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    高中數(shù)學(xué)知識(shí)與方法大梳理(四)

    2021-02-11 12:09:18龍艷文
    關(guān)鍵詞:冪函數(shù)值域實(shí)數(shù)

    龍艷文

    冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)

    類型一:冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)

    例如圖所示,圖中的曲線是冪函數(shù)y=xn在第一象限的圖象,已知n取±2,四個(gè)值,則相應(yīng)于C1,C2,C3,C4的n依次為( )

    [方法總結(jié)]

    解決冪函數(shù)圖象問(wèn)題應(yīng)把握的兩個(gè)原則:

    (1)依據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)大小,相關(guān)結(jié)論為:

    ①在(0,1)上,指數(shù)越大,冪函數(shù)圖象越靠近x軸(簡(jiǎn)記為指大圖低);

    ②在(1,+∞)上,指數(shù)越大,冪函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸(簡(jiǎn)記為指大圖高).

    (2)依據(jù)圖象確定冪指數(shù)α與0,1 的大小關(guān)系,即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象(類似于y=x-1或或y=x3)來(lái)判斷.

    類型二:指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性的應(yīng)用

    例1(1)函數(shù)y=ax-2+1(a>0 且a≠1)的圖象過(guò)定點(diǎn)___________.

    (2)函數(shù)y=2x+b的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是____________.

    例2(1)不等式的解集是____________.

    例3(1)解方程:4×4x-5×2x-6=0.

    (3)已知9x-10 · 3x+9 ≤ 0,求函數(shù)y=a2x-ax+1(a>0 且a≠1)的最大值.

    [方法總結(jié)]

    方法:(1)指數(shù)方程與不等式問(wèn)題關(guān)鍵是兩邊化同底.

    (2)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的值域問(wèn)題,

    方法一:復(fù)合函數(shù)法,轉(zhuǎn)化為利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性;

    方法二:換元法.

    注意:若底數(shù)為字母,則需考慮分類討論.

    例4已知函數(shù)

    (1)證明:f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;(2)若f(x)為奇函數(shù),求實(shí)數(shù)a的值.

    類型三:對(duì)數(shù)函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性應(yīng)用

    例1(1)當(dāng)a>0 且a≠1 時(shí),函數(shù)y=1+logax的圖象必定過(guò)定點(diǎn)____________.

    (2)函數(shù)y=logax和的圖象關(guān)于____________對(duì)稱.

    例2(1)求下列函數(shù)的定義域.

    ①y=;②y=

    (2)方程log2x+log2(x-3)=2的解為_(kāi)______________.

    [方法總結(jié)]

    方法:解對(duì)數(shù)不等式和方程關(guān)鍵兩邊化同底.

    注意:考慮對(duì)數(shù)的定義域或最后檢驗(yàn).

    化同底的方法:0=loga1;1=loga a=a0;M=logaaM=alogaM.

    例3(1)已知函數(shù)則它的值域?yàn)開(kāi)___________.

    (2)若函數(shù)f(x)=logax在區(qū)間[a,2a]上的最大值是最小值的3 倍,求a的值.

    (3)求函數(shù)f(x)=(log2x)2-2log2x+3,x∈[1,4]的值域.

    [方法總結(jié)]

    方法:與對(duì)數(shù)有關(guān)的最值問(wèn)題,利用單調(diào)性或換元.

    注意:考慮定義域和分類討論.

    例4(1)函數(shù)y=log2(x2-4x-5)的單調(diào)區(qū)間為_(kāi)_________.

    [方法總結(jié)]

    方法:與對(duì)數(shù)有關(guān)的單調(diào)性,利用復(fù)合函數(shù),結(jié)合圖象分析.

    注意:考慮定義域和分類討論.

    例5(1)已知函數(shù)y=(x2-mx+2)的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_________.

    (2)已知函數(shù)y=(x2-mx+2)的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)___________.

    [方法總結(jié)]注意:比較兩個(gè)問(wèn)題的區(qū)別.

    函數(shù)零點(diǎn)

    類型一:函數(shù)零點(diǎn)判斷問(wèn)題

    例1(1)函數(shù)f(x)=的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )

    A.3 B.2 C.1 D.0

    (2)函數(shù)f(x)=x3-x2-1的零點(diǎn)所在的區(qū)間是( )

    A.(0,1) B.(-1,0) C.(1,2) D.(2,3)

    (3)函數(shù)f(x)=2x+x-4零點(diǎn)所在區(qū)間為( )

    A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

    (4)設(shè)f(x)=lnx+x-2,則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為( )

    A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

    例2( 1)函數(shù)f(x)=lgx-x零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________ ;

    (2)函數(shù)f(x)=2x-x2零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________.

    [方法總結(jié)]

    方法1:轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)數(shù)形結(jié)合.

    合理轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象(易畫出圖象)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.兩個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù),就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

    注意:函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)(如漸近線,趨近點(diǎn)等).

    方法2:利用零點(diǎn)存在定理.

    利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理進(jìn)行判斷,必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)才能確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

    方法3:解方程.

    函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根的問(wèn)題,即通過(guò)解方程,由方程是否有解來(lái)判斷函數(shù)是否有零點(diǎn),其中方程有幾個(gè)解就對(duì)應(yīng)著函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn).

    類型二:函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用

    例1已知函數(shù)f(x)=若方程f(x)=a有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )

    例2已知函數(shù)f(x)=g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在2 個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是( )

    A.[-1,0) B.[0,+∞) C.[-1,+∞) D.[1,+∞)

    例3已知函數(shù)f(x)=恰有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________.

    [方法總結(jié)]

    方法:數(shù)形結(jié)合,合理轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象(易畫出圖象)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.兩個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù),就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

    注意:函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)(如漸近線,趨近點(diǎn)等).

    例4若函數(shù)f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____.

    例5若函數(shù)f(x)=2x--a的零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )

    A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)

    [方法總結(jié)]

    方法1:轉(zhuǎn)化為方程有解問(wèn)題.

    方法2:參變分離,即a=F(x),則a的范圍即為F(x)值域.

    方法3:利用零點(diǎn)存在定理.

    結(jié)論:已知函數(shù)y=f(x) 在區(qū)間(a,b) 上單調(diào),若f(x) 在(a,b) 上存在零點(diǎn),則f(a)f(b)<0.

    注意:若y=f(x)在區(qū)間(a,b) 上不是單調(diào)函數(shù),則上述結(jié)論不一定成立.

    類型三:二次函數(shù)零點(diǎn)分布

    例1(1)如果二次函數(shù)y=x2+mx+(m+3)在(0,+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn),求m的取值范圍.

    (2)若方程x2-2ax+4a-3=0 的兩根均大于1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

    [方法總結(jié)]

    方法1:韋達(dá)定理法,如對(duì)于二次方程根的分布情況.(兩根與某一非零常數(shù)的關(guān)系同理).

    例2(1)求實(shí)數(shù)m的范圍,使關(guān)于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0.

    ①有兩個(gè)實(shí)根,且一個(gè)比2 大,一個(gè)比2 ??;②有兩個(gè)實(shí)根,且都比1 大;③有兩個(gè)實(shí)根α,β,且滿足0<α< 1<β<4;④一根小于1,另一根大于2;⑤兩根均在(1,4)之間.

    (2)關(guān)于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)小于1,另一個(gè)大于1,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

    (3)在下列條件下,分別求出m的取值范圍.

    ①方程x2-mx-4=0 在[0,1]有解;②函數(shù)f(x)=x2-3x+4-m在[-1,1]上有零點(diǎn).

    [方法總結(jié)]

    方法2:圖象分析法

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    1.1 實(shí)數(shù)
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