一般黏彈性耗能單自由度系統(tǒng)非均勻和完全非平穩(wěn)地震響應(yīng)分析

賈松林 王博文 胡 強(qiáng) 昌明靜

（廣西科技大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，柳州 545006）

0 引 言

黏彈性阻尼器是一種有效的被動(dòng)減震控制裝置，具有廣泛的工程適應(yīng)性［1］。它既可用于結(jié)構(gòu)的抗風(fēng)抗震中，又可用于震損結(jié)構(gòu)的加固及震后修復(fù)工程中。

實(shí)際工程應(yīng)用中，阻尼器的安裝往往依附于支撐。對(duì)于設(shè)置支撐的一般線性黏彈性阻尼器系統(tǒng)，支撐剛度不僅影響結(jié)構(gòu)的整體響應(yīng)［2-6］，而且影響阻尼器的受力和變形；消能減震構(gòu)件的損傷和破壞均加劇了主體結(jié)構(gòu)的損傷和破壞［7-8］。所以，對(duì)設(shè)置支撐的黏彈性阻尼器保護(hù)系統(tǒng)的研究具有重要意義。

目前線性黏彈性阻尼器計(jì)算模型主要包括一般微分模型及其近似［9-11］、分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型［9，12-17］、復(fù)模量模型及其近似［1，19-22］、一般積分型模型［9，19，23-28］。其中，最一般的模型是一般積分型模型，其余模型均為一般積分型模型的近似或無限逼近［9，19，23-28］。

黏彈性耗能結(jié)構(gòu)現(xiàn)有解析法的代表有擴(kuò)階精確法［29-30］、非擴(kuò)階近似法［31］等，它們存在物理意義不明確、假設(shè)較多、計(jì)算效率低等缺陷［22，32］，導(dǎo)致這些方法適用性受限。傳遞函數(shù)法降低了積分微分型方程的求解難度，求解過程簡單，計(jì)算效率高。

目前，現(xiàn)有研究僅獲得單自由度一般黏彈性耗能結(jié)構(gòu)在簡諧荷載激勵(lì)下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的解析解和一般黏彈性耗能結(jié)構(gòu)在任意激勵(lì)和非零初始條件下瞬態(tài)響應(yīng)的解析解［33］，此解析解具有明確的物理意義，揭示耗能結(jié)構(gòu)及其保護(hù)系統(tǒng)的振動(dòng)機(jī)理。但單自由度一般黏彈性阻尼器耗能結(jié)構(gòu)及其保護(hù)系統(tǒng)在任意激勵(lì)和非零初始條件下的時(shí)域瞬態(tài)位移響應(yīng)與速度響應(yīng)的非正交振型疊加精確解尚待深入研究。

地震從發(fā)生到結(jié)束的整個(gè)過程，一般都是非平穩(wěn)隨機(jī)過程［34-36］，因此，科研人員提出了很多地震激勵(lì)模型［37-40］，其中 Kanai-Tajimi譜地震激勵(lì)模型具有符合地震動(dòng)特點(diǎn)且表達(dá)式相對(duì)簡單而受到廣大科研人員的重視［41］。通常采用Priestley提出的演變功率譜模型來分析非均勻非平穩(wěn)隨機(jī)過程；Conte和Peng［42］提出的完全非平穩(wěn)模型反映了地震的強(qiáng)度非平穩(wěn)和頻率非平穩(wěn)特性，其計(jì)算參數(shù)可通過實(shí)際地震加速度演變功率譜擬合得到，具有較強(qiáng)通用性。目前已獲得廣義Maxwell阻尼耗能結(jié)構(gòu)在平穩(wěn)濾過白噪聲激勵(lì)下的平穩(wěn)響應(yīng)解析解［43-45］和Maxwell阻尼耗能結(jié)構(gòu)均勻非平穩(wěn)地震響應(yīng)解析分析［32］，然而對(duì)于單自由度一般黏彈性耗能結(jié)構(gòu)及其保護(hù)系統(tǒng)在非均勻與完全非平穩(wěn)地震激勵(lì)下的響應(yīng)解析分析尚未建立。

本文采用一般積分型黏彈性分析模型，對(duì)設(shè)置支撐的單自由度一般黏彈性阻尼耗能系統(tǒng)非平穩(wěn)地震響應(yīng)進(jìn)行了研究。獲得了耗能結(jié)構(gòu)及其保護(hù)系統(tǒng)（結(jié)構(gòu)位移與速度、阻尼器受力與受力速率，以及支撐和阻尼器位移與速度）在任意激勵(lì)作用下瞬態(tài)響應(yīng)解析解，建立了耗能結(jié)構(gòu)及其保護(hù)系統(tǒng)非均勻與完全非平穩(wěn)地震響應(yīng)分析。采用兩種典型結(jié)構(gòu)，通過復(fù)模態(tài)法和頻響函數(shù)法驗(yàn)證了本文方法的正確性、簡易性和普適性。傳遞函數(shù)法不需要擴(kuò)階，降低了積分微分型方程的求解難度，求解過程簡單，一般黏彈性阻尼器耗能結(jié)構(gòu)均可以使用本文的方法，進(jìn)行結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的非均勻和完全非平穩(wěn)地震響應(yīng)分析，而復(fù)模態(tài)法只能適應(yīng)特定的阻尼器形式。為建立單自由度設(shè)置支撐的一般黏彈性阻尼耗能系統(tǒng)非均勻與完全非平穩(wěn)地震響應(yīng)分析提供方法。

1 阻尼器本構(gòu)方程

1.1 一般黏彈性阻尼器本構(gòu)關(guān)系

一般積分型模型是黏彈性阻尼器中最一般的模型，能精確、簡潔地描述其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，且計(jì)算結(jié)果較為準(zhǔn)確，計(jì)算簡圖如圖1所示。

圖1 一般積分型模型Fig.1 General integral model

式中：PQ(t)為一般積分型阻尼器的受力；xQ(t)為阻尼器的相對(duì)位移；?Q(t)為xQ(t)的導(dǎo)數(shù)，表示阻尼器的速度；k0為阻尼器的平衡剛度；hQ(t)為阻尼器的松弛函數(shù)；Q(t)為阻尼器的松弛模量函數(shù)。

1.2 設(shè)置支撐的一般黏彈性阻尼器等效方程

實(shí)際工程中，阻尼器需與支撐串聯(lián)設(shè)置在結(jié)構(gòu)中，以發(fā)揮較好的耗能效果。現(xiàn)將水平支撐與阻尼器的整體串聯(lián)系統(tǒng)作為等效阻尼器PG(t)，以考慮水平支撐剛度kb對(duì)阻尼器響應(yīng)特性的影響，其計(jì)算模型如圖2所示。kG為等效阻尼器的平衡剛度，hG(t)為等效阻尼器的松弛函數(shù)，G(t)為等效阻尼器的松弛模量函數(shù)，等效阻尼器PG(t)的計(jì)算模型如圖3所示。

圖2 設(shè)置支撐一般線性黏彈性阻尼器計(jì)算模型Fig.2 The calculation model of general linear viscoelastic damper with support

圖3 等效阻尼器計(jì)算模型Fig.3 The calculation model of equivalent damper

設(shè)xb為水平支撐kb的相對(duì)位移；xQ為阻尼器PQ(t)的相對(duì)位移，x為等效阻尼器PG(t)的相對(duì)位移，為x的導(dǎo)數(shù)，表示阻尼器的速度，則阻尼器PQ(t)的力和變形滿足：

2 結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程

設(shè)置支撐的單自由度一般黏彈性阻尼耗能結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程可表示為

式中：m、k、c分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度、阻尼；x為結(jié)構(gòu)位移，為結(jié)構(gòu)速度，為結(jié)構(gòu)加速度；f(t)為結(jié)構(gòu)的任意外部激勵(lì)；特別地，對(duì)于地震動(dòng)激勵(lì)，f(t)=-mg(t)，其中g(shù)(t)為地震地面加速度。等效阻尼器PG(t)的平衡剛度和松弛函數(shù)為kG、hG(t)。結(jié)構(gòu)整體方程式（9）和式（10）可化簡為

式中：ω0為結(jié)構(gòu)的自振頻率；ξ0為結(jié)構(gòu)的阻尼比。

3 結(jié)構(gòu)系統(tǒng)傳遞函數(shù)法

3.1 阻尼器特征分析

設(shè)結(jié)構(gòu)的初始條件為

由拉氏變換，式（11）可表示為

由拉氏變換，并考慮式（14），式（10）可得：

故等效阻尼器PG(t)的動(dòng)剛函數(shù)DG(s)和傳遞函數(shù)HG(s)分別為

由PG(t)的實(shí)際物理意義和式（10），知PG(t)≠0，故

式（22）對(duì)任意初始位移x0均成立，故有

由式（15）和式（21），可得結(jié)構(gòu)特征值sj及其對(duì)應(yīng)模態(tài)uj、等效阻尼器特征值λj及其對(duì)應(yīng)模態(tài)vj滿足的方程分別為

式（23）—式（26）表明：結(jié)構(gòu)特征值和等效阻尼器的特征值完全一樣，N為特征值的個(gè)數(shù)，即sj=λj(j=1～N；N=n+2)。

根據(jù)前期研究［33］對(duì)具有實(shí)際物理意義的任意動(dòng)剛Dx(s)均成立。故對(duì)于PG(t)的傳遞函數(shù)HG(s)和sHG(s)，下列解析式均成立：

由式（21），并考慮關(guān)系式（24），可得：

3.2 阻尼力瞬態(tài)響應(yīng)解析解

由式（27）、式（19）和式（17），有

由拉氏逆變換，式（32）可表示為

式中，δ(t)為Dirac delta函數(shù)。

當(dāng)t＞0時(shí)，阻尼力響應(yīng)表示為

式中，aj(t)表示由初始條件產(chǎn)生的部分響應(yīng)。

顯然，對(duì)于零初始條件，aj(t)=0(j=1～N)。

當(dāng)t＞0時(shí)，由式（28）、式（19）和式（17）阻尼力速率響應(yīng)可表示為

3.3 結(jié)構(gòu)瞬態(tài)響應(yīng)解析解

結(jié)構(gòu)位移和速度瞬態(tài)響應(yīng)解析解：

3.4 支撐和阻尼器瞬態(tài)響應(yīng)解析解

支撐剛度、原阻尼器和等效阻尼器有以下關(guān)系：

式中：xb、xQ和x分別為支撐位移、原阻尼器位移和層間相對(duì)位移；kb為支撐剛度。

對(duì)于t＞0，由式（39）可得：

將式（34）、式（36）—式（38）分別代入式（40）和式（41），可得：

3.5 結(jié)構(gòu)系統(tǒng)地震響應(yīng)

對(duì)于地震動(dòng)激勵(lì)，f(t)=-mg，在零初始條件下，由式（34）、式（36）—式（38）和式（42）—式（45），阻尼器受力、受力速率，結(jié)構(gòu)及支撐位移、速度，阻尼器位移、速度系統(tǒng)響應(yīng)量S(t)均可以統(tǒng)一表示為

式中：ρj為系統(tǒng)響應(yīng)S(t)對(duì)應(yīng)的組合系數(shù)，例如，結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)S(t)，ρj=ηj；

4 非平穩(wěn)地震激勵(lì)響應(yīng)分析

4.1 非平穩(wěn)地震激勵(lì)模型

地震動(dòng)過程通常包含強(qiáng)度非平穩(wěn)和頻率非平穩(wěn)兩個(gè)非平穩(wěn)過程，通常采用Priestley提出的演變功率譜模型，它可以表示為

特別是當(dāng)t1=t2時(shí)，

4.2 結(jié)構(gòu)系統(tǒng)非均勻與完全非平穩(wěn)響應(yīng)的解析式

結(jié)構(gòu)系統(tǒng)一般響應(yīng)S(t)的非平穩(wěn)協(xié)方差函數(shù)的表達(dá)式為

將式（51）代入式（54）可得：

式（56）為標(biāo)準(zhǔn)一階系統(tǒng)在激勵(lì)eiωta(ω,t)下響應(yīng)積分形式。因此，可表示為如下方程的解：

式中：Yh，j(ω，t)為式（57）的齊次解；Yp，j(ω，t)為式（57）的特解。

?由初始狀態(tài)t=0所決定的。假定特解Yp，j(ω，t)已經(jīng)求出。

由式（55）和式（56）可得：

將式（58）—式（60）可得：

4.2.1 Spanos-Solomos型調(diào)制函數(shù)

式中，ε(ω)、α(ω)表示以ω為自變量的函數(shù)。

式（59）中?由初始狀態(tài)t=0時(shí)，Yj(ω,0)=0所決定的。Yp，j可表示為

將式（63）代入式（61）得：

4.2.2 Conte-Peng非平穩(wěn)功率譜模型

完全非平穩(wěn)模型［42］的演變功率譜密度函數(shù)為：

式中，U(t-tf)為單位階躍函數(shù)。

式中，Sx?f(ω)為第f個(gè)平穩(wěn)高斯過程的功率譜密度函數(shù)；af(t)為第f個(gè)高斯過程的調(diào)制函數(shù)；vf和ηf分別為隨機(jī)過程的頻帶寬和卓越頻率；εf，tf，rf，αf為描述調(diào)制函數(shù)af(t)的4個(gè)參數(shù)。

式（59）中?由初始狀態(tài)t=tf時(shí)所決定的。由式（57）—式（61）可得：

式中：Yj，f(ω，t)和Yp，j(f)(ω，t)分別為在C-P譜p個(gè)相互獨(dú)立、零均值、均勻調(diào)制高斯激勵(lì)下，式（57）中的第f個(gè)通解和特解。

因此，式（69）的特解為

將式（70）代入式（69）得：

將式（72）代入式（55）得：

本文第3節(jié)為瞬態(tài)響應(yīng)的非擴(kuò)階模態(tài)疊加解析解的求解，其中，式（34）、式（36）—式（38）和式（42）—式（45）為重點(diǎn)公式；本文第4節(jié)為非均勻與完全非平穩(wěn)地震激勵(lì)下響應(yīng)解析解求解，其中，式（61）、式（64）和式（72）為重點(diǎn)公式。

5 驗(yàn)證和算例分析

下面對(duì)2種典型耗能結(jié)構(gòu)的驗(yàn)證分析和算例分析，來驗(yàn)證本文方法的正確性。

5.1 Maxwell阻尼減震系統(tǒng)

5.1.1 運(yùn)動(dòng)方程

單自由度帶支撐Maxwell阻尼耗能系統(tǒng)計(jì)算簡圖如圖4所示，在地震動(dòng)激勵(lì)作用下，結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程可表示為

圖4 結(jié)構(gòu)模型Fig.4 Model of structure

式中：xb為水平支撐kb的相對(duì)位移；x為結(jié)構(gòu)的相對(duì)位移；xQ(t)為阻尼器的相對(duì)位移；阻尼器的平衡剛度和松弛函數(shù)為k0和hQ(t)；阻尼單元的剛度和阻尼為k1和c1，阻尼單元松弛時(shí)間的倒數(shù)為μ1；hQ(t)的拉氏變換為Q(s)；s為拉氏變換的狀態(tài)變量。

5.1.2 驗(yàn)證分析

1）本文方法

由式（11），則式（74）—式（77）可以簡寫為

結(jié)構(gòu)特征值sj(j=1～3)滿足特征方程式（15）為

由式（30）可得：

在零初始條件下，由式（37）、式（38）、式（34）、式（36）和式（42）—式（45），結(jié)構(gòu)系統(tǒng)所有的響應(yīng)可以表示為

2）復(fù)模態(tài)法

（1）結(jié)構(gòu)狀態(tài)方程

引進(jìn)一個(gè)內(nèi)部變量P1(t)為

考慮式（78），可得：

將式（75）代入式（76），同時(shí)考慮式（77）、式（74）和式（76），可以寫為

將式（96）分別代入式（95）和式（94），最終可得：

式（99）、式（97）和式（98）以擴(kuò)階的形式表示為

寫成矩陣形式為

（2）結(jié)構(gòu)特征值和特征向量分析

特征值sj為特征方程式（104）的根，即

式中，I為單位矩陣。

比較式（108）和式（84），可以看出由兩種方法得到的特征值sj(j=1～3)是完全相同的。

由特征值sj(j=1～3)和右、左模態(tài)向量可得：

式中，[·]T表示矩陣的轉(zhuǎn)置。

由式（109）和式（110），特征值sj(j=1～3)對(duì)應(yīng)的右、左模態(tài)向量可?。?/p>

（3）結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析

對(duì)于零初始條件，系統(tǒng)響應(yīng)可以由式（104）以擴(kuò)階的方法表示如下：

比較式（115）和式（86），并考慮式（108），可得：

可由式（113）、式（114）和式（117）得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)為

式中，Φj=[Φ1jΦ2jΦ3j]T。

比較式（118）、式（119）和式（87），兩種方法所得的結(jié)果完全一樣。

（4）支撐和阻尼器響應(yīng)分析

由式（100）和式（120），可得：

由式（98）、式（119）和式（121），可得：

由式（96）、式（118）、式（119）、式（121）和式（122），可得：

由式（75）、式（118）、式（119）、式（123）和式（124），可得：

比較式（123）—式（126）和式（89）、式（90），兩種方法所得的支撐和阻尼器響應(yīng)解析式完全相同。

（5）阻尼器受力響應(yīng)分析

由式（77）、式（93）、式（119）、式（123）和式（124），可得

比較式（127）、式（128）和式（88），兩種方法所得的阻尼器受力響應(yīng)解析式完全相同。

5.2 廣義Maxwell阻尼減震系統(tǒng)

5.2.1 運(yùn)動(dòng)方程

單自由度帶支撐廣義Maxwell阻尼耗能系統(tǒng)計(jì)算簡圖如圖5所示，在地震動(dòng)激勵(lì)作用下，結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程可表示為

圖5 結(jié)構(gòu)模型Fig.5 Model of structure

式中：xb為水平支撐kb的相對(duì)位移；x為結(jié)構(gòu)的相對(duì)位移；xQ(t)為阻尼器的相對(duì)位移；阻尼器的平衡剛度和松弛函數(shù)為k0和hQ(t)；阻尼器各單元的剛度和阻尼為ki和ci，阻尼器各單元松弛時(shí)間的倒數(shù)為μi；hQ(t)的拉氏變換為Q(s)；s為拉氏變換的狀態(tài)變量。

由式（9）—式（11），則式（129）—式（132）可以簡寫為

5.2.2 驗(yàn)證分析

1）直接計(jì)算法

由傅氏變換，式（135）和式（136）可得到結(jié)構(gòu)位移和等效阻尼器頻響函數(shù)表達(dá)式為

式中，HG(iω)是hG(t)的傅氏變換：

2）特征值法

由式（15），結(jié)構(gòu)的特征值sj(j=1～N)可由下式求出：

由式（30）可求得：

由式（37）和式（34），結(jié)構(gòu)位移和阻尼力響應(yīng)解析解為

由式（142）和式（143），結(jié)構(gòu)位移和等效阻尼器的頻響函數(shù)表達(dá)式為

由直接法獲得的精確解是正確的，如果本文方法正確，直接法得到的頻響函數(shù)解析式（141）、式（142）和本文方法得到的頻響函數(shù)解析式（147）、式（148）應(yīng)該相等，否則就不正確，下面通過算例來驗(yàn)證。

3）驗(yàn)證分析算例

設(shè)置支撐的五參數(shù)Maxwell阻尼器單自由度耗能系統(tǒng)計(jì)算簡圖，如圖6所示，其結(jié)構(gòu)的基本參數(shù)為：質(zhì)量m=42 500 kg，剛度k=145.43×105N/m，阻尼比ξ0分別取 0.05、0.1、0.15、0.20。五參數(shù)Maxwell阻尼器的基本參數(shù)為：平衡剛度為k0=0.36×105N/m，支撐剛度為kb=1.5k，五參數(shù)Maxwell阻尼器兩分支單元的剛度和阻尼分別為k1=42.08×105N/m，c1=0.83×105N·s/m；k2=6.87×105N/m，c2=2.15×105N·s/m。

圖6 結(jié)構(gòu)模型Fig.6 Model of structure

阻尼比ξ0分別取四種工況 0.05、0.1、0.15、0.20，圖像從上到下依次是阻尼比為0.05、0.1、0.15、0.20。分別按照式（136）、式（137）和式（144）、式（145）頻響函數(shù)表達(dá)式的計(jì)算，結(jié)果如圖7、圖8所示，圖中曲線代表直接計(jì)算法，點(diǎn)線代表本文方法，結(jié)構(gòu)的位移和阻尼力的頻響函數(shù)，在四種工況下，通過直接計(jì)算法和本文方法，計(jì)算得到的圖像都是重合的，可驗(yàn)證本文方法的正確性。

圖7 結(jié)構(gòu)位移頻率響應(yīng)函數(shù)Fig.7 Structural displacement’s frequency response function

圖8 阻尼力頻響函數(shù)Fig.8 Frequency response function of damping force

4）響應(yīng)分析算例

設(shè)置支撐的五參數(shù)Maxwell阻尼器單自由度耗能系統(tǒng)計(jì)算簡圖，如圖6所示，其結(jié)構(gòu)的基本參數(shù)為：質(zhì)量m=1000kg，剛度k=2×105N/m，阻尼比ξ0取0.04。五參數(shù)Maxwell阻尼器的基本參數(shù)為：平衡剛度k0=1×105N/m，支撐剛度kb=rbk，按4種工況分別取kb=0.8k，kb=1.5k，kb=10k，kb=∞；五參數(shù)Maxwell阻尼器兩分支單元的剛度和松弛時(shí)間倒數(shù)分別為k1=1.2×104N/m，k2=0.8×104N/m；μ1=50s-1，μ2=40s-1。f(t)的功率譜密度取Kanai-Tajimi譜：

地震動(dòng)激勵(lì)參數(shù)取為：軟土；地震烈度I=8；軟土場(chǎng)地特征頻率和阻尼比ωf=10.9rad/s，ξf=0.96；地震動(dòng)譜強(qiáng)度：

調(diào)幅函數(shù)a(t)分別取為Spanos-Solomos型非均勻非平穩(wěn)和完全非平穩(wěn)地震激勵(lì)模型。

Spanos-Solomos型非均勻調(diào)制函數(shù)：

完全非平穩(wěn)模型取1940年El Centro地震動(dòng)模型［42］。

計(jì)算結(jié)果為：

在Spanos-Solomos型非均勻非平穩(wěn)地震激勵(lì)下，阻尼器受力、受力速率，支撐位移、速度，阻尼器位移、速度響應(yīng)方差如圖9—圖16所示。

圖9 Spanos-Solomos型調(diào)幅函數(shù)下結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)方差Fig.9 Variance of structural displacement response under Spanos-Solomos amplitude modulation function

圖10 Spanos-Solomos型調(diào)幅函數(shù)下結(jié)構(gòu)速度響應(yīng)方差Fig.10 Variance of structural velocity response under Spanos-Solomos amplitude modulation function

圖11 Spanos-Solomos型調(diào)幅函數(shù)下阻尼力響應(yīng)方差Fig.11 Variance of damping force response under Spanos-Solomos amplitude modulation function

圖12 Spanos-Solomos型調(diào)幅函數(shù)下阻尼力速度響應(yīng)方差Fig.12 Variance of damping force velocity response under Spanos-Solomos amplitude modulation function

圖13 Spanos-Solomos型調(diào)幅函數(shù)下支撐位移響應(yīng)方差Fig.13 Variance of support displacement response under Spanos-Solomos amplitude modulation function

圖14 Spanos-Solomos型調(diào)幅函數(shù)下支撐速度響應(yīng)方差Fig.14 Variance of support speed response under Spanos-Solomos amplitude modulation function

圖15 Spanos-Solomos型調(diào)幅函數(shù)下阻尼器位移響應(yīng)方差Fig.15 Variance of damper displacement response under Spanos-Solomos amplitude modulation function

圖16 Spanos-Solomos型調(diào)幅函數(shù)下阻尼器速度響應(yīng)方差Fig.16 Variance of damper velocity response under Spanos-Solomos amplitude modulation function

在完全非平穩(wěn)地震激勵(lì)下，阻尼器受力、受力速率，支撐位移、速度，阻尼器位移、速度響應(yīng)方差如圖17—圖24所示。

圖17 完全非平穩(wěn)地震激勵(lì)下結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)方差Fig.17 Variance of structural displacement response under the fully non-stationary seismic excitation

圖18 完全非平穩(wěn)地震激勵(lì)下結(jié)構(gòu)速度響應(yīng)方差Fig.18 Variance of structural velocity response under the fully non-stationary seismic excitation

圖19 完全非平穩(wěn)地震激勵(lì)下阻尼力響應(yīng)方差Fig.19 Variance of damping force response under the fully non-stationary seismic excitation

圖20 完全非平穩(wěn)地震激勵(lì)下阻尼力速度響應(yīng)方差Fig.20 Variance of damping force velocity response under the fully non-stationary seismic excitation

圖21 完全非平穩(wěn)地震激勵(lì)下支撐位移響應(yīng)方差Fig.21 Variance of support displacement response under the fully non-stationary seismic excitation

圖22 完全非平穩(wěn)地震激勵(lì)下支撐速度響應(yīng)方差Fig.22 Variance of support speed response under the fully non-stationary seismic excitation

圖23 完全非平穩(wěn)地震激勵(lì)下阻尼器位移響應(yīng)方差Fig.23 Variance of damper displacement response under the fully non-stationary seismic excitation

圖24 完全非平穩(wěn)地震激勵(lì)下阻尼器速度響應(yīng)方差Fig.24 Variance of damper velocity response under the fully non-stationary seismic excitation

由計(jì)算結(jié)果可以看出：在阻尼器其他參數(shù)不變情況下，隨著支撐剛度的增加，結(jié)構(gòu)位移和速度，支撐位移和速度的響應(yīng)方差減小，阻尼力、阻尼力速度、阻尼器位移和速度的響應(yīng)方差增大。當(dāng)kb≥10k時(shí)，支撐位移和速度的響應(yīng)方差無明顯變化，其余各響應(yīng)效果接近于kb=∞，此時(shí)可按kb=∞近似計(jì)算。

6 結(jié) 論

為建立一般黏彈性耗能結(jié)構(gòu)及其保護(hù)系統(tǒng)的抗震分析與設(shè)計(jì)方法，對(duì)單自由度設(shè)置支撐的一般黏彈性耗能結(jié)構(gòu)及其保護(hù)系統(tǒng)（結(jié)構(gòu)位移與速度、阻尼器受力與受力速率以及支撐和阻尼器位移與速度）瞬態(tài)響應(yīng)解析解和非平穩(wěn)響應(yīng)分析進(jìn)行了研究；獲得了結(jié)構(gòu)及其保護(hù)系統(tǒng)在任意激勵(lì)和非零初始條件下時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)的非擴(kuò)階模態(tài)疊加解析解，以及在非均勻與完全非平穩(wěn)地震激勵(lì)下的響應(yīng)解析解；通過復(fù)模態(tài)法和頻響函數(shù)法證明了本文方法的正確性，并通過兩種典型減震結(jié)構(gòu)在非均勻與完全非平穩(wěn)地震激勵(lì)下的響應(yīng)分析算例，驗(yàn)證了該方法的簡易性和普適性。為建立單自由度設(shè)置支撐的一般黏彈性阻尼耗能系統(tǒng)非均勻與完全非平穩(wěn)地震響應(yīng)解析分析提供方法。