阿基米德與圓周率

阿基米德，古希臘數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家……

人類(lèi)最早計(jì)算π 的科學(xué)方法是古典法——形形色色的“割圓術(shù)”．阿基米德被稱(chēng)為割圓術(shù)的開(kāi)山鼻祖．所謂割圓術(shù)，就是先作出圓的邊數(shù)較少的內(nèi)接正多邊形或外切正多邊形（有時(shí)兩者都作），通過(guò)計(jì)算其邊長(zhǎng)進(jìn)而求出周長(zhǎng)或面積（有時(shí)兩者都求），再將正多邊形的邊數(shù)增加一倍，重復(fù)上述計(jì)算．

要說(shuō)明的是，圓的內(nèi)接多邊形和外切多邊形，可以是正多邊形，也可以是一般多邊形，實(shí)際上用的都是正多邊形，因?yàn)檫@樣可以簡(jiǎn)化計(jì)算．這里還隱含著一個(gè)數(shù)學(xué)定理：外圍更大的凸多邊形（包括凸曲線形）的周長(zhǎng)更大.

阿基米德計(jì)算π 值的大致過(guò)程如下：

如圖1，O為圓心，AB為圓O的外切正六邊形一邊的一半，OA為半徑，∠AOB=30°，OC是∠AOB的平分線．利用有兩式相加，得又由角平分線定理，得即即這個(gè)式子與前面（*）式比較得.從這個(gè)不等式出發(fā)，立刻可以推出圓外切正六邊形和外切正十二邊形的周長(zhǎng)與圓直徑之比的上界．（你知道這個(gè)上界是多少嗎？）

同樣的道理，計(jì)算正多邊形的邊長(zhǎng)可以確定該比值的下界．（仍以正六邊形和正十二邊形為例試著證一證吧?。?/p>

不斷重復(fù)上述過(guò)程，一直算到正九十六邊形，最終阿基米德就得到

（節(jié)選自陳仁政著《π 的密碼》，有刪改）

上期答案

由于構(gòu)成三角形的充要條件是任意兩邊之和大于第三邊，因此不構(gòu)成三角形的條件就是存在兩邊之和不超過(guò)另一邊.截成的鐵絲最小為1，因此可以放2 個(gè)1，第三條線段就是2（為了使得n最大，因此要使剩下來(lái)的鐵絲盡可能長(zhǎng)，因此每一條線段總是前面的相鄰2段之和），依次為1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，以上各數(shù)之和為143，與144相差1，因此可以取最后一段為56，這時(shí)n達(dá)到最大為10.