中國(guó)古代八卦、哈密頓問(wèn)題及伽羅華理論

郭 民 秦德生 (東北師范大學(xué)，吉林 長(zhǎng)春 130024)

數(shù)的概念產(chǎn)生于“數(shù)數(shù)”，最早的“數(shù)數(shù)”方法就是積攢小石子、小木棍，以對(duì)應(yīng)的原則進(jìn)行.隨著社會(huì)的發(fā)展和更廣泛的計(jì)數(shù)需要，“數(shù)數(shù)”就很不方便了，人們開(kāi)始把數(shù)排成簡(jiǎn)單方便的基本群,即選定某個(gè)數(shù)a作為“基數(shù)”,對(duì)于比a大的數(shù)，用1,2,…,b的組合來(lái)命名,這就是我們今天所說(shuō)的進(jìn)位制.

進(jìn)位制中最常用的是十進(jìn)制,這是由于人的手指為它提供了一個(gè)對(duì)應(yīng)的最方便的工具，此外，還有二進(jìn)制、十二進(jìn)制和六十進(jìn)制,在我們的日常生活中也常能見(jiàn)到，歷史上還曾有過(guò)三、四、五、二十這樣的進(jìn)位制,但現(xiàn)在似乎已見(jiàn)不到了.20世紀(jì)40年代以后，隨著電子計(jì)算機(jī)的誕生及迅速發(fā)展，與通路和閉路相對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制法使電子計(jì)算機(jī)產(chǎn)生了神奇的速度和能力，人們?cè)谫潎@計(jì)算機(jī)巨大威力的同時(shí),不得不對(duì)二進(jìn)制的作用刮目相看.

八卦常用來(lái)代表8種不同的事物，如：西、西北、北、東北、東、東南、南、西南八個(gè)方向；或水、火、山、澤、天、地、風(fēng)、雷8種自然物等.由八卦中符號(hào)的兩兩可重復(fù)排列，還可以得到64種不同的形式，稱為64卦，它們可以代表由上述8種自然物衍生出來(lái)的宇宙中更多的事物及其關(guān)系.

如果接著用四個(gè)爻，五個(gè)爻……進(jìn)行排列，就可以對(duì)應(yīng)得到所有的自然數(shù)，萊布尼茨正是從陽(yáng)爻和陰爻的排列中產(chǎn)生了二進(jìn)制數(shù)的思想.如果我們將陽(yáng)爻和陰爻分別看作正號(hào)“+”和負(fù)號(hào)“-”，那么“四象”就可以表示平面直角坐標(biāo)系的四個(gè)象限中點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào),“八卦”就可以表示空間直角坐標(biāo)系的八個(gè)卦限中點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)，由此可見(jiàn)坐標(biāo)系中象限、卦限是由“四象”“八卦”演繹而來(lái)的.八卦作為一種神秘的古代文字，曾出現(xiàn)在許多奇妙的圖形中，它是中國(guó)人民智慧的結(jié)晶，它的科學(xué)思想還在不斷地被后人挖掘出來(lái).

1736年，哥尼斯堡七橋問(wèn)題被解決.歐拉非凡的思考方法大大開(kāi)闊了人們的視野.用點(diǎn)來(lái)表示研究對(duì)象，如果兩研究對(duì)象間有關(guān)系，就把兩點(diǎn)間連成一條線，研究這些對(duì)象在上述表示法中的特性就形成了“圖論”，它可以用來(lái)解決許多與對(duì)象的離散安排有關(guān)的問(wèn)題.在圖論的發(fā)展中，最初的成果基本上是借助“圖”來(lái)解決一些具體問(wèn)題而產(chǎn)生的各種想法，這些問(wèn)題往往是容易看懂的難題，研究它們可能不需要掌握很多知識(shí)，但一般需要較新穎的想法.因此，它們常常使優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家百思不得其解.由英國(guó)數(shù)學(xué)家哈密頓發(fā)明的“環(huán)球旅行”游戲而引起的“哈密頓問(wèn)題”就是這類問(wèn)題中的一例.

1859年，哈密頓在給他的朋友的信中提出了環(huán)球旅行問(wèn)題：我們用一個(gè)正十二面體的20個(gè)頂點(diǎn)代表20個(gè)大城市，要求沿著正十二面體的棱，從一個(gè)城市出發(fā)，經(jīng)過(guò)每個(gè)城市恰好一次，最后回到出發(fā)地.環(huán)球旅行問(wèn)題從表面看與七橋問(wèn)題很類似，但實(shí)際上它們之間有著本質(zhì)的差別.這個(gè)具體的問(wèn)題只要通過(guò)逐步地試探，不斷地總結(jié)規(guī)律，就會(huì)找出是否存在一條路線，從正十二面體的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，依次經(jīng)過(guò)每個(gè)頂點(diǎn)，最后回到出發(fā)點(diǎn).

環(huán)球旅行問(wèn)題可用圖論的方法來(lái)解答，為敘述方便我們給出圖論中的一個(gè)基本概念——圈.在一個(gè)圖中，一組不同的邊組成的邊序列為e1,e2,…,en,如果邊e1=(v0,v1),e2=(v1,v2),…,en=(vn-1,vn)(vi為圖中的頂點(diǎn)，i=0,1，…,n),則稱這個(gè)邊序列是從v0到vn的鏈，v0與vn被稱為鏈的端點(diǎn).如果一條鏈的兩個(gè)端點(diǎn)重合，稱這條鏈為圈.環(huán)球旅行問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為：以正十二面體的頂點(diǎn)和棱分別為頂點(diǎn)和邊作圖，在圖中確定一個(gè)圈，使它過(guò)各頂點(diǎn)正好一次.通過(guò)直接試探，我們可以找出這樣的圈，哈密頓發(fā)明的這種圈展示了一類圖所具有的特性.

環(huán)球旅行問(wèn)題可以推廣到任意多面體上，這種情況下是否還存在問(wèn)題中所要求的路線呢？顯然，這個(gè)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為判斷與多面體相應(yīng)的圖是否為哈密頓圖的問(wèn)題.然而，當(dāng)圖中頂點(diǎn)和邊數(shù)較多時(shí)，尤其是對(duì)那些原本就不存在哈密頓圈的圖來(lái)說(shuō)，直接試探的方法一般是行不通的.于是，尋求判斷一個(gè)圖是否為哈密頓圖的充分必要條件就成為人們關(guān)注的熱點(diǎn)，這就是哈密頓問(wèn)題的由來(lái).多年來(lái)，判斷哈密頓圖的許多必要條件、充分條件陸續(xù)被發(fā)現(xiàn).

與哈密頓圈有關(guān)的問(wèn)題還有許多，這些問(wèn)題似乎并沒(méi)有多大的實(shí)際意義，但是對(duì)它的研究卻往往會(huì)誘導(dǎo)人們進(jìn)行超常的思考.抓住這樣的問(wèn)題，以自己獨(dú)特的眼光和思維去探索，說(shuō)不定你也能想出一些新方法，進(jìn)而得到意想不到的成果呢！

數(shù)學(xué)中有許多重要發(fā)現(xiàn)都源于實(shí)際的觀察，這種情況在數(shù)論中尤為突出，正如歐拉所說(shuō)：“今天已知的數(shù)的許多性質(zhì)，大部分都是經(jīng)過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)的，而且在它的真實(shí)性被嚴(yán)格證明以前很久，就已被發(fā)現(xiàn)了.”雖然有許多數(shù)的性質(zhì)，我們都非常熟悉，但至今還不能證明，只能靠觀察獲得這些知識(shí).與哥德巴赫猜想和費(fèi)馬定理一樣，數(shù)論中許多問(wèn)題的研究大都經(jīng)歷了觀察、發(fā)現(xiàn)、概括、猜想、論證這樣一個(gè)過(guò)程.

這里我們?cè)俳榻B一下數(shù)論中關(guān)于完全數(shù)、親和數(shù)以及華林猜想的一些研究情況.

將完全數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行推廣，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)正整數(shù)220和284，它們彼此等于對(duì)方所有的真因數(shù)之和，他們將這兩個(gè)正整數(shù)命名為親和數(shù)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派只發(fā)現(xiàn)220和284這對(duì)親和數(shù).到1636年，費(fèi)馬找到第二對(duì)親和數(shù)：17296和18416.1638年，笛卡兒找到第三對(duì)親和數(shù)：9363584和9437056.歐拉系統(tǒng)地尋找親和數(shù)，找到親和數(shù)60對(duì).1886年，16歲的意大利男孩帕格尼尼發(fā)現(xiàn)了一對(duì)被人疏漏掉的親和數(shù)：1184和1210.目前已知的親和數(shù)最大的一對(duì)均為152位數(shù).關(guān)于完全數(shù)和親和數(shù)的研究不僅促進(jìn)了數(shù)論的發(fā)展，也促進(jìn)了代數(shù)學(xué)的發(fā)展.

華林猜想是勾股定理的推廣，即考慮將任一正整數(shù)表示為若干個(gè)正整數(shù)的平方和、三次方和、四次方和的形式等.1770年，華林提出猜想：每個(gè)正整數(shù)是不多于4個(gè)平方數(shù)之和、不多于9個(gè)立方數(shù)之和、不多于19個(gè)四次方數(shù)之和.拉格朗日和歐拉都先后證明了平方和的形式，韋伊費(fèi)列治證明了立方和的形式，關(guān)于四次方和的形式，數(shù)學(xué)家哈代先證明大于1010的數(shù)都可以表示為小于或等于19個(gè)四次方數(shù)之和，但小于1010的數(shù)沒(méi)辦法證明，劉維爾證明對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)，53個(gè)四次方數(shù)足夠表示其正整數(shù)之和，韋伊費(fèi)列治證明37個(gè)整數(shù)足夠表示其正整數(shù)之和，我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)證明27個(gè)整數(shù)足夠表示其正整數(shù)之和，1985年，巴拉薩布雷尼安和德雷斯證明對(duì)于每個(gè)正整數(shù)，不超過(guò)19個(gè)整數(shù)足夠表示其四次方數(shù)之和.到此為止，華林猜想的研究基本完成.

與其他數(shù)學(xué)分支相比，數(shù)論中的發(fā)現(xiàn)與猜想是比較多的，這與數(shù)論中的問(wèn)題內(nèi)容易懂表述簡(jiǎn)明有很大關(guān)系.當(dāng)然，觀察得到的發(fā)現(xiàn)與猜想并不能直接形成新理論，但它為新理論的創(chuàng)立提供了最基本、最重要的前提，數(shù)論中的許多問(wèn)題看似簡(jiǎn)單的初等數(shù)學(xué)內(nèi)容，然而用初等數(shù)學(xué)的方法卻無(wú)法解決.它蘊(yùn)含的深刻理論促使人們創(chuàng)造出深刻的方法，不僅推動(dòng)著數(shù)論及其他數(shù)學(xué)分支的發(fā)展，也為培養(yǎng)人的觀察發(fā)現(xiàn)能力、創(chuàng)造性思維能力提供了一條有效途徑.難怪偉大的數(shù)學(xué)家高斯在評(píng)價(jià)數(shù)論的地位時(shí)發(fā)出贊嘆：“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，數(shù)論是數(shù)學(xué)中的皇后.”

數(shù)學(xué)史上記錄著一位法國(guó)青年,他的一生只有短暫的20年,他的遺稿共計(jì)不過(guò)60頁(yè),而他的工作卻為代數(shù)學(xué)的發(fā)展提供了全新的思想，這顆數(shù)學(xué)天空中閃電般的流星,就是埃瓦利斯特·伽羅華.

伽羅華于 1811 年出生于巴黎,自幼性情剛直,執(zhí)著追求真理,無(wú)論做什么事情,都有一種堅(jiān)持不懈的精神.少年時(shí)代的伽羅華并沒(méi)有顯露出超常的天賦,但他對(duì)自己的學(xué)習(xí)非常自信,尤其是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科,有著濃厚的興趣和驚人的理解能力.到中學(xué)后,伽羅華就開(kāi)始自學(xué)柯西、拉格朗日、高斯、勒讓德等當(dāng)代名師的原著,從中汲取寶貴的思想,培養(yǎng)洞察事物本質(zhì)的能力.然而伽羅華的才能并沒(méi)有被發(fā)現(xiàn).后來(lái),他進(jìn)入了多科工藝學(xué)校的預(yù)備學(xué)校,在那里繼續(xù)刻苦鉆研數(shù)學(xué).

伽羅華所處的時(shí)代,正是方程論的研究取得重大進(jìn)展的時(shí)代，自16世紀(jì)誕生了一元三、四次方程求根公式，為尋求一元五次方程的求根公式，人類已經(jīng)苦苦探索了二百多年.公元1770年，拉格朗日提出五次方程沒(méi)有求解公式，拉格朗日的結(jié)論雖然沒(méi)給出嚴(yán)格證明,但卻給人們以很大的啟發(fā).1824年,22歲的數(shù)學(xué)家阿貝爾給出了高于一元四次代數(shù)方程不可能有根式解的嚴(yán)格證明,為人們尋求五次方程求根公式的漫長(zhǎng)歷史畫(huà)上了句號(hào).

高于四次的方程沒(méi)有根式解，阿貝爾試圖刻畫(huà)出全部能用根式求解的方程的特性.然而,1829年,年僅27歲的阿貝爾在貧病交困中過(guò)早地離開(kāi)了人世,未能實(shí)現(xiàn)他的愿望.年僅16歲的中學(xué)生伽羅華在攻讀了拉格朗日的《關(guān)于代數(shù)方程解法的思考》和阿貝爾的有關(guān)成果后,倍受啟發(fā)和促動(dòng),他接受并改進(jìn)了拉格朗日的思想,用了方程根的置換即排列概念,認(rèn)為方程的可解性可在根的置換集合上構(gòu)建的某些性質(zhì)中反映出來(lái)，伽羅華引入了現(xiàn)在稱之為“群”的概念,成功地給出了判斷一個(gè)代數(shù)方程可否有根式解的充要條件.1829年,18歲的伽羅華寫(xiě)出了“關(guān)于代數(shù)方程論的研究報(bào)告”并交到了法國(guó)科學(xué)院.

伽羅華在數(shù)學(xué)研究中較早地獲得了突破性的成果,但對(duì)這一成果的認(rèn)定卻充滿了坎坷.他第一次呈交的論文由于法國(guó)科學(xué)院的不重視而丟失了，第二次重寫(xiě)的論文因?qū)徃迦烁道锶~去世而再次丟失.1831年,伽羅華又寫(xiě)了“關(guān)于用根式解方程的可解性條件”，交由院士普阿松審閱，四個(gè)月后，論文以“完全不可理解”的結(jié)果被退回，不過(guò)普阿松建議他再詳細(xì)闡述.面對(duì)種種挫折,伽羅華雖然很傷心,但決不氣餒.

1832年,伽羅華被牽扯進(jìn)一場(chǎng)無(wú)謂的手槍決斗,并由此而喪生，在決斗前夜,他趕寫(xiě)出一份關(guān)于自己見(jiàn)解的說(shuō)明,連同原稿一起交給一位好友保存，這份遺稿在伽羅華死后 14 年才被發(fā)表,且直到1870 年后才逐漸被數(shù)學(xué)家們所理解,它的應(yīng)用價(jià)值和潛在的理論成為更廣泛的代數(shù)理論的基礎(chǔ),也是抽象代數(shù)在20世紀(jì)興起的重要因素.伽羅華認(rèn)為，數(shù)學(xué)乃至整個(gè)科學(xué)研究中偶然性所起的作用并非微不足道.實(shí)事求是，奮發(fā)進(jìn)取,是伽羅華展現(xiàn)給世人的一種精神,也是他成才的力量源泉.