三類常見排列組合問題的解法

趙永生

排列組合問題有很多種，如相鄰問題、不相鄰問題、相同元素問題、定序問題等，每一種題目的解法也各不相同.本文主要介紹三種排列組合問題：定位問題、“至少”問題、選排問題的解法，以供大家參考.

一、定位問題

定位問題是要求某一個(gè)或者某幾個(gè)元素必須要在某一個(gè)固定位置的問題.解答這類問題一般用優(yōu)先法，即優(yōu)先考慮要求固定位置或者在固定位置上的元素.在解答定位問題時(shí)，首先要明確被固定了位置的元素和未被固定位置的元素，以及有特殊要求的位置和沒有特殊要求的位置，然后安排有特殊要求的元素或者位置，再分析沒有要求的元素或者位置的排列情況.

例1.某幼兒園小班有A，B，C，D，E，F(xiàn)，G 7個(gè)小朋友，現(xiàn)在要讓這7個(gè)小朋友站成一排做游戲，如果A，B兩個(gè)小朋友不能站在中間，也不能站在兩邊，那么這7個(gè)小朋友一共可以有多少種不同的站法.

分析：本題中的A、B兩個(gè)元素的位置有特殊要求，所以本題是一個(gè)定位問題，可采用優(yōu)先法進(jìn)行求解.未固定位置元素的有C，D，E，F(xiàn)，G 5個(gè)小朋友，需優(yōu)先排列中間和兩邊的位置，再排其他的位置.

二、“至少”問題

“至少”問題是指在某些題目中含有“至少”字眼的排列組合問題.解答這類問題常采用間接法，這種方法只適用于求解反面情況容易分析、計(jì)算的題目.在解答“至少”問題時(shí)，要先結(jié)合題目信息求出題目中所有元素在沒有任何要求下的總排列組合數(shù)，再分析問題的反面情況，即不滿足題目要求的排列情況，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)元素求得反面情況的排列數(shù)，最后將總的排列組合數(shù)減去反面情況的排列數(shù)即可.

例2 .某跳水隊(duì)要選拔新人，要求從來自A地區(qū)的4人中和來自B地區(qū)的5人中任意選取3個(gè)人組成一個(gè)隊(duì)伍，并且隊(duì)伍中至少各有一名來自兩個(gè)不同地區(qū)的人，那么不同的組隊(duì)方式有多少種？

分析：本題中出現(xiàn)了“至少”的字眼，可采用間接法求解.先求出沒有任何要求的總的組隊(duì)方式數(shù)，然后求出“隊(duì)伍中的人只來自一個(gè)地區(qū)”組隊(duì)方式數(shù)，再將二者相減.

三、選排問題

選排問題是指要求在某幾個(gè)元素里面選出滿足題目要求的幾個(gè)元素，并且將這幾個(gè)元素指定到某些固定的位置上.解答這類問題一般使用先選后排的方法.在解答選排問題時(shí)，首先要結(jié)合題目要求找出滿足題目條件的幾個(gè)元素，再將找出的這幾個(gè)元素需要安排的位置，逐一進(jìn)行排列，最后根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解.

例3.已知某檢驗(yàn)人員檢測了一批含有10個(gè)產(chǎn)品的零件，檢測人員檢測出其中含有6個(gè)合格品與4個(gè)不合格品，但是檢驗(yàn)人員不小心忘記了將不合格品篩選出來，因此需要重新逐個(gè)檢驗(yàn)，直到找出所有的不合格產(chǎn)品為止.假如所有的不合格產(chǎn)品剛好在第5次檢驗(yàn)時(shí)被全部檢驗(yàn)出來，那么符合題目要求的檢驗(yàn)方法有多少種？

分析：本題是一個(gè)選排問題，需運(yùn)用先選后排的方法進(jìn)行解答.首先，我們需明確10個(gè)產(chǎn)品里面有4個(gè)不合格品，并且所有不合格品都在前5次檢驗(yàn)中被找到，這也就是說，前4次檢測找出了3個(gè)不合格品，第5次檢測的是不合格品.

定位問題、“至少”問題、選排問題的特點(diǎn)、解法各不相同.在解題時(shí)，同學(xué)們要注意結(jié)合題意進(jìn)行辨別，清楚題目屬于哪一種題型，然后再“對癥下藥”，選擇最合適的方法進(jìn)行求解，避免繞彎路，浪費(fèi)解題時(shí)間.

（作者單位：江蘇省淮陰中學(xué)教育集團(tuán)淮安市新淮高級中學(xué)）