特定樹和單圈圖下的增強型薩格勒布指數(shù)

甘 露，杜 穎，曹曉麗

（湖北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖北 黃石 435002）

0 引 言

拓撲指數(shù)是分子結(jié)構(gòu)的數(shù)學描述符，實現(xiàn)分子結(jié)構(gòu)的數(shù)值化，反映分子的拓撲性質(zhì).近年來，研究圖，尤其是分子圖的拓撲指數(shù)的性質(zhì)及應用，受到一些數(shù)學化學工作者的關(guān)注.1998年，Estrada等［1］提出了原子鍵連通性指數(shù)（atom-bond connectivity index，ABC指數(shù)）.該指數(shù)的定義為

其中E(G)是邊的集合，du和dv分別是點u和點v的度.在 2010年，F(xiàn)urtula等［4］提出了圖的增強型薩格勒布指數(shù)（augmented Zagreb index，AZI），該指數(shù)的定義為

該指數(shù)的預測能力已被證實在研究烷烴的熱形成中，比ABC指數(shù)的預測能力更強，由于AZI提出時間不長，目前的研究成果不多，其部分數(shù)學性質(zhì)在文獻［2-7］中已被研究.本文將計算一些特定樹和單圈圖的AZI.

本文通過給出某些特殊樹的AZI，計算某些特殊單圈圖的AZI均為連通圖，所有點的度不超過4的連通圖稱為化學圖，其分子結(jié)構(gòu)圖可能類似于某些圖，這是化學中應用圖論的一個主要原因.

1 特殊樹及烷烴的AZI

分支Bi是使i條長度為2的懸掛路與P2的一個端點v相鄰形成的樹，顯然頂點v在分支Bi中的度為i+1（見圖 1）.

圖1 分支Bi

圖2 樹

定理1.1設(shè)n和k是正整數(shù)（且n≥1，k≥2），樹的AZI為

證明在樹中，顯然有2n+2個Bk分支.在每一個Bk中包含3類邊.類型1:該邊有2個端點，一端度為1，一端度為2，共有k條此邊；類型2:該邊有2個端點，一端度為2，一端度為k+1，共有k條此邊；類型3:該邊的2個端點，一端度為k+1，一端度為4，共有1條此邊.路徑Pn中有n-1條邊且每條邊的端點的度都為4.

由圖的AZI的定義，得到

烷烴是碳氫化合物，分子中的碳原子都以單鍵相連，其余價鍵都與氫結(jié)合而成，其化學式為G=CnH2n+2，其骨架結(jié)構(gòu)如圖3所示.

圖3 CnH2n+2骨架結(jié)構(gòu)

定理1.2設(shè)n≥1且n∈N+，則圖G=CnH2n+2（烷烴）的AZI指數(shù)為

證明用數(shù)學歸納法證明，當n=1時，G=C1H4，骨架結(jié)構(gòu)如圖4所示.

圖4 C1H4骨架結(jié)構(gòu)

當n=k+1時，其圖為G′，骨架結(jié)構(gòu)如圖6所示.

可知，圖6在圖5的基礎(chǔ)上增加了3條邊，則圖6的AZI為

圖5 CkH2k+2骨架結(jié)構(gòu)

圖6 G′骨架結(jié)構(gòu)

綜上，當n≥1時，圖G=CnH2n+2（烷烴）的AZI為

2 特殊的單圈圖及環(huán)烷烴的AZI

圖7 單圈

定理 2.1設(shè)n≥ 3，p≥ 1且n，p∈N+，則單圈圖的AZI是

證明用數(shù)學歸納法證明，當n=3時，則圖，于是有

從而當n=3時公式是成立的.假設(shè)當n=k(k≥4)時，的 AZI滿足公式，現(xiàn)證n=k+1時，的AZI滿足公式.單圈圖如圖8所示，令e表示連接點v1和點vk的邊.

圖8 單圈

圖9 H單圈

令圖9中的頂點u1分別與u2、u3和p個懸掛點相連.將H連接到圖8上，使u2與v1重合，u3與vk重合，記u1=vk+1，得單圈圖（見圖 10）.

圖10 單圈

可知，圖10是在圖8的基礎(chǔ)上增加了p個懸掛點和一條邊，則圖10的AZI為

定理2.1中，如果p=2，則可得到化學中環(huán)烷烴(CnH2n)的AZI，其骨架結(jié)構(gòu)如圖11所示.

圖11 CnH2n骨架結(jié)構(gòu)

推論2.1環(huán)烷烴CnH2n的AZI為

證明定理2.1中令p=2可得.