基于外荷載修正的箱形梁橫向內(nèi)力分析

王晨光 張元海

(蘭州交通大學土木工程學院, 蘭州 730070)

箱形梁因其良好的受力性能及便于施工等優(yōu)點而被廣泛應用于現(xiàn)代橋梁工程中.在偏心荷載作用下，箱形梁橫向受力特性顯著，較大的橫向內(nèi)力往往在箱形梁頂?shù)装迮c腹板相交處產(chǎn)生縱向裂縫，威脅到橋梁的安全運營.箱形梁橫向內(nèi)力的精確分析常采用平面框架法，即將三維空間結(jié)構(gòu)簡化為平面結(jié)構(gòu)進行分析.趙品等[1]在模型試驗的基礎上，運用框架分析法對波形鋼腹板單箱多室箱梁的橫向內(nèi)力進行了分析，結(jié)果表明，其頂板的橫向內(nèi)力隨著腹板與頂板線剛度比的增大而減小.汪洋生等[2]將美國較早采用的計算矩形截面箱形梁橫向內(nèi)力的TYL法進行推廣，分析了斜腹板箱形梁的橫向內(nèi)力.項貽強等[3]采用彈性支承連續(xù)梁法研究了多梁式鋼-混組合小箱梁的橫梁受力性能，該方法計算所得的控制截面橫向內(nèi)力與有限元計算結(jié)果的誤差在10%以內(nèi).Lin等[4]對組合結(jié)構(gòu)中混凝土橋面板與鋼梁螺栓連接件在橫向彎矩作用下的受力性能進行了研究.Rambo-Roddenberry等[5]采用有限元模型分析了護欄對活載作用下箱形梁橫向內(nèi)力的影響.Recupero等[6]建立了一種考慮縱向剪切變形與橫向彎曲變形相互關(guān)系的分析模型，以便工程設計人員對箱形梁進行合理配筋.Stefanou等[7]研究了變截面箱形梁在偏心荷載作用下的橫向彎矩，以變截面彈性地基梁撓曲微分方程與變截面箱形梁畸變微分方程之間的相似性為基礎，提出了一種計算變截面箱形梁橫向彎矩的一般方法.Kurian等[8-9]基于大量的三維有限元分析結(jié)果，提出了一種計算單室箱梁在車輛荷載作用下的橫向內(nèi)力修正方法.

目前，絕大部分文獻采用平面框架法分析箱形梁橫向受力特性時，均認為梁體是無限剛性的，而事實上梁體本身具有柔性，剪切變形是柔性體的宏觀體現(xiàn).為了使計算結(jié)果能夠更加真實地反映箱形梁的實際受力狀態(tài)，應考慮剪切變形.對外荷載進行修正，是考慮剪切變形對箱形梁橫向內(nèi)力影響的一種方式.

鑒于此，本文提出了一種考慮剪切變形影響的橫向內(nèi)力計算方法，為修正框架法分析箱形梁空間效應提供參考.

1 基于彈性支承梁法的外荷載修正

為了考慮剪切變形對支承反力的影響，在斜腹板箱梁底板上虛設沿跨度方向的彈性支承(見圖1).圖中，oxyz為形心主慣性軸坐標系；m(z)為作用在頂板上的任意連續(xù)豎向偏心荷載(一般將荷載折算為沿橋長的等代均布荷載或用正弦分布代替集中荷載).為了計算彈性支承反力，假設箱形梁梁底反力與梁的豎向位移成正比，即

p(z)=kbdy(z)

(1)

式中，p(z)為梁底反力；k為彈性支承的彈性剛度；y(z)為彈性支承梁的撓度；bd為箱梁底板寬度.

圖1 彈性支承梁模型

沿梁跨度方向取一微段，作用在該微段上的力系如圖2所示.考慮該微段單元的平衡條件可得

(2)

式中，V為作用在橫截面上的剪力.

圖2 微段的平衡力系

(3)

(4)

參數(shù)η直接反映了箱形梁與彈性支承的相對剛度，間接反映了箱形梁抵抗橫向變形的能力.文獻[10]探討了箱形梁畸變理論中反映箱形梁抵抗橫截面畸變變形能力的幾何參數(shù)λ.參數(shù)η和λ具有相似的物理意義，且具有相同的量綱m-1.因此，可令

(5)

式中，Iwd為畸變翹曲慣性矩；Iwr為畸變框架慣性矩.

將式(5)代入式(4)，即可求出彈性支承箱梁的撓曲位移，進而由式(1)可求得彈性支承反力.在求解箱梁橫向彎矩時，可根據(jù)豎直方向力的平衡條件，令作用在薄片框架上的集中荷載與該截面處彈性支承反力相等，以充分考慮箱梁的橫向內(nèi)力沿梁跨度方向的變化.

對于兩端設置剛性橫隔板的簡支箱梁，橫隔板的存在使得箱形梁兩端截面不能發(fā)生橫向變形，橫向彎矩為零.因此，可認為作用在薄片框架上的外荷載為零，即彈性支承梁兩端為剛性支承.此時，彈性支承梁的邊界條件為

(6)

以箱梁上滿跨作用均布荷載pu為例，通過求解微分方程(4)，并利用相應的邊界條件(6)，可得彈性支承梁在兩端剛性支承條件下的解為

(7)

令

(8)

則式(7)可寫為

(9)

由式(1)可得作用在薄片框架上的外荷載q為

q(z)=puψ(z)

(10)

式中，ψ(z)為框架荷載修正系數(shù).

修正外荷載的物理意義為，考慮梁端橫隔板約束后，作用在剛性平面框架上的外荷載與由剪切變形引起的作用力之差，即為計算箱形梁橫向內(nèi)力的實際荷載.

當彈性支承梁兩端的支承剛度不大于彈性支承的彈性剛度k時，即彈性支承的梁兩端自由時，其邊界條件為

(11)

當箱梁上滿跨作用均布荷載時，式(4)的解為

(12)

此時，彈性支承梁的梁底反力p1=pu.式(12)表明，當彈性支承梁兩端為自由邊界條件時，作用在薄片框架上的外荷載與推廣的TYL框架分析法中的外荷載相同，即本文方法可退化為推廣的TYL框架分析法，此時ψ(z)=1.

2 框架分析

采用框架分析法求解箱形梁橫向內(nèi)力時，沿箱梁跨度方向截取單位長度的薄片框架，其橫截面尺寸如圖3所示.圖中，A、B、C、D分別為箱室的4個角點；bw、bt、bd分別為箱室腹板、頂板、底板的長度；bf為翼緣板長度.在薄片框架底板角點處虛設豎向剛性支承，腹板角點處虛設側(cè)向剛性支承，并將按彈性支承法計算得到的q(z)作用在頂板上，偏心距為e.通過計算得到支承反力和無側(cè)移薄片框架彎矩后，釋放虛設支承，并在相應位置處施加大小相等、方向相反的力.將由此引起的橫向彎矩與無側(cè)移框架的橫向彎矩迭加，得到實際箱梁的最終橫向彎矩.

圖3 橫截面尺寸與虛設支承

釋放虛設支承后，作用在薄片框架上的反力可以分解成正對稱荷載qs、水平反對稱荷載qh以及豎向反對稱荷載qv.薄片框架在反對稱荷載分量作用下發(fā)生剛性扭轉(zhuǎn)和畸變變形，在薄片框架各桿件上產(chǎn)生剪力差.薄片框架所受剪力差如圖4所示.圖中，V′t、V′d、V′w分別表示薄片框架的頂板、底板、腹板在剛性扭轉(zhuǎn)作用下產(chǎn)生的剪力差；T′t、T′d、T′w分別表示薄片框架的上桿、下桿、腹桿在畸變作用下產(chǎn)生的剪力差.根據(jù)箱形梁剛性扭轉(zhuǎn)理論，箱形梁橫截面上的剪力流具有連續(xù)性，可得

(13)

圖4 框架的剪力差荷載

在反對稱荷載作用下，薄片框架發(fā)生橫向變形時，頂板和底板上的反彎點必在其中點處，此處的內(nèi)剪力用Qt、Qd表示，腹板上反彎點處的內(nèi)剪力用Qw表示(見圖5).假設腹板上的反彎點使其上下兩部分的長度之比為1/ζm，其中ζm為與箱梁橫截面尺寸有關(guān)的系數(shù).根據(jù)內(nèi)剪力和釋放虛設支承后反對稱荷載的平衡關(guān)系，可得

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(14)

(15)

圖5 框架內(nèi)剪力示意圖

由薄片框架角點處彎矩平衡條件，可得各板件內(nèi)剪力之間具有如下關(guān)系：

(16)

(17)

由于薄片框架是左右對稱圖形，其反彎點必位于頂板和底板的中點處，反彎點處彎矩為零.因此，在計算箱形梁畸變變形時，取1/2結(jié)構(gòu)進行分析，建立如圖6所示的計算模型.當采用文獻[2]中的模型進行分析時，內(nèi)外力系并不能滿足平衡條件.

圖6 框架計算模型

如圖5和圖6所示，根據(jù)內(nèi)剪力Qt、Qd和等效外力荷載F在豎直方向的平衡條件可得

F=Qt+Qd

(18)

將式(16)、(17)代入式(18)可得

(19)

在等效外力荷載F的作用下，薄片框架發(fā)生畸變變形，角點A和D移至A′和D′處(見圖7).小變形情況下，腹板轉(zhuǎn)角γ3≈0.用ΔAy、ΔDy分別表示橫截面上角點A和D在橫截面發(fā)生變形時的豎向位移，則薄片框架頂板和底板的轉(zhuǎn)角γ1、γ2分別為

(20)

(21)

圖7 框架變形圖

由幾何關(guān)系可得框架發(fā)生變形時角點A和D的相對轉(zhuǎn)角γA、γD分別為

γA=γ1-γ3≈γ1

(22)

γD=γ2-γ3≈γ2

(23)

箱形梁橫截面產(chǎn)生畸變變形時，角點A、B、C、D分別移至A′、B′、C′、D′處，如圖8所示.圖中，γ01、γ02、γw分別為頂板、底板、腹板產(chǎn)生畸變變形時的轉(zhuǎn)角；Δh1、Δh2分別為橫截面產(chǎn)生畸變變形時角點B、角點D的豎向位移；θ為腹板傾角.根據(jù)箱形梁畸變理論，頂板、底板、腹板的面內(nèi)位移Δt、Δd、Δw分別為

(24)

圖8 框架畸變變形圖

(25)

(26)

求得各板件面內(nèi)位移后，根據(jù)圖8所示的幾何關(guān)系，可以得到箱形梁各角點處畸變角與面內(nèi)位移之間的關(guān)系式為

(27)

(28)

(29)

由框架位移與畸變位移的協(xié)調(diào)關(guān)系得

γ01+γw=γA

(30)

γ02+γw=γD

(31)

將式(30)與式(31)相加，并代入式(22)、(23)可得

γ01+γ02+2γw=γ1+γ2

(32)

將式(20)～(21)、(27)～(29)代入式(32)可得腹桿上的內(nèi)剪力Qw為

(33)

式中

式中，ζ1為箱梁橫截面尺寸系數(shù).

聯(lián)立已經(jīng)建立的8個獨立方程，即式(13)～(17)、式(25)～(26)、式(33)，可求得釋放虛設支承后反對稱荷載引起的橫向彎矩，再與無側(cè)移框架的橫向彎矩相疊加，便可得到最終的橫向彎矩.

3 數(shù)值算例及參數(shù)分析

圖9為24 m鐵路標準跨簡支箱形梁的橫截面簡圖.該箱形梁采用C50混凝土，彈性模量E=34.5 GPa，泊松比μ=0.17.箱形梁頂板、底板、腹板的原度分別為0.30、0.30、0.46 m.雙線鐵路的線間距為4.6 m，軌枕寬度為2.8 m.箱梁端部設置了內(nèi)橫隔梁，其厚度為1.2 m.為便于計算，將單線ZK標準活載簡化成沿跨度方向的豎向偏心均布荷載q2=28.67 kN/m2，其沿橫向的分布寬度為2.8 m，均勻地由軌道板傳遞到箱梁上.橫截面上設置計算點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ.

圖9 24 m標準跨簡支箱梁橫截面簡圖(單位：cm)

橫截面高寬比對箱形梁橫向內(nèi)力的分布規(guī)律具有較大影響.圖10為橫截面上計算點Ⅰ處的橫向彎矩隨不同高寬比的變化曲線.圖中，b為箱室頂板寬度.在分析過程中，保持箱形梁的頂、底板長度不變，通過改變梁高來實現(xiàn)高寬比的變化.由圖可知，箱形梁橫向彎矩在跨中橫截面最大，向梁端處逐漸減小，且橫向彎矩隨高寬比的增大而逐漸減小.當h/b<1.5時，橫向彎矩的降低幅度較大，且在遠離跨中截面處以較快的速度衰減；當h/b>1.5時，橫向彎矩降低幅度較小，且在箱形梁跨中大部分范圍內(nèi)基本保持不變.這是因為當箱形梁橫截面高寬比較小時，剪切變形對箱形梁橫向內(nèi)力的影響較大；而當橫截面高寬比較大時，梁體剛度越大，剪切效應逐漸減小.因此，對于高寬比較小的箱形梁，應考慮剪切變形的影響.

圖10 計算點Ⅰ處橫向彎矩隨高寬比變化曲線

圖11給出了分別采用推廣的TYL框架分析法和本文方法計算所得的作用在不同橫截面處平面框架上的外荷載.由圖可知，采用推廣的TYL框架分析法計算箱形梁橫向內(nèi)力時，作用在各截面處平面

圖11 不同橫截面處作用在平面框架上的外荷載

框架上的外荷載均相等，而本文方法計算得到的修正后的外荷載在跨中截面最大，靠近梁端時逐漸減小.

表1列出了計算點Ⅰ處分別按照本文方法、推廣的TYL框架分析法與ANSYS有限元法計算所得的不同橫截面處的橫向彎矩(以框架內(nèi)側(cè)受拉時為正).由表可知，本文方法計算得到的各計算點處橫向彎矩與有限元計算結(jié)果吻合良好，計算誤差均小于10%.而采用推廣的TYL框架分析法與有限元計算結(jié)果相差較大，尤其在遠離跨中截面處，最大誤差可達218.9%.由此表明，本文方法可以較好地分析剪切變形對本例箱形梁橫向內(nèi)力的影響.

表1 計算點Ⅰ處橫向彎矩 kN·m/m

(a) 計算點Ⅰ

(b) 計算點Ⅱ

(c) 計算點Ⅲ

圖12為不同計算點處橫向彎矩沿梁長的變化曲線.推廣的TYL框架分析法在計算箱形梁橫向內(nèi)力時采用剛性平面框架，忽略剪切變形對平面框架的影響，故計算所得的箱形梁橫向彎矩沿梁跨方向變化幅度較小，僅在靠近梁端處迅速減小.采用本文方法計算所得的箱梁橫向彎矩與有限元計算結(jié)果沿梁跨方向具有一致的分布規(guī)律.

4 結(jié)論

1) 采用彈性支承模型對作用在薄片框架上的外荷載進行了修正，以考慮剪切變形對箱形梁橫向彎矩的影響.數(shù)值算例結(jié)果表明，與有限元計算結(jié)果相比，采用本文方法計算24 m鐵路標準跨簡支箱形梁全梁各橫截面橫向彎矩的計算誤差均小于10%.

2) 對本文算例的分析結(jié)果表明，橫向彎矩隨高寬比的增大而逐漸減小.當高寬比小于1.5時，剪切效應顯著，橫向彎矩降低幅度較大，且在遠離跨中截面處以較快速度衰減；而當高寬比大于1.5時，橫向彎矩降低幅度較小，在箱形梁跨中大部分范圍內(nèi)基本保持不變.

3) 按本文方法計算所得的24 m鐵路標準跨簡支箱形梁橫向彎矩沿梁跨方向的分布與有限元計算結(jié)果吻合，較好地反映了箱形梁橫向內(nèi)力的分布規(guī)律.