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    特殊映射的計數(shù)研究

    2021-02-15 11:38:34李長悅吉林師范大學(xué)吉林長春130000
    關(guān)鍵詞:個數(shù)盒子計數(shù)

    李長悅 (吉林師范大學(xué),吉林 長春 130000)

    一、引 言

    我們在各種領(lǐng)域都會遇到對有限集的計數(shù)問題,而要想解決這些問題,我們需要掌握好基礎(chǔ)知識,還需要掌握一些計算的技巧.計數(shù)問題分為一般型映射、特殊型映射、限制型映射及轉(zhuǎn)化型映射等,本文主要研究一些特殊型映射的計數(shù)問題,即單射、滿射、雙射、函數(shù)等的計數(shù)問題.

    二、基本概念

    二十世紀(jì)八十年代初,代數(shù)的集合和映射的概念在中學(xué)數(shù)學(xué)教科書上已出現(xiàn).在人民教育出版社1983年版的《代數(shù)(甲種本)》中可以看到有關(guān)“A到B上一一映射”的概念,它主要指的是“集合A中不同的元素在集合B中不同的象”,而且“B中的每一個元素都有原象”的映射.其實,后者正是指“一一映射”,前者則代表著“A到B上”的概念,但它并沒有具體地討論什么是“A到B上的映射”和什么是“一一映射”.

    集合A到集合B的映射f:A→B,包括單射、滿射、雙射.單射指當(dāng)x1,x2∈A,且x1≠x2時,B中元素f(x1)≠f(x2),這種情況也被稱為一一映射,也有寫作1—1映射的.滿射是指f(A)=B,也稱A到B上的映射,或稱f是映射.雙射指既是單射又是滿射的映射,又稱“A到B上的一一映射”,或稱“A與B之間的一一對應(yīng)”.特別地,有A到B上的一一映射 (既是滿射又是單射),也可以有A到B內(nèi)的一一映射 (不是滿射的單射).所以把A到B上的一一映射 (即雙射) 簡稱為一一映射 (通常指單射) 是不恰當(dāng)?shù)?

    各種數(shù)學(xué)專業(yè)書籍,包括基礎(chǔ)教科書和一些專著,其中提到“一一映射”或“映射是一一的”(one to one或one—one,1—1) 均指單射,而“一一對應(yīng)”指的是雙射.

    (一)基礎(chǔ)知識

    定義1設(shè)兩個非空集合X,Y,若存在一個映射之間的對應(yīng)規(guī)則f,使得?x∈X,有唯一確定的y∈Y與之對應(yīng),則稱f為從X到Y(jié)的映射,記作f:X→Y.

    圖1

    (1)元素y是元素x在映射f下的象,記作y=f(x).

    (2)元素x是元素y在映射f下的原象.

    (3)集合X是映射f的定義域,Y的子集Rf=f(x)={f(x)|x∈X}是f的值域.

    注意:①映射的三要素——定義域、對應(yīng)規(guī)則、值域.

    ②元素x的象y是唯一的,但y的原象不一定唯一.

    對于映射f:X→Y:

    (1)若f(x)=Y,則稱f為滿射,如圖2所示.

    圖2

    (2)若?x1,x2∈X,x1≠x2,有f(x1)≠f(x2),則稱f為單射,如圖3所示.

    圖3

    若f既是滿射又是單射,則稱f為雙射或一一映射.

    說明映射在不同數(shù)學(xué)分支中有不同的慣用名,具體表示如下:

    定義2把X到Y(jié)的映射叫作定義在X上、取值在Y內(nèi)的函數(shù).

    定義3單射、滿射、雙射:有兩個集合X和Y,若對每一個x∈X,有y∈Y與之對應(yīng),那么就定義了一個從X到Y(jié)的映射f:X→Y.若由x1≠x2,得f(x1)≠f(x2),則稱f為單射.若{f(x)|x∈X}=Y,則稱f為滿射.若f既是單射又是滿射,則稱f為X到Y(jié)上的一一映射,也稱雙射.

    (二)雙射的條件

    1.函數(shù)f:X→Y為雙射,當(dāng)且僅當(dāng)對?y∈Y,存在唯一的x∈X,滿足f(x)=y.

    2.函數(shù)f:X→Y為雙射,當(dāng)且僅當(dāng)此函數(shù)可逆,即存在函數(shù)g:Y→X,滿足gf=X上的恒等函數(shù),且gf為Y上的恒等函數(shù).

    3.兩個雙射復(fù)合也是雙射,如gf為雙射,則僅能得出f為單射且g為滿射.

    三、映射的計數(shù)

    (一)基本定理

    映射原理設(shè)A和B都是有限集,f為從A到B的一個映射:

    (1)如果f為單射,則|A|≤|B|;

    (2)如果f為滿射,則|A|≥|B|;

    (3)如果f為雙射,則|A|=|B|.(|A|代表A中元素的個數(shù),下同)

    同樣地,設(shè)A和B是兩個有限集合:

    (1)|A|=m,|B|=n,則A到B的不同映射有nm個;

    (4)|A|=m,|B|=n,當(dāng)m=n時,A到B的雙射有n!個.

    (二)映射的計數(shù)問題

    1.單射的計數(shù)(排列)

    我們首先要構(gòu)造一個理想的典型模型:筆放到盒子里.例如:把黑、白2支筆放到紅色盒子、藍(lán)色盒子、黃色盒子中(這里的黑、白色筆指的是筆身的顏色,下同),如果假設(shè)每個盒子里只能放1支筆,那么將這2支筆放到盒子中有多少種不同的安排?我們是這樣思考的:不妨設(shè)先把白筆放到3個盒子的任何一個中,其次放黑筆,放到剩下2個盒子的任何一個中,因此,2支筆放到3個盒子中的不同方式的種數(shù)為3×2=6.

    我們把這個問題用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言——映射來表達(dá).

    不妨先將盒子分別編號為1,2,3,把3個不同顏色的盒子當(dāng)作3個位置,把2支筆看作2件東西,這是東西與位置間的一種對應(yīng),本例中由于筆少盒子多,因而是單射.

    這種單射可以表示為:

    f1={(白,1),(黑,2)},f2={(白,1),(黑,3)},

    f3={(白,2),(黑,1)},f4={(白,2),(黑,3)},

    f5={(白,3),(黑,1)},f6={(白,3),(黑,2)}.

    也可如圖4所示.

    圖4

    上述例題中的特殊數(shù)字不難推廣到一般情況:

    下面用映射的語言進(jìn)行表示:

    設(shè)A={1,2,…,m},即Nm表示m個元素的一個集合,于是B={1,2,…,n}.

    I(A,B)表示從A到B的所有單射,#(A,B)表示從A到B的所有單射的個數(shù).

    2.雙射的計數(shù)(組合)

    在上面“筆放到盒子里”的舉例中,有兩種筆——黑筆、白筆,倘若將白筆涂成黑色,則2支筆都是黑筆,這樣就意味著無序(與順序無關(guān))投入.于是放筆入盒的問題簡化為:將2支筆分別投入不同的3個盒子中,并使一個盒子至多只能放1支筆,則共有三種單射:s1={(黑,1),(黑,2)},s2={(黑,1),(黑,3)},s3={(黑,2),(黑,3)}.

    圖5

    現(xiàn)在回顧排列中的6個單射,其中f1={(白,1),(黑,2)},f3={(白,2),(黑,1)},由于“白筆”即“黑筆”,因此f1,f3與s1看作相同,同理,f2,f5與s2以及f4,f6與s3也分別是一樣的.通常情況下,若有從A到B的排列中的兩個單射h,g,即h,g∈I(A,B),若Im(h)=Im(g),即兩個單射h與g的“象”相同,不管它們的排列順序是怎樣的,都把它們看作同一個組合.

    這樣,把所有具有等價關(guān)系的單射放在一起,形成等價類,例如,f1≈f3是同一類,類似地,f2≈f5,f4≈f6也分別看作同一類.

    3.滿射的計數(shù)

    下面建立滿射的計數(shù)公式:

    顯然:(1)若n

    現(xiàn)設(shè)m≥n,滿射f:A→B的

    證明設(shè)A={x1,x2,…,xm},B={y1,y2,…,yn},f:A→B,yi不屬于集合A中的任何一個元素的象的映射構(gòu)成的集合Ai,i=1,2,…,n,即Ai={f:A→B|yi?Im(f)},則A到B的所有滿射個數(shù)為:

    S=nm-|A1∪A2∪…∪An|

    四、關(guān)于特殊映射計數(shù)問題的探究

    問題已知兩個集合A={1,2,3,4}與B={a,b,c,d,e},f(A)∈{a,b,c,d,e},設(shè)a

    探究1若改變f(1)≤f(2)

    變式1若將“f(1)≤f(2)

    于是有:

    探究2改變f(1)≤f(2)

    變式2如果將“f(1)≤f(2)

    探究3同時改變“≤”所在的位置及使用的個數(shù),會有什么樣的結(jié)論?

    變式3若將“f(1)≤f(2)

    綜上,有如下結(jié)論:

    探究4能否將結(jié)論1,2形式上的結(jié)果通過一定的轉(zhuǎn)化變?yōu)橄嗤?再比較一下得出的相對應(yīng)的兩個結(jié)果,看看是否能發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律.

    五、計數(shù)問題在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

    例1數(shù)集A={a1,a2,…,a100},數(shù)集B={b1,b2,…,b50},映射f:A→B滿足f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)的映射有多少個?

    例2設(shè)M={a,b,c},N={-3,0,5}.

    (1)求映射的個數(shù);

    (2)若集合M到N的映射f滿足f(a)>f(b)≥f(c),試求f的個數(shù).

    解(1)根據(jù)映射的基本要求“每個元素必有對應(yīng)的象,每個對應(yīng)的象必是唯一的”,在集合M中,元素a可以對應(yīng)N中的任意一個元素,這樣就會產(chǎn)生3種對應(yīng)方法.同理,M中元素b,c也各有3種不同的對應(yīng)方法.所以,由乘法原理可知,從M到N的映射個數(shù)為33=27.

    (2)滿足f(a)>f(b)≥f(c)的映射是從M到N的特殊映射,具體情況如下表所示:

    f(a)f(b)f(c)0-3-35-3-350-3500

    故符合條件的映射個數(shù)為4.

    分析若在沒有限制條件的情況下求映射的個數(shù),可直接采用乘法原理.若有限制條件且數(shù)目不大,可利用列舉法或列表法轉(zhuǎn)化成圖表語言.

    例3映射f:{a,b,c,d}→{0,1,2,4}中,滿足f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4的映射有多少個?

    解f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4有以下4種情況:

    綜上所述,滿足f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4的映射共有4+6+12+1=23(個).

    六、結(jié) 語

    映射是中學(xué)數(shù)學(xué)中一個基本且重要的概念,它不僅為函數(shù)的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ),而且自身有非常鮮明的特點.由于兩個集合之間可能有不同的映射類型,所以產(chǎn)生了排列組合的相互聯(lián)系,也就是映射的計數(shù)問題,因此,映射計數(shù)問題的類型很豐富,值得我們?nèi)ヌ剿骱屯诰蚱渲械膴W秘.本文通過對競賽和高考中各種類型的映射計數(shù)問題進(jìn)行分析,以期讀者對映射計數(shù)的相關(guān)原理更加清晰.

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