直觀引領(lǐng) 理性分析
——一道立體幾何多選題的探究過程

王盈慧

有這樣一道立體幾何多選題引起了我班同學(xué)的熱烈討論．

問題（多選題）如圖1，菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，E是AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻折至△A1DE的位置后，連接A1C，A1B，若F是A1C的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列說法正確的有（ ）

圖1

A．異面直線A1E與DC所成的角不斷變大

B．二面角A1-DC-E的大小最大為30°

C．點(diǎn)F到平面A1EB的距離恒為

D．當(dāng)A1在平面EBCD的投影為E點(diǎn)時，直線AC1與平面EBCD所成角最大

一、直觀體驗(yàn)引路

剪一個如題中所述菱形，按題意翻折，觀察點(diǎn)A的運(yùn)動變化規(guī)律，并觀察點(diǎn)F隨之如何運(yùn)動變化，直觀感知二面角A1-DC-E、直線A1C與平面EBCD所成角的變化．

變化1：如圖2，顯然，A1E掃過的區(qū)域是個半圓面，且與底面垂直，直線A1E與BE所成的角先變大，到后再變?。?/p>

圖2

變化2：對于二面角A1-DC-E，直觀感知點(diǎn)A1位于距平面EBCD最遠(yuǎn)處時其二面角最大，直線AC1與平面EBCD所成角也是最大；

變化3：對于AC1的中點(diǎn)F，將點(diǎn)C看作位似中心，感覺F也在一半圓弧上運(yùn)動，該半圓面與前述半圓面平行，且處在點(diǎn)C與半圓面之間的中間位置．

若利用幾何畫板畫出動態(tài)圖形，如圖2，拖動點(diǎn)A1在其軌跡上運(yùn)動，由位似觀點(diǎn)可知點(diǎn)F到平面A1EB的距離恒為事實(shí)上，因?yàn)镕是A1C的中點(diǎn)，故它到平面A1EB的距離為點(diǎn)C到平面A1EB距離的一半，所以恒為

初步判斷選項(xiàng)A 錯，C 對，B 與D 有待進(jìn)一步探究．

二、理性分析論證

1.傳統(tǒng)方法論證

如圖3，顯然題中A1E⊥DE,BE⊥DE，所以DE⊥平面A1BE，故有平面A1BE⊥平面BCDE．

圖3

進(jìn)一步地，在平面A1BE內(nèi)過點(diǎn)A1作BE的垂線，垂足為H，在平面BCDE內(nèi)過點(diǎn)H作CD的垂線HK，垂足為K，連接A1K，則∠A1KH即為二面角A1-DC-E的平面角．

連接CH，則∠A1CH即為直線A1C與平面EBCD所成角．

在Rt△A1HK中，的值不變（為），所以當(dāng)A1H取最大值1時tan∠A1KH值最大（為），即銳角∠A1KH最大（為30°），所以二面角A1-DC-E最大（為30°）．

有疑問：是否仍然是點(diǎn)A1位于距平面EBCD最遠(yuǎn)處時，即A1E⊥BE時，直線A1C與平面EBCD所成角最大呢？

其實(shí)不然．在Rt△A1CH中，tan∠A1CH=當(dāng)翻折角度超過時，A1H減小，CH減小，的增減無法判斷．

敲黑板

可見并非點(diǎn)A1位于距平面EBCD最遠(yuǎn)處時直線AC1與平面EBCD所成角最大，看來對該選項(xiàng)的 “直觀想象”導(dǎo)致了誤判．

事實(shí)上，設(shè)二面角A1-ED-A的大小為θ，即∠A1EB=π-θ，則有向線段EH的數(shù)量為cosθ（與方向同向?yàn)檎?/p>

故Rt△CKH中CK=2+cosθ，所以CH=

令t=2+cosθ,t∈(1,3)，所以(*)式

由基本不等式知，當(dāng)t=即cosθ=-2時(*) 式取到最大值，相應(yīng)的∠A1CH最大，即直線A1C與平面EBCD所成角最大．

2.向量法對選項(xiàng)D 的再分析

建立如圖4所示的空間直角坐標(biāo)系，記直線AC1與平面EBCD所成角為φ，設(shè)∠BOA1=α，則A1(cosα,0,sinα)，結(jié)合故

圖4

又平面EBCD的一個法向量當(dāng)即時取到最大值，即直線AC1與平面EBCD所成角最大．

三、對問題的再認(rèn)識

再認(rèn)識1：選項(xiàng)B 中，由于CD∥BE，當(dāng)動點(diǎn)A1距平面EBCD最遠(yuǎn)時二面角A1-DC-E最大，但若CD與BE不平行，則結(jié)論并非如此．

再認(rèn)識2：選項(xiàng)D 中，若取直線ED上的點(diǎn)C′（不同于點(diǎn)E），則也是當(dāng)動點(diǎn)A1距平面EBCD最遠(yuǎn)時直線AC1′與平面EBCD所成角最大，可由（其中A1C′為定值）確定，但題中直線AC1與平面EBCD所成角則不然，影響其大小的兩個量都在變化，需作圖、推理、建模、計(jì)算．

證明：只需取A1D中點(diǎn)M，構(gòu)造如圖5中的平行四邊形BEMF，即得BF長為定值．

圖5

可見，合理運(yùn)用恰當(dāng)?shù)乃季S就顯得非常重要．

此外，結(jié)合上述分析過程，還可以直觀感知BF也是一圓錐的母線，其長應(yīng)為定值，如前圖2．

練習(xí)：如圖6，已知矩形ABCD中，AB=2,AD=4,E,F分別在線段AD,BC上，且AE=1,BF=3．沿EF將四邊形AEFB翻折成A′EFB′，則在翻折過程中，二面角B′-CD-E的正切值的最大值為________．

圖6

參考答案：如圖7，設(shè)二面角B-EF-B′的大小為θ，作BG⊥EF于G，B′H⊥BG于H，則有向線段GH的數(shù)量為所以其最大值為當(dāng)時取到．（可用兩點(diǎn)連線的斜率數(shù)形結(jié)合解得，也可以利用輔助角公式）．

圖7