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    小學數(shù)學教學中的一些說法(二)

    2021-02-08 08:42:32汪一敏
    教學月刊·小學數(shù)學 2021年2期
    關鍵詞:圓面積圓柱長方形

    汪一敏

    在小學數(shù)學教學中,常有一些說法似是而非,甚至錯誤。數(shù)學教師對此須有清晰的認識,才能更好地服務于教學。

    一、那不是圓面積公式的推導證明——對圓面積公式推導、證明的誤解分析

    教材對圓面積公式來歷的處理,引起不少教師的誤解。他們認為那就是圓面積公式的推導和證明,并依此認識展開教學,這樣難免以訛傳訛。

    對圓面積公式的推導證明,可追溯到歐幾里得和阿基米德時代(約公元前300 —前212年)。在《幾何原本》12卷的命題2里,歐幾里得使用窮竭法和雙重歸謬法證明了“諸圓彼此之比,等于在其直徑上作出的正方形之比”,說兩個圓的面積之比等于它們內(nèi)接正方形的面積之比,由于正方形的面積比等于它們對角線的平方比。即

    [Ss=D2d2]

    這里的S、s、D、d分別表示兩圓的面積和直徑。

    在此基礎上,阿基米德(歐幾里得的學生)用窮竭法和雙重歸謬法證明了圓面積的計算公式:

    [S=12R?C](R是圓的半徑,C是圓的周長)

    把歐幾里得的結論與阿基米德的結論聯(lián)立起來即可推出 [Cc=Dd] → ?[CD=cd]。至此,人們知道了圓周率——圓的周長和其直徑的比是一個常數(shù)。最早的圓周率的近似值由阿基米德計算得出。

    近代人們對圓面積公式推導證明的工具是微積分。

    圓方程:x2+y2=r2

    [14] 圓面積:[0rr2-x2]dx = r2[0π2cos2tdt] ?(第二換元法)

    =[ 14]πr2 ,

    圓面積:S=πr2。

    定積分的基礎是極限理論,極限理論是建立在嚴密邏輯基礎之上的,并不是非專業(yè)人士想象中的“極限思想”。

    小學數(shù)學教材中在推導證明圓面積公式時提出對圓面進行分割(如圖1),拼接成一個近似的長方形,在等分的份數(shù)越來越多的情況下,近似的長方形越來越接近長方形,其寬為r,長為πr(圓周長的一半),面積為πr2,因此我們有理由推測圓面積計算公式為πr2。

    但這只是猜測,不能看作是圓面積公式的推導證明。近似長方形的長在無限分割下的極限一定是πr嗎?事實上,要確定此極限,并不比求圓面積公式簡單。

    大家知道,(數(shù)學上)猜想的結論不一定正確。圖2中的小半圓直徑相同,設AB=2r,則每個圖中的小半圓周的和都是πr,當小半圓的直徑越來越小時,AB之間由小半圓周形成的“波浪線”將趨于線段AB。那么AB應該等于πr,但AB=2r,因此不能斷定圓面拼成的近似長方形的長的極限是πr。

    那么教材對圓面積公式的處理起什么作用呢?如果我們在教學中直接告訴學生(或講一些圓面積公式的小故事),說圓面積的計算公式是πr2,學生是理解不了的。

    因此,教師仍可大膽使用教材中處理圓面積公式的方法,但千萬不要信誓旦旦地說,這就是圓面積公式的推導證明。

    二、一張長方形紙是不能卷成圓柱的——對教學小實驗究竟如何進行科學改良的說明

    人教版教材六年級下冊“圓柱”單元例1(P18)中說:“圓柱是由3個面圍成的。圓柱的上、下兩個面叫作底面,圓柱周圍的面(上、下底面除外)叫作側面?!倍滩牡?0頁上的習題15是這樣的(如圖3)。

    也許是受教材的影響,有教師在“圓柱的側面積”的教學中,考慮到動手性和可視性,設計了小實驗:把一張長方形的紙橫著或豎著卷起來,可以卷成什么形狀?之后又將此小實驗改為:把一張長方形的紙橫著或豎著卷起來,分別卷成最大的圓柱,觀察圓柱和長方形的關系。該教師以期讓學生通過動手操作,感受圖形在二維、三維空間的變化,了解長方形和圓柱的關系,培養(yǎng)學生的空間觀念。

    編撰一個數(shù)學習題(問題),要求之一是“習題的陳述要準確、嚴謹、無歧義”。把一張長方形的紙橫著或豎著卷起來,可以卷成什么形狀?怎么卷呢?可卷的形狀太多了,因此只能“想當然”地卷。

    改過后的小實驗,同樣存在問題,一張長方形的紙,能卷成圓柱嗎?顯然卷成的不是圓柱。該習題違反了習題編撰的另一要求:“習題中出現(xiàn)的概念、術語,必須是定義的?!边@種卷成的“圓柱”沒有被定義。這樣就使教學走入了怪圈,一方面教師要培養(yǎng)學生的空間想象力,另一方面學生的空間想象力遭到了扭曲。

    洞悉教材習題的問題后,教師可將小實驗改為:把一張長方形的紙橫著或豎著卷起來,使之成為一個圓柱的側面,觀察圓柱和長方形的關系。

    (杭州師范大學教育學院 ? 310000)

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