基于Fisher信息矩陣的多目標最優(yōu)傳感器配置

王琦少 王青云 段志生

1．北京航空航天大學航空科學與工程學院北京100191 2. 北京大學工學院北京100871

態(tài)勢感知[1?3]是復雜戰(zhàn)場情況下實現指揮與控制的基礎之一,目標感知問題[4?5]是戰(zhàn)場態(tài)勢感知問題的一個重要分支,在潛水艇、船舶以及防御監(jiān)視系統(tǒng)對目標的定位問題中扮演了重要的角色. 對敵我雙方實現精確的目標感知, 是對戰(zhàn)場態(tài)勢感知的基礎, 傳感器與感知目標之間的相對位置對感知精度有著較大影響, 良好的傳感器部署可以實現對敵我雙方態(tài)勢更精準的把握. 為了解決傳感器的最優(yōu)部署問題,學者們已經提出了許多有效的算法[6?7]. 在此基礎上,文獻[8?9]指出對于多傳感器非線性觀測模型, 傳感器與目標的相對幾何構型對目標定位算法的表現有著顯著的影響.因此,在何種條件下目標定位算法可以實現更好的性能是一個有意義的研究課題. 本文主要研究了如何基于FIM 和克拉美- 羅下界(Cramer-Rao Lower Bound, CRLB)來設計最優(yōu)傳感器- 目標相對幾何構型的問題, 此問題也稱為傳感器部署問題. CRLB 和FIM 通常用來評估狀態(tài)估計算法的性能[9]. FIM 與傳感器部署位置,即傳感器-目標的相對幾何構型有關, 可以看作一個以傳感器-目標幾何構型為自變量的矩陣函數. CRLB 是FIM 的逆矩陣, 用于估計協方差矩陣可以到達的下界,即無論狀態(tài)估計算法如何設計,估計誤差協方差矩陣不可能小于CRLB. 值得一提的是, CRLB 受傳感器- 目標的幾何構型影響, 與濾波算法的選取無關.許多研究表明,CRLB 最小化的幾何構型更有可能達到精確的目標定位效果.

目前衡量最優(yōu)傳感器-目標相對幾何構型的性能指標主要有兩種: A 類最優(yōu)標準與D 類最優(yōu)標準.其中, A 類最優(yōu)標準要求最優(yōu)的幾何構型能夠最小化CRLB 的跡, 而D 類最優(yōu)標準則要求最優(yōu)的幾何構型能夠最小化CRLB 的行列式或最大化FIM 的行列式.

基于A 類最優(yōu)標準與D 類最優(yōu)標準的單目標定位問題已經有許多優(yōu)秀的研究成果[10?23]. 其中,文獻[12?13] 研究了異構多傳感器在二維空間中的最優(yōu)部署問題,分別給出了基于A 類最優(yōu)標準以及D 類最優(yōu)標準的解析形式的最優(yōu)構型. 文獻[13]對二維情形不同種類傳感器的最優(yōu)構型做出了綜合性的討論.在此基礎上, 文獻[14?15]分別討論了二維情形下含區(qū)域約束的多傳感器最優(yōu)構型, 以及二維情形下以最優(yōu)構型跟蹤移動目標的問題.基于D 類和A類最優(yōu)標準,文獻[16,18]分別給出了二維情形下攜帶不同類型傳感器的無人機最優(yōu)路徑規(guī)劃策略. 文獻[17]給出了一種確定異構多測角傳感器在三維空間中所有最優(yōu)幾何構型的方法. 文獻[21]進一步建立了三維空間中基于A 類最優(yōu)標準的多接收信號強度傳感器的最優(yōu)幾何構型條件.

在關于多傳感器最優(yōu)觀測構型的文獻中, 討論的重點主要集中在比較簡易的二維情形下多傳感器最優(yōu)構型問題. 對于更貼近實際的三維情形下多傳感器的最優(yōu)構型問題, 由于三維CRLB 的行列式難以計算, 所以研究得較少. 此外, 現有研究內容大多基于單目標的多傳感器最優(yōu)構型問題, 對于多目標多傳感器最優(yōu)構型問題的研究尚不充分.

文獻[24] 指出, 在設計多傳感器最優(yōu)觀測幾何構型和軌跡優(yōu)化時, D 類最優(yōu)標準的連續(xù)性優(yōu)于A類最優(yōu)標準.同時,信號強度傳感器在三維空間目標定位問題中已經得到了廣泛的應用. 因此,本文研究了三維空間中, 基于D 類最優(yōu)標準的多目標多信號強度傳感器最優(yōu)觀測幾何構型問題. 通過正定矩陣不等式放縮方法, 給出了針對單個目標的多傳感器最優(yōu)觀測構型, 并在此基礎上對多目標問題的優(yōu)化指標進行了合理的修改, 實現了多傳感器在多目標情形下的最優(yōu)觀測構型求解.

1 預備知識

1.1 基本概念

為了表征傳感器幾何配置對觀測性能的影響,引入基于CRLB 的協方差矩陣表達式如下:

其中,x∈Rn為待估計向量,若考慮三維空間情形下的目標位置信息,則有n= 3；是x的估計值；P表示估計誤差的協方差矩陣；C為CRLB,即正定二次型意義下協方差矩陣的下界；FFF為FIM,其表達式為

其中,p(x,z)為似然函數.

1.2 重要引理

在給出本文主要結果前, 先介紹幾個重要的引理. 這些引理對于文章主要結果的導出起到了關鍵的作用.

引理1.對于一個大于等于三的整數α = 0,下式成立

引理2.對于一個n×n的正定陣A,有

其中,aii是A的第i個對角元素,當且僅當A的非對角元全為0 時,等式成立.

證明.正定矩陣A可以寫為

經過初等行變換,以下不等式成立

等式成立當且僅當α=0,由數學歸納法,引理得證.

2 傳感器最優(yōu)配置方法

2.1 傳感器模型描述

圖1 傳感器與目標相對空間位置示意Fig.1 The relative geometry between target and sensor

其中,P0是目標初始的信號強度；a是與環(huán)境相關的路徑損失參數；di是傳感器與目標之間的距離以及是加性的高斯白噪聲,服從正態(tài)分布

2.2 多信號接收強度傳感器下Fisher 信息矩陣

假設各傳感器的噪聲互不相關, 并且具有相同的方差,即σ1=σ2=···=σN=σ. FIM 的計算公式如下:

其中,

由上式可知,Fisher 信息矩陣可以表示為N個秩為1 的矩陣之和,將其表示為如下緊湊的形式

后面將討論與FIM 相關的優(yōu)化指標,并給出最優(yōu)構型的表達形式.

2.3 D-優(yōu)性能指標下最優(yōu)構型的表達形式

基于FIM 的優(yōu)化指標包括D-優(yōu),A-優(yōu),E-優(yōu)等,其中, D- 優(yōu)代表CRLB 的行列式, A- 優(yōu)代表CRLB的跡,E-優(yōu)代表CRLB 的最小特征值.這3 種優(yōu)化指標的物理意義分別為誤差橢球的體積、半軸長的和以及最短半軸長.

文獻[24] 通過數值實例驗證了D- 優(yōu)指標相對于A-優(yōu)和E-優(yōu)而言具有更好的連續(xù)性,因而具有更好優(yōu)化效果.本文采用D-優(yōu)指標來求解最優(yōu)觀測構型. 由于Fisher 信息矩陣與CRLB 是互逆的關系,可以通過最大化Fisher 信息矩陣的行列式值來求解最優(yōu)觀測構型. 經過一定的計算,將Fisher 信息矩陣的行列式表達為下述的形式

其中,ci=cos θiφi j=φi?φj.

本文考慮文獻[23]提出的海平面單目標多傳感器最優(yōu)構型配置問題, 即在海平面上配置一系列傳感器來觀測水下目標, 已知目標與海平面的距離h.基于上述的分析,容易得到下述關系式

考慮幾何對稱的情形,即s1=s2= ··· =sN, 可以得到表達式

由引理3,可以得知FIM 的行列式值不會超過其對角線元素的乘積,即

注意到上式中間兩項具有如下的關系

因此,可以將FIM 的上界進一步放縮為

不難發(fā)現,當偏航角滿足關系

時,FIM 中的非對角元素均為0,即

因此, 對于任意確定的θ, 取φi=即可使FIM 的行列式值達到上界,后續(xù)只需優(yōu)化這一上界即可.將代入FIM 的上界表達式中,可以得到

令x=sin2θ,容易發(fā)現上述表達式的最大值在x=即θ = arcsin處取到. 綜上所述,最優(yōu)傳感器觀測構型對應的俯仰角和偏航角為

相應的最優(yōu)Fisher 信息矩陣行列式值為

這一結果與引理1 中的內容相吻合.

由式(20)可以看出,對于最優(yōu)觀測構型而言,其所對應的FIM 行列式的值僅與傳感器個數以及傳感器與目標的距離有關. 這一結論為后續(xù)設計多目標最優(yōu)觀測構型提供了理論基礎. 與文獻[17, 21]僅討論A 類標準的最優(yōu)構型相比,本文利用正定矩陣的放縮方法給出了D 類標準下的最優(yōu)觀測構型. 單個目標傳感器個數分別為4 和6 對應的最優(yōu)觀測構型示意如圖2 所示.

圖2 單個目標最優(yōu)幾何構型示意Fig.2 Illustrative example for single target optimal observation geometry

2.4 多目標最優(yōu)構型的表達形式

基于上一節(jié)的分析, 可以得到對于一個目標而言, 在指定了傳感器的個數以及目標傳感器之間的距離后, 其最優(yōu)觀測構型和對應的FIM 的行列式值都可以解析表出. 本節(jié)將針對多個目標的協同觀測問題, 設計相應的優(yōu)化指標來實現多傳感器對多目標的最優(yōu)觀測配置.記

其中,hi是指定的高度,ni是指定的傳感器個數,ξi表示第i個目標對應的最優(yōu)Fisher 矩陣行列式值,滿足

借鑒文獻[19] 的處理方式, 將多目標傳感器個數分配問題寫為如下的優(yōu)化問題

該優(yōu)化問題的目標是使每一個目標對應的FIM行列式值盡可能地接近.在實際應用中,FIM 的行列式值是相對于深度h和數量N的高階量, 這會導致優(yōu)化問題的求解偏向于邊界取值.因此,對優(yōu)化指標進行修改,得到如下優(yōu)化問題,其物理意義使每一個目標觀測誤差橢球的半長軸的幾何均值盡可能接近.

通過求解上述優(yōu)化問題, 可以獲得多目標傳感器的最優(yōu)配置構型.

從優(yōu)化指標中可以看出, 如果傳感器距離目標越遠, 那么優(yōu)化問題的解就會傾向于給該目標分配更多的傳感器以實現觀測效果的平衡. 與文獻[19]相比, 本文將多傳感器對多目標的最優(yōu)觀測構型求取方法推廣到了三維情形, 并對優(yōu)化指標進行修改從而優(yōu)化了解的性質. 因此,本文所討論的內容更加貼近實際應用.

3 數值驗證

本節(jié)將通過一組數值實例來闡述優(yōu)化問題的求解過程以及最優(yōu)觀測構型相較于普通觀測構型的優(yōu)勢.

考慮的場景是我方在海平面上方有14 個攜帶信號強度傳感器的偵察無人機,已知在水下有3 個待感知的敵方目標,其坐標、深度分別如表1 所示. 每一個偵察無人機可以觀測一個目標, 為了實現對敵方3 個目標的最優(yōu)感知, 需要求解式(24)所示的優(yōu)化問題以獲得最優(yōu)的觀測構型配置. 其基本步驟是得到每一個目標的傳感器個數配置后, 針對每個目標配置最優(yōu)的觀測構型,以實現最優(yōu)觀測效果.

表1 目標參數以及最優(yōu)傳感器配置數Table 1 Parameters of targets and optimal allocation of sensors

圖3 和圖4 展示了最優(yōu)傳感器配置結果,黑色圓點代表我方偵察無人機, 藍色三角形代表敵方水下目標, 兩圖分別展示了我方偵察無人機為實現對敵方目標最優(yōu)感知所形成的三維幾何部署和幾何部署俯視圖.

圖3 最優(yōu)傳感器構型配置空間情形Fig.3 3D case optimal observation geometry for multiple sensors

圖4 最優(yōu)傳感器構型配置俯視圖Fig.4 Top view of optimal observation geometry

圖5 給出了最優(yōu)構型與普通構型的觀測性能對比結果. 仿真中, 不同的θ 代表不同的觀測構型, 并采用擴展Kalman 濾波的算法進行觀測, 記錄方差項P的迭代值,記錄不同觀測構型下方差項P的跡trace(P)隨時間的變化趨勢. 可以看出, 最優(yōu)構型下P的收斂速度和精度明顯優(yōu)于非最優(yōu)構型下的情形,因此,最優(yōu)觀測構型的有效性得到了驗證.

圖5 不同觀測構型下的trace(P)對比Fig.5 Comparison of trace(P)for different observation geometry

4 結論

本文考慮了戰(zhàn)場態(tài)勢感知中, 采用多傳感器實現多目標感知的最優(yōu)幾何部署.通過優(yōu)化FIM 的行列式值,得到了針對單個目標的最優(yōu)觀測構型. 對于多目標的情形, 將優(yōu)化問題分解為傳感器個數分配問題和單目標最優(yōu)觀測構型問題, 最終達到更好地觀測效果.