一類非線性帶延遲項(xiàng)粘彈性方程的初邊值問題*

鄭雅勻, 楊 晗

(西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，成都 611756)

0 引 言

研究如下帶延遲項(xiàng)粘彈性方程的初邊值問題：

(1)

(2)

粘彈性方程是由梁方程演變而來的，對于這一類方程的研究已經(jīng)有一些文獻(xiàn)[1-7]。對于帶有記憶項(xiàng)和時(shí)間延遲項(xiàng)二階線性方程的初邊值問題：

文獻(xiàn)[1]應(yīng)用Galerkin方法，證明了方程弱解的整體存在性和唯一性，并假設(shè)在μ1=0時(shí)，得到能量衰減的結(jié)果；文獻(xiàn)[2]則是在μ2<μ1和μ1=μ2兩種情況下得到能量衰減的結(jié)果；文獻(xiàn)[3]在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上，考慮了非線性源項(xiàng)和非齊次項(xiàng)的情形：

這里f(u)是非線性函數(shù)，滿足條件：

(3)

其中Cf為正常數(shù)，?u,v∈R+同樣應(yīng)用Galerkin方法，得到方程弱解的整體存在性和唯一性;文獻(xiàn)[4-6]則是研究了四階粘彈性方程情形。值得特別指出的是文獻(xiàn)[4]研究了帶記憶項(xiàng)、時(shí)間延遲項(xiàng)的粘彈性方程的初邊值問題:

對于任意實(shí)數(shù)μ1，μ2，在適當(dāng)?shù)乃沙诤瘮?shù)g假設(shè)下，應(yīng)用Galerkin方法，證明了方程弱解的整體存在性和唯一性；文獻(xiàn)[6]研究了帶有記憶項(xiàng)和時(shí)間延遲項(xiàng)的粘彈性方程的初邊值問題：

對于任意實(shí)數(shù)μ1，μ2，且常數(shù)α>0 下，對于f(u)滿足式(3)，應(yīng)用Galerkin方法得到弱解的整體存在性和唯一性并適當(dāng)加強(qiáng)條件得到強(qiáng)解的存在性。

基于以上的分析，文獻(xiàn)[1-6]都是研究線性的阻力項(xiàng)，本文將研究非線性的阻力項(xiàng)，討論帶有非線性阻力項(xiàng)，有記憶項(xiàng)、時(shí)間延遲項(xiàng)的四階粘彈性方程，應(yīng)用Galerkin方法得到整體弱解的存在性和唯一性。

1 主要結(jié)論

下面給出本文的主要結(jié)論：

2 準(zhǔn)備工作

(4)

其中記

(5)

證明由式(4)左端可得:

由式(4)右端并根據(jù)式(5)可得:

即等式的左右兩端相等，得證。設(shè)

下面給出弱解的定義。

定義1 設(shè)u∈U是初邊值問題的一個(gè)弱解，則滿足:

定理1的證明:

證明下用Galerkin方法證明。

步驟1 構(gòu)造近似解。

(6)

式(6)滿足如下條件:

hjm(t)關(guān)于h為多項(xiàng)式形式，則滿足局部李普西茲條件，利用微分方程的標(biāo)準(zhǔn)化方法，可以先在一個(gè)小區(qū)間[0,tm)(00)上對近似系統(tǒng)式(6)(7)求局部解，然后可將這個(gè)解通過如下估計(jì)延拓至整個(gè)區(qū)間[0，T]。對于方程中的延遲項(xiàng)，參考文獻(xiàn)[1]其給出了詳細(xì)的證明過程。

步驟2 先驗(yàn)估計(jì)。

(8)

(9)

由函數(shù)g(t)滿足的條件，則有

根據(jù)Cauchy-Schwarz不等式有:

將式(9)在(0,t)上積分有

(10)

又當(dāng)t∈[-τ,0]時(shí),有

(11)

將式(11)代入式(10)有

根據(jù)Gronwall不等式和式(7)，對于任意給定T>0,得到:

(12)

即有

(14)

在式(14)兩邊同乘以umtt(0)并在Ω上積分,有：

由導(dǎo)數(shù)定義,知

則有

(15)

則有

(16)

將式(15)、式(16)代入式(13)得

(17)

根據(jù)Cauchy-Schwarz不等式、Young不等式和函數(shù)g的假設(shè),有

(19)

將式(18)(19)代入式(17),得

(20)

(21)

以下所有η均為常數(shù)，根據(jù)Cauchy-Schwarz不等式、Young不等式,有

將上述不等式帶入式(21)中,有

由第一次估計(jì)可知

則有

根據(jù)Gronwall不等式，對于任意給定T>0,得到

(22)

步驟3 取極限。

所以對式(6)通過對m求極限得

即u是式(1)的整體弱解。

上面證明了問題的存在性，下面證明問題的唯一性。

令u1和u2是問題的兩個(gè)解，設(shè)z=u1-u2，滿足：

(23)

且滿足:

令式(23)中的v=zt，有

也即

由導(dǎo)數(shù)定義，有

在(0，t)上積分，有

又因?yàn)?/p>

則有

由Gronwall不等式,有

其中

C為正常數(shù)。

其唯一性得證。

3 結(jié)束語

受文獻(xiàn)[4,6]的啟發(fā)，在對齊次和非齊次情形下的粘彈性方程研究學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，前人研究的均為線性阻力項(xiàng)情況。結(jié)合對含有記憶項(xiàng)、時(shí)間延遲項(xiàng)的粘彈性方程的研究，想到對帶有非線性阻力項(xiàng)的粘彈性方程的初邊值問題進(jìn)行討論，運(yùn)用經(jīng)典的Galerkin方法，通過構(gòu)造近似解，利用微分標(biāo)準(zhǔn)化方法，先得到局部解再延拓至整個(gè)空間，再對近似解進(jìn)行先驗(yàn)估計(jì)，最后取極限，從而得到整體弱解的存在性；再通過假設(shè)并驗(yàn)證，最終得到整體弱解的唯一性。對此問題還可進(jìn)一步研究，對解的性質(zhì)及衰減性也有一定的研究意義。