力；σs/Es為開(kāi)裂截面，即狀態(tài)2的鋼筋應(yīng)變?chǔ)舠2；ζ′為裂縫間縱向受拉鋼筋應(yīng)變的不均勻系數(shù)，相當(dāng)于狀態(tài)1和狀態(tài)2的插入系數(shù)：

ζ′=1.1(1-Mcr/M)

(23)

式中Mcr,M分別為開(kāi)裂彎矩和外部作用彎矩。

式(22)等號(hào)右側(cè)的括號(hào)項(xiàng)為平均裂縫間距l(xiāng)cr，相當(dāng)于srm。對(duì)比式(16)，λ1=1.9，λ2=0.08。若取λ3=αcr=1.9，式(22)與式(18)具有相同的格式。

可以認(rèn)為，GB 50010—2010給出的最大裂縫寬度wmax公式是中國(guó)學(xué)者以梁的試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到的修正系數(shù)，按徐變、裂縫基本原理建立的半經(jīng)驗(yàn)公式。

對(duì)于梁的長(zhǎng)期撓度，GB 50010—2010根據(jù)材料力學(xué)基本公式和平均曲率的概念，考慮了開(kāi)裂影響，梁的短期剛度Bs基本公式如下：

Bs=Mk/ψm

(24)

式中：Mk為標(biāo)準(zhǔn)組合得到的彎矩標(biāo)準(zhǔn)值；ψm為平均曲率。

使用系數(shù)θ將短期剛度折減為長(zhǎng)期剛度Bl，即：

Bl=Bs/θ，θ=2-0.4(ρ′/ρ)

(25)

式中：ρ′,ρ分別為縱向受壓鋼筋和受拉鋼筋配筋率； 若僅考慮受拉鋼筋的作用，θ=2。

3.3 EC 2∶2004

歐洲規(guī)范[4](簡(jiǎn)稱(chēng)EC 2∶2004)第7.3.4條給出最大裂縫寬度wk(相當(dāng)于wmax)計(jì)算公式為：

wk=sr,max(εsm-εcm)

(26)

式中符號(hào)含義與規(guī)范GB 50010—2010中公式8.1.2-1相同。

鋼筋平均應(yīng)變?chǔ)舠m與混凝土平均應(yīng)變?chǔ)與m之差：

(27)

式中：αe=Es/Ecm為鋼筋與混凝土彈性模量之比；kt為荷載周期系數(shù)，長(zhǎng)期荷載取kt=0.4，短期荷載取kt=0.6；ρeff為縱向受拉鋼筋配筋率；fct,eff為混凝土發(fā)生第一條裂縫時(shí)的有效開(kāi)裂強(qiáng)度。對(duì)式(27)稍加整理，得[10]：

εsm-εcm=ζεs2≥0.6εs2

(28)

ζ=(1-ktσsr/σs2)≥0.6

(29)

式(28)表明，鋼筋和混凝土平均應(yīng)變差可以表達(dá)為開(kāi)裂截面鋼筋的應(yīng)變與狀態(tài)1和狀態(tài)2插入系數(shù)ζ的乘積。

當(dāng)鋼筋間距不大于5(c+φ/2)時(shí)，EC 2∶2004規(guī)定最大裂縫間距sr,max為：

sr,max=k3c+k1k2k4φ/ρeff

(30)

式中：c為混凝土保護(hù)層厚度；φ為鋼筋直徑；k1為粘結(jié)力特性系數(shù)，變形鋼筋取k1=0.8，光圓鋼筋取k1=1.6；k2為受力特性系數(shù)，受彎構(gòu)件取k2=0.5，受拉構(gòu)件取k2=1.0；k3為保護(hù)層系數(shù)，取k3=3.4；k4為經(jīng)驗(yàn)系數(shù)，取k4=0.425 。

EC 2∶2004取sr,max=1.7srm。式(30)與式(16)，式(26)與式(18)具有相同的形式。對(duì)于受彎構(gòu)件、變形鋼筋，有λ1=2，λ2=0.1，λ3=1.7。

EC 2∶2004第7.4.3條給出了受彎構(gòu)件考慮開(kāi)裂影響的變形參數(shù)α的通用公式：

α=ζαⅡ+(1-ζ)αⅠ

(31)

式中：變形參數(shù)α可以為曲率、轉(zhuǎn)角、應(yīng)變以及撓度。下標(biāo)Ⅰ和Ⅱ表示狀態(tài)1(非開(kāi)裂截面)和狀態(tài)2(開(kāi)裂截面)。

EC 2∶2004引入了系數(shù)β1,β2，對(duì)開(kāi)裂構(gòu)件的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線(xiàn)(圖3)進(jìn)行如圖5的修正后，定義插入系數(shù)ζ″為：

ζ″=1-β1β2(σsr/σs2)2

(32)

式中：β1為粘結(jié)力特性系數(shù)，變形鋼筋取β1=1.0；β2為荷載系數(shù)，短期荷載取β2=1.0，長(zhǎng)期荷載取β2=0.5。圖5中平臺(tái)長(zhǎng)度AC反映了β1,β2的影響。

圖5 開(kāi)裂構(gòu)件的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線(xiàn)(EC 2∶2004)

EC 2∶2004在前述徐變基本原理的基礎(chǔ)上，定義了混凝土有效彈性模量：

(33)

3.4 小結(jié)

中國(guó)、歐洲、美國(guó)規(guī)范均使用1-(σsr/σs2)p或1-(Mcr/M)p的形式反映裂縫間受拉混凝土的剛度硬化效應(yīng)，冪指數(shù)p=1～3。

GB 50010—2010和EC 2∶2004裂縫寬度的計(jì)算方法接近，公式的骨架參數(shù)和格式相同。但前者的經(jīng)驗(yàn)系數(shù)來(lái)自鋼筋混凝土梁的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，僅適用于梁； 后者卻既適用于梁，也適用于雙向板。對(duì)于一般的環(huán)境，ACI 318-08通過(guò)控制縱向鋼筋的間距來(lái)限制裂縫寬度。

GB 50011—2010使用剛度折減系數(shù)θ將短期剛度折減為長(zhǎng)期剛度后計(jì)算長(zhǎng)期撓度。ACI 318-08先計(jì)算考慮剛度折減后的短期撓度，使用放大系數(shù)λΔ計(jì)算徐變的附加長(zhǎng)期撓度，再通過(guò)疊加短期變形與附加變形來(lái)計(jì)算長(zhǎng)期撓度。中國(guó)、美國(guó)規(guī)范的計(jì)算公式僅適用于梁。EC 2∶2004全面接納了徐變基本理論，使用混凝土有效彈性模量替代彈性模量來(lái)計(jì)算長(zhǎng)期撓度，式(31)適用于梁，也適用于雙向板。

綜上所述，可以直接使用EC 2∶2004給出的計(jì)算公式編程后，進(jìn)行考慮徐變效應(yīng)和受拉混凝土剛度硬化效應(yīng)的雙向板裂縫寬度和長(zhǎng)期撓度的有限元非線(xiàn)性分析。

4 有限元非線(xiàn)性分析的基本流程

使用植入上述徐變和裂縫應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的板單元進(jìn)行有限元非線(xiàn)性分析是驗(yàn)算裂縫寬度、長(zhǎng)期開(kāi)裂撓度的通用方法，既適用于梁，也適用于雙向板。其基本分析流程和邏輯大致如下：

(1)按彈性分析進(jìn)行截面設(shè)計(jì)。輸入板的幾何信息、材料信息和荷載信息，劃分網(wǎng)格，生成板單元，按混凝土瞬時(shí)本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行各向同性體彈性分析。按規(guī)定的荷載組合，求解單元節(jié)點(diǎn)撓度we(上標(biāo)e表示單元)，一階偏導(dǎo)數(shù)(?w/?x)e，(?w/?y)e和二階偏導(dǎo)數(shù)(?w2/?x?y)e。按單元形函數(shù)得到單元及整塊板的彈性撓度場(chǎng)w(x,y)及彈性曲率ψx,ψy,ψxy； 按板的彈性本構(gòu)關(guān)系計(jì)算彎矩Mx,My,Mxy[11]，進(jìn)行配筋設(shè)計(jì)。

(3)若開(kāi)裂，計(jì)算非開(kāi)裂截面和開(kāi)裂截面的剛度插入系數(shù)ζe，以計(jì)入受拉區(qū)裂縫間混凝土的影響。若未開(kāi)裂，取ζe=0。

(5)沿主拉應(yīng)力方向，計(jì)算單元平均曲率：

(34)

(6)按平均曲率計(jì)算單元?jiǎng)偠刃拚禂?shù)。

(7)修正剛度，重新進(jìn)行有限元分析，得到修正后撓度。

(8)迭代計(jì)算，直至最大撓度前后兩次迭代的差值小于容許誤差或到達(dá)設(shè)定的最大迭代次數(shù)。

上述流程中，重點(diǎn)是按單元、按主拉應(yīng)力方向計(jì)算； 當(dāng)考慮徐變效應(yīng)時(shí)，使用混凝土齡期調(diào)整彈性模量。

5 案例分析

利用CSI. SAFE按EC-2∶2004有關(guān)條文構(gòu)建了板單元，并按上述基本分析流程的邏輯編制了雙向板分析與截面設(shè)計(jì)的有限元分析模塊[2]。作為案例，本文使用CSI. SAFE對(duì)地下室柱支承雙向頂板進(jìn)行分析。

5.1 模型概況

設(shè)地下室層高5m，柱截面尺寸1.0m×1.0m，柱網(wǎng)間距9.0m，板厚0.3m，厚跨比1/30，混凝土強(qiáng)度等級(jí)C40，鋼筋HRB400。二a級(jí)環(huán)境類(lèi)別(相當(dāng)于EC 2∶2004的XC2)?？紤]覆土厚度1.5m，活載3.5kN/m2。取Y向?yàn)橥鈱愉摻?，鋼筋的混凝土保護(hù)層厚度20mm。軟件自動(dòng)計(jì)算X向鋼筋保護(hù)層。5×5跨區(qū)域三維分析模型見(jiàn)圖6。

圖6 案例三維分析模型(CSI. SAFE)

本案例主要考察中間板塊區(qū)格。為了顯示清晰起見(jiàn)，以下分析結(jié)果僅顯示中間區(qū)格。

5.2 主應(yīng)力分布

圖7給出雙向板彈性分析的主應(yīng)力跡線(xiàn)。圖中，跡線(xiàn)的灰度和長(zhǎng)短表示應(yīng)力的大小，走向表示應(yīng)力的方向，箭頭的朝向表示應(yīng)力的拉壓。主應(yīng)力跡線(xiàn)圖清晰地表現(xiàn)了平面內(nèi)主應(yīng)力方向和大小隨平面位置發(fā)生明顯變化的雙向板受力特征。

圖7 主應(yīng)力跡線(xiàn)/(N/mm2)

5.3 強(qiáng)度設(shè)計(jì)

按GB 50010—2010進(jìn)行強(qiáng)度設(shè)計(jì)。表1給出了按板帶、板底和板面區(qū)分的縱向鋼筋直徑和間距。柱支承雙向板的沖切與撓度和裂縫無(wú)關(guān)，本案例不予贅述。

縱向鋼筋配筋(X,Y方向) 表1

5.4 裂縫計(jì)算

圖8為CSI. SAFE裂縫寬度(Crack Width)菜單的截屏。截屏中的第一項(xiàng)為C40混凝土換算成EC 2∶2004的混凝土有效開(kāi)裂強(qiáng)度。

圖8 計(jì)算裂縫的系數(shù)(EC 2∶2004)

圖9給出了板頂和板底的裂縫開(kāi)展方向和裂縫寬度。裂縫方向與主應(yīng)力方向(圖7)一致。最大板面裂縫寬度0.296mm發(fā)生在跨中板帶鄰近柱上板帶的端部區(qū)域； 最大板底裂縫寬度0.263mm發(fā)生在跨中板帶鄰近柱上板帶的跨中區(qū)域。符合雙向板的受力特征和按設(shè)計(jì)板帶進(jìn)行配筋的設(shè)計(jì)方法。

圖9 雙向板裂縫寬度/(×10-3mm)

本案例符合板帶法驗(yàn)算裂縫寬度和長(zhǎng)期撓度的適用條件。表2列出了按有限元法和板帶法分析的裂縫寬度匯總，兩者相互印證。

EC 2∶2004第7.3.1條XC2環(huán)境等級(jí)限定的容許最大裂縫寬度wlim=0.3mm。若執(zhí)行EC 2∶2004，滿(mǎn)足要求。

裂縫寬度和長(zhǎng)期撓度比較 表2

5.5 長(zhǎng)期撓度計(jì)算

圖10為CSI. SAFE荷載工況數(shù)據(jù)菜單截屏。截屏中第一項(xiàng)為極限徐變系數(shù)φ(t∞,t0)。本案例取φ(t∞,t0)=3.5。EC 2∶2004規(guī)定，長(zhǎng)期撓度應(yīng)同時(shí)考慮混凝土的徐變和收縮效應(yīng)。截屏中第二項(xiàng)為混凝土自收縮應(yīng)變?chǔ)與s，取值εcs=0.000 25。

圖10 計(jì)算長(zhǎng)期撓度的系數(shù)(EC 2∶2004)

CSI. SAFE以疊加原理計(jì)算總的長(zhǎng)期開(kāi)裂撓度f(wàn)total：1)持續(xù)荷載(D+0.4L)引起的考慮開(kāi)裂的長(zhǎng)期撓度f(wàn)lk； 2)短期荷載(D+L)引起的考慮開(kāi)裂的短期撓度f(wàn)sk1； 3)持續(xù)荷載(D+0.4L)引起的考慮開(kāi)裂的短期撓度f(wàn)sk2； 4)ftotal=flk+fsk1-fsk2。

圖11給出了彈性撓度和長(zhǎng)期開(kāi)裂撓度的分布圖。盡管兩者的分布狀態(tài)一致，但最大彈性撓度15.3mm，最大長(zhǎng)期開(kāi)裂撓度60.5mm，兩者之比約為3.95，超出了工程設(shè)計(jì)中按3倍的彈性撓度估算長(zhǎng)期開(kāi)裂撓度的慣例，值得注意。進(jìn)一步，若執(zhí)行EC 2∶2004第7.4.1條容許最大撓跨比為1/250的規(guī)定，需要按3/1 000的跨度起拱，且調(diào)整跨中板帶板底縱向鋼筋配筋為20@150。

表2列出了基于板帶分析法，分別按EC 2∶2004公式和按GB 50010—2010公式計(jì)算得到的裂縫寬度和長(zhǎng)期撓度。由于本案例結(jié)構(gòu)布置相當(dāng)規(guī)則，按有限元分析、 EC 2∶2004和GB 50010—2010板帶法三者分別算出的裂縫寬度的差別約5%，長(zhǎng)期撓度的差別約10%。由于GB 50010—2010公式中的經(jīng)驗(yàn)系數(shù)均采用了梁的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)于不規(guī)則雙向板裂縫和長(zhǎng)期撓度分析的適用性，有待進(jìn)一步研究。

6 結(jié)論

論述了徐變和裂縫計(jì)算的基本原理，解讀了規(guī)范公式的理論背景，且對(duì)雙向板案例進(jìn)行了有限元分析，得到如下幾點(diǎn)結(jié)論：

(2)有限單元非線(xiàn)性分析是使用極限狀態(tài)下驗(yàn)算雙向板裂縫寬度和長(zhǎng)期開(kāi)裂撓度的通用方法。CSI. SAFE在EC 2∶2004有關(guān)條文的基礎(chǔ)上，完成了植入徐變效應(yīng)和裂縫間受拉混凝土剛度硬化效應(yīng)的開(kāi)裂板單元的編程，使用方便。

(3)EC 2∶2004全面接納上述徐變和裂縫展開(kāi)及計(jì)算的基本理論。若使用有限單元法進(jìn)行分析時(shí)，建議配套使用EC 2∶2004的裂縫寬度和長(zhǎng)期開(kāi)裂撓度的限值。

(4)雙向板的主應(yīng)力方向隨平面位置變化，計(jì)算梁的裂縫寬度和長(zhǎng)期開(kāi)裂撓度的半經(jīng)驗(yàn)公式并不完全適用于雙向板。但對(duì)于承受滿(mǎn)布均布荷載的規(guī)則雙向板區(qū)格，采用板帶分析法，若按EC 2∶2004提供的公式進(jìn)行近似分析，可以得到較為滿(mǎn)意的結(jié)果； 若按GB 50010—2010提供的公式，其分析結(jié)果需要專(zhuān)門(mén)研究。

(5)承受重荷載的柱支承雙向板，僅滿(mǎn)足規(guī)范跨厚比限值，未必一定能滿(mǎn)足裂縫寬度和長(zhǎng)期開(kāi)裂撓度的驗(yàn)算。長(zhǎng)期開(kāi)裂撓度為彈性撓度3倍左右的工程經(jīng)驗(yàn)也未必一定安全。使用極限狀態(tài)的裂縫寬度和長(zhǎng)期開(kāi)裂撓度有時(shí)也許是截面設(shè)計(jì)的控制指標(biāo)。關(guān)于這一點(diǎn)，在進(jìn)行密肋樓蓋設(shè)計(jì)中，需要特別引起重視。