偏振對于光纖光柵傳感器工作性能影響的研究

陳 江，肖遙王戈，張繼武

（國網(wǎng)湖北省電力有限公司 武漢供電公司，武漢 430012）

0 引言

基于布拉格衍射理論的光纖光柵傳感器[1]，被廣泛應(yīng)用于溫度、濃度、應(yīng)力等參量的高精度測量，尤其是在豎井、管道一類的特殊環(huán)境，可以更大程度上發(fā)揮光纖光柵傳感器的體積小、抗干擾、高精度、易陣列等優(yōu)點(diǎn)。在光纖光柵感器中，光柵是重要的光學(xué)衍射結(jié)構(gòu)，通過相位掩膜方法分布刻寫在光纖中。從光柵用于衍射光學(xué)元件以來，對于光柵的研究應(yīng)用也越來越多。在光纖光柵傳感器波前精密測量中，光柵刻寫的精度，衍射場分析都是重要環(huán)節(jié)。本文所分析的矢量光柵衍射場中，采用二維相位型光柵作為衍射光學(xué)元件，根據(jù)矢量波前衍射理論[2-4]，確定偏振波前理論模型，可為光纖光柵波長解析的研究建立正確的矢量分析模型。

圖1 （a） 棋盤光柵結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1(a) Schematic diagram of checkerboard grating structure

圖1 （b） 棋盤光柵單元結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1(b) Structure of checkerboard grating unit

1 二維相位光柵傳統(tǒng)衍射理論分析

二維棋盤光柵的微結(jié)構(gòu)與國際象棋的棋盤相同[5]，圖1 為光柵示意圖。

二維相位光柵的光柵面入射光復(fù)振幅函數(shù)可以表示為：

其中，tu為光柵單元面的入射光復(fù)振幅函數(shù)：

對光柵復(fù)振幅函數(shù)做傅里葉變換，可以得到衍射光復(fù)振幅函數(shù)：

因此，棋盤光柵的（n1，n2）級衍射光的衍射效率可以表示為：

圖2 棋盤光柵的（±1,±1）級衍射效率隨光柵槽深的變化關(guān)系曲線Fig.2 (± 1, ± 1) Order diffraction efficiency of checkerboard grating versus grating groove depth

圖2 為衍射效率隨光柵槽深的變化關(guān)系，因此剪切光柵的選擇原則就是盡可能地使光柵1 級衍射光衍射效率高，而盡可能地抑制其他級次的衍射光，所以選擇相位型棋盤光柵，它的（±1,±1）級衍射效率是最高的，可以達(dá)到16.43%。光柵的刻蝕深度等于入射波長，即為632.8nm。

2 矢量衍射場分析

通常光柵衍射場的分析與計算主要采用標(biāo)量衍射理論，在光柵空間頻率較低時，標(biāo)量衍射理論與實(shí)際吻合地很好，但是它丟失了衍射光場中的重要偏振矢量信息。時域有限差分方法（Finite Difference Time Domain，F(xiàn)DTD）[6]作為一種新發(fā)展的數(shù)值計算方法，有更寬松的模擬要求和更精確的模擬結(jié)果。FDTD 方法與其他的矢量場計算方法相比具有明顯的優(yōu)勢，可以直接在時域中求解含時間變量的Maxwell旋度方程組，避免了其他算法中不符合物理意義的解，方程含時間變量，不僅能求得穩(wěn)態(tài)解，還能夠求得瞬態(tài)解。

圖3 (a)和(b)為棋盤型相位光柵優(yōu)化設(shè)計前后的遠(yuǎn)場衍射圖Fig.3 (a) and (b) are the far-field diffraction patterns of the chessboard phase grating before and after the optimization design

光波場的麥克斯韋方程：

式（5）中，E、D、H、B、J、Jm分別為電場強(qiáng)度、電能量密度、磁場強(qiáng)度、磁場能量密度、電流密度、磁流密度?？臻g是無源的，在直角坐標(biāo)系下，式（5）可寫成如下6 個標(biāo)量方程：

圖4 FDTD算法中電磁場分量在Yee網(wǎng)格中的分布Fig.4 Distribution of electromagnetic field components in Yee grid in FDTD algorithm

在有限時域差分算法（FDTD）中，可以把電場與磁場的空間節(jié)點(diǎn)按圖4 所進(jìn)行空間排布。由圖可見，磁場分量與電場分量在空間交替排布，一個電場分量與4 個與之鄰近的磁場分量對應(yīng)，一個磁場分量與4 個與之鄰近的電場分量對應(yīng)。這種電磁場的分布關(guān)系，與電磁學(xué)理論完全相吻合，符合法拉第電磁感應(yīng)定律與安培環(huán)路定律，而且這種電磁場的分布關(guān)系能夠完全地描述電磁場的空間傳播特性。

在單元結(jié)構(gòu)中電場與場各分量的空間與時間取值見表1。

對式（6）和式（7）進(jìn)行離散化處理。首先，在直角坐標(biāo)系中，用Δx、Δy 和Δz 分別表示單元沿3 個軸向的長度，用Δt 表示時間增量。這樣網(wǎng)格單元頂點(diǎn)坐標(biāo)（x,y,z）可記為（I,j,k）=(iΔx, jΔy, kΔz)，如圖4 所示。任意一個空間和時間的函數(shù)可表示為Fn(i,j,k)=F(iΔx, jΔy, kΔz, nΔt)，其中I，j，k，n 均為整數(shù)。另外，對于采用中心有限差分來表示函數(shù)對空間和時間的變化率，整體具有二階精度，可以表示式為：

表1 單元結(jié)構(gòu)中電場與場各分量的空間與時間取值Table 1 Space and time values of electric field and field components in unit structure

通過式（8）和式（9）的差分形式來替代式（6）和式（7）中的微分形式，可得FDTD 中電場隨時間的推進(jìn)計算公式：

式中的系數(shù)CA(m)和CB(m)為：

式中的m 分別為（i+1/2,j,k）、(I,j+1/2,k)、(I,j,k+1/2)。

FDTD 中磁場隨時間推進(jìn)的計算公式為：

式中，系數(shù)CP(m)和CQ(m)分別為：

式（15）～式（19）中的m 分別為（I,j+1/2,k+1/2）、(i+1/2,j,k+1/2)、(i+1/2,j+1/2,k)。

根據(jù)以上分析可以看出，在空間取值上，電場與磁場主要取決于3 個因素：①該點(diǎn)在上一時間步的電場值；②與所計算電場處于正交位置的磁場修值；③媒質(zhì)的電參數(shù)σ 和ε。磁場值同理。

3 二維相位光柵矢量衍射場分析

采用刻蝕深度等于入射光波長（632.8nm），占空比為（0.5，0.5），材質(zhì)為K9 玻璃（n=1.516），光柵周期等于0.5λ ～7λ 的光柵進(jìn)行仿真分析研究，觀察當(dāng)平面波入射進(jìn)，在光柵后距離光柵1mm 處的衍射場分布，得到的光場衍射分布如圖5 所示。

圖5 中，（a）～（i）分別為光柵周期為0.5λ，λ，1.5λ，2λ，3λ，4λ，5λ，6λ，7λ 時，光柵后1mm 處的遠(yuǎn)場衍射圖。

圖5 二維棋盤光場遠(yuǎn)場衍射圖Fig.5 Far field diffraction pattern of two-dimensional checkerboard lightfield

通過編程仿真模擬計算，可以得到如下結(jié)論：

1）光柵周期與入射光波長近似相等的情況下，棋盤光柵的衍射場為一個近似的矩孔衍射，與單一的矩孔衍射的夫朗和費(fèi)衍射圖樣近似一致。

2）當(dāng)光柵周期在小于5 倍的入射光波長時，光柵衍射場分布不滿足標(biāo)量理論計算結(jié)果。在圖5 中依然可以看到明顯的中心零終衍射光，而且強(qiáng)度與1 級衍射光相當(dāng)。

3）當(dāng)光柵周期大于5 倍的光波長時，光柵衍射場分布與標(biāo)量計算得到的分布情形一致，中心零級衍射光得到了最大程度的抑制，四周1 級衍射光得到了很好加強(qiáng)。

4 結(jié)束語

基于相位型光柵的光柵結(jié)構(gòu)與光在光柵中的輸特性及光柵矢量衍射理論，建立一種具有全矢量場分析的光柵衍射理論模型。介紹了該模型的基礎(chǔ)理論，并進(jìn)一步根據(jù)該方法建立了一種二維光柵矢量衍射場的數(shù)據(jù)模型，最終仿真分析給出不同光柵結(jié)構(gòu)在矢量分析理論中的遠(yuǎn)場衍射場結(jié)果。本文建立的光柵矢量衍射場分析方法，可以應(yīng)用于精密光學(xué)測量系統(tǒng)的矢量精度分析與分光元件的其他研究中。