混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)性能預(yù)測的小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法*

寇雯博 董灝? 鄒岷強(qiáng) 韓均言 賈西西

1) (西安電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,西安 710071)

2) (西安電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,西安 710071)

3) (西安電子科技大學(xué)計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,西安 710071)

混雜復(fù)合材料是一種新型復(fù)合材料,其復(fù)雜的細(xì)觀結(jié)構(gòu)導(dǎo)致預(yù)測其等效熱傳導(dǎo)性能極富挑戰(zhàn)性.本文結(jié)合漸近均勻化方法、小波變換方法和機(jī)器學(xué)習(xí)方法發(fā)展了一種新的可以有效預(yù)測混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)性能的小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法.該方法主要包括離線多尺度建模和在線機(jī)器學(xué)習(xí)兩部分.首先借助漸近均勻化方法通過離線多尺度建模建立了混雜復(fù)合材料的熱傳導(dǎo)性能材料數(shù)據(jù)庫,然后利用小波變換方法對離線的材料數(shù)據(jù)庫進(jìn)行預(yù)處理,接下來分別運(yùn)用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和支持向量回歸方法建立混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)性能預(yù)測的在線機(jī)器學(xué)習(xí)模型.最后通過對周期和隨機(jī)混雜復(fù)合材料進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證了小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法的有效性,數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明小波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混合方法具有最優(yōu)的預(yù)測效果和抗噪能力.此外,需要強(qiáng)調(diào)的是對于具有高維大規(guī)模數(shù)據(jù)特征的隨機(jī)混雜復(fù)合材料,小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法不僅可以提取離線材料數(shù)據(jù)庫的重要特征,還可以顯著減少在線監(jiān)督學(xué)習(xí)的輸入數(shù)據(jù)規(guī)模并提高機(jī)器學(xué)習(xí)模型的訓(xùn)練效率及抗噪性能.本文建立的小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法不僅適用于混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)性能的預(yù)測,還可進(jìn)一步推廣應(yīng)用于復(fù)合材料等效物理、力學(xué)性能的預(yù)測.

1 引 言

混雜復(fù)合材料是一種在同一基體或多個基體中增加兩種或兩種以上夾雜材料制成的新型復(fù)合材料[1],如碳纖維-玻璃纖維混雜復(fù)合材料、碳纖維-芳綸纖維混雜復(fù)合材料等,若混雜得當(dāng)可使得混雜復(fù)合材料具備優(yōu)異的熱學(xué)、力學(xué)性能.近年來,隨著航天、航空工業(yè)的快速發(fā)展,混雜復(fù)合材料由于具有良好的熱穩(wěn)定性和抗疲勞性被廣泛應(yīng)用于制造飛行器的機(jī)身、機(jī)翼、隔熱結(jié)構(gòu)等.總之,混雜復(fù)合材料的應(yīng)用正處于蓬勃發(fā)展的階段,但是有關(guān)混雜復(fù)合材料基礎(chǔ)性的理論研究還比較少,為了給新型飛行器的隔熱結(jié)構(gòu)設(shè)計和性能優(yōu)化提供堅實(shí)的基礎(chǔ)理論和高性能算法,研究混雜復(fù)合材料熱傳導(dǎo)性能的有效預(yù)測方法具有重要的應(yīng)用價值和理論意義.

相比傳統(tǒng)的復(fù)合材料,混雜復(fù)合材料的組成成分和微觀結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜,預(yù)測其等效熱傳導(dǎo)性能需要發(fā)展更加高精度、高效率的方法.為了預(yù)測復(fù)合材料的等效熱傳導(dǎo)性能,數(shù)學(xué)家和工程師已經(jīng)發(fā)展出了多種解析方法[2?4]來研究其等效熱傳導(dǎo)性能,但是這些解析方法僅僅能夠預(yù)測具有簡單微觀結(jié)構(gòu)的復(fù)合材料的熱傳導(dǎo)性能,無法分析具有復(fù)雜微觀結(jié)構(gòu)的混雜復(fù)合材料.此外,研究人員還提出了預(yù)測復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)系數(shù)的數(shù)值方法[5?9],使得具有復(fù)雜微觀結(jié)構(gòu)的復(fù)合材料的等效熱傳導(dǎo)性能能夠得到精確的預(yù)測和分析.其中,漸近均勻化方法具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),且能夠很好地與有限元方法結(jié)合[10],在實(shí)際工程應(yīng)用中得到了廣泛的應(yīng)用.漸近均勻化方法通過建立周期單胞(unit cell,UC)或者代表體積元(representative volume element,RVE)來精細(xì)刻畫復(fù)合材料的微觀構(gòu)造,之后通過求解UC 或RVE 上的輔助單胞問題得到捕捉復(fù)合材料微觀振蕩信息的輔助單胞函數(shù).最后,通過在UC 或RVE 上做積分得到復(fù)合材料的宏觀等效材料參數(shù)和宏觀均勻化問題,漸近均勻化方法可以有效預(yù)測復(fù)合材料的宏觀等效性能[10].但是對于混雜復(fù)合材料,不同的微觀結(jié)構(gòu)導(dǎo)致需要重新計算輔助單胞問題,然后重新計算混雜復(fù)合材料的等效材料參數(shù),這導(dǎo)致了計算資源的極大耗費(fèi),因此有必要發(fā)展一種高效率、可避免重復(fù)計算的混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)性能預(yù)測方法.

近年來,隨著計算機(jī)科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展,機(jī)器學(xué)習(xí)方法被廣泛應(yīng)用到各個工程領(lǐng)域.在材料科學(xué)領(lǐng)域,Sundararaghavan 和Nicholas[11]采用支持向量機(jī)方法實(shí)現(xiàn)了三維復(fù)合材料的分類和重構(gòu).Liu 等[12]基于支持向量機(jī)方法預(yù)測了高對比三維復(fù)合材料彈性應(yīng)變場的分布.Sun 等[13]利用支持向量機(jī)方法預(yù)測和理解塊體非晶合金的玻璃形成能力.Kondo 等[14]借助卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法建立了陶瓷材料微觀結(jié)構(gòu)和離子導(dǎo)電率之間的映射關(guān)系.Cang 等[15]發(fā)展了形態(tài)感知生成模型并借助圖像數(shù)據(jù)和卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法預(yù)測了復(fù)合材料的物理性質(zhì).Bessa 等[16]基于數(shù)據(jù)驅(qū)動建立了分析復(fù)合材料力學(xué)響應(yīng)和設(shè)計復(fù)合材料微觀結(jié)構(gòu)的計算框架.Benyelloul和Aourag[17]采用混合的遺傳算法和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法預(yù)測了奧氏體不銹鋼的體積模量.基于圖像建模和深度學(xué)習(xí),Li 等[18]成功地預(yù)測了頁巖復(fù)合材料的有效力學(xué)性質(zhì).Balokas 等[19]結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法和多尺度分析預(yù)測了三維編織復(fù)合材料的彈性性能.Liu 和Wu[20]研究了數(shù)據(jù)驅(qū)動的多尺度力學(xué)中深度材料網(wǎng)絡(luò)的三維結(jié)構(gòu).Rong等[21]結(jié)合二維截面圖像和卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測了三維復(fù)合材料的有效熱傳導(dǎo)系數(shù).但是,對于預(yù)測混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)性能的高精度、高效率的機(jī)器學(xué)習(xí)方法缺乏充分的研究.

本文主要研究了預(yù)測具有周期型或隨機(jī)型微觀結(jié)構(gòu)的混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)性能的機(jī)器學(xué)習(xí)方法.混雜復(fù)合材料通常由兩種以上的不同成分組成,其熱傳導(dǎo)性能與各組成材料的性能及其微觀結(jié)構(gòu)密切相關(guān),要建立混雜復(fù)合材料宏觀等效熱傳導(dǎo)性能與各組成材料的性能以及微觀結(jié)構(gòu)之間的顯式關(guān)系或公式十分復(fù)雜.本文通過結(jié)合漸近均勻化方法、小波變換方法和機(jī)器學(xué)習(xí)方法各自的優(yōu)勢,建立了一種新的有效預(yù)測混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)性能的機(jī)器學(xué)習(xí)框架.本研究的主要創(chuàng)新點(diǎn)有三方面: 第一,借助于漸近均勻化方法建立了混雜復(fù)合材料的材料數(shù)據(jù)庫,該材料數(shù)據(jù)庫可以準(zhǔn)確提取混雜復(fù)合材料各組分的材料參數(shù)和微觀結(jié)構(gòu)信息,并包含準(zhǔn)確計算的混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)系數(shù).第二,基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(artificial neural network,ANN)方法和支持向量回歸(support vector regression,SVR)方法對建立的混雜復(fù)合材料的材料數(shù)據(jù)庫進(jìn)行了數(shù)據(jù)挖掘和監(jiān)督學(xué)習(xí),建立了能夠有效預(yù)測混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)系數(shù)的機(jī)器學(xué)習(xí)模型.第三,借助小波變換方法解決了具有復(fù)雜微觀結(jié)構(gòu)的隨機(jī)混雜復(fù)合材料的材料數(shù)據(jù)庫在線機(jī)器學(xué)習(xí)的困難.基于小波變換方法的預(yù)處理策略不僅可以大大減少機(jī)器學(xué)習(xí)模型的輸入數(shù)據(jù)規(guī)模,保證機(jī)器學(xué)習(xí)模型的成功訓(xùn)練,而且可以提取原始材料數(shù)據(jù)庫中的主要特征并自動過濾原始數(shù)據(jù)中的噪聲.最后,本文成功建立了可以有效預(yù)測混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)性能的小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法,所建立的機(jī)器學(xué)習(xí)框架具有極強(qiáng)的擴(kuò)展性,可以應(yīng)用于混雜復(fù)合材料其他物理、力學(xué)性能的預(yù)測和分析.

2 離線多尺度建模

本節(jié)首先給出三種代表性混雜復(fù)合材料的微觀結(jié)構(gòu)的計算機(jī)建模.隨后基于建立的混雜復(fù)合材料微觀幾何結(jié)構(gòu),利用漸近均勻化方法建立其熱傳導(dǎo)問題的多尺度模型,得到混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)系數(shù)的計算公式.最后選取混雜復(fù)合材料的特征數(shù)據(jù),并將計算得到的等效熱傳導(dǎo)系數(shù)值作為用于機(jī)器學(xué)習(xí)的數(shù)據(jù)標(biāo)簽,建立混雜復(fù)合材料的材料數(shù)據(jù)庫,完成混雜復(fù)合材料的離線多尺度建模.

2.1 混雜復(fù)合材料計算機(jī)模型及其熱傳導(dǎo)問題的漸近均勻化方法

本文主要研究三種混雜復(fù)合材料,包括兩種周期型混雜復(fù)合材料和一種隨機(jī)型混雜復(fù)合材料,三種混雜復(fù)合材料的微觀結(jié)構(gòu)計算機(jī)模型如圖1所示.

對于這三種混雜復(fù)合材料,其計算機(jī)幾何模型具體生成算法如下:

1) 對于周期型混雜復(fù)合材料I 和II,如圖1(a)和圖1(b)所示,首先生成混雜復(fù)合材料的內(nèi)部夾雜邊界和整個材料的外部邊界,然后建立該混雜復(fù)合材料的有限元網(wǎng)格.

2) 對于隨機(jī)型混雜復(fù)合材料,如圖1(c)所示,采用文獻(xiàn)[22,23]中的概率分布模型和網(wǎng)格生成算法來創(chuàng)建其微觀結(jié)構(gòu).

需要說明的是,本文研究的所有混雜復(fù)合材料的微觀結(jié)構(gòu)均基于Freefem++軟件二次開發(fā)生成.基于上述算法,我們成功地建立了周期型和隨機(jī)型混雜復(fù)合材料的計算機(jī)幾何模型和有限元計算網(wǎng)格.

基于建立的混雜復(fù)合材料微觀結(jié)構(gòu)計算機(jī)幾何模型,建立混雜復(fù)合材料熱傳導(dǎo)問題的漸近均勻化方法,得到混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)系數(shù)的計算公式.首先考慮如下的混雜復(fù)合材料的熱傳導(dǎo)問題:

其中?是一個 RN(N=2,3) 中的有界凸區(qū)域并具有邊界??=??T ∪??q; 小參數(shù)ε代表混雜復(fù)合材料的周期單胞(UC) 或代表體積元(RVE)的特征尺寸;Tε(x) 是待求解的溫度場;kiεj(x) 代表二階熱傳導(dǎo)系數(shù)張量;h(x) 是混雜復(fù)合材料的內(nèi)部熱源;T︿(x) 是邊界??T上的溫度場;qˉ(x) 是邊界??q上的熱流場.此外,我們強(qiáng)調(diào)所有周期型和隨機(jī)型混雜復(fù)合材料都用RVE 來統(tǒng)一描述其微觀結(jié)構(gòu).

根據(jù)漸近均勻化方法的理論[10],令y=x/ε為代表體積元Q=(0,1)N的微觀坐標(biāo),于是可以得到如下的鏈?zhǔn)椒▌t:

對于(1)式的多尺度熱傳導(dǎo)問題,假設(shè)其精確解Tε(x)具有如下的漸近展開形式:

接下來,將(3)式代入(1)式,并借助鏈?zhǔn)椒▌t(2)式,可以得到用于求解輔助單胞函數(shù)Mα1(y)的具有齊次狄利克雷邊界條件的輔助單胞問題如下所示:

然后在代表體積元Q上做積分并利用高斯定理,得到混雜復(fù)合材料的宏觀均勻化熱傳導(dǎo)問題為

圖1 混雜復(fù)合材料計算機(jī)模型 (a) 周期混雜復(fù)合材料I; (b) 周期混雜復(fù)合材料II; (c) 隨機(jī)混雜復(fù)合材料Fig.1.Computer geometric models: (a) Periodic hybrid composite material I; (b) periodic hybrid composite material II;(c) random hybrid composite material.

(6)式被應(yīng)用于預(yù)測研究的三種混雜復(fù)合材料的等效熱傳導(dǎo)性能.

2.2 混雜復(fù)合材料的材料數(shù)據(jù)庫

針對所研究的三種混雜復(fù)合材料,首先建立其計算機(jī)幾何模型和有限元計算網(wǎng)格.然后采用漸近均勻化方法計算其等效均勻化材料參數(shù).通過離線多尺度建模,可以得到混雜復(fù)合材料包含數(shù)據(jù)特征和數(shù)據(jù)標(biāo)簽的材料數(shù)據(jù)庫.該材料數(shù)據(jù)庫的數(shù)據(jù)特征包括混雜復(fù)合材料組成成分的材料參數(shù)和微觀結(jié)構(gòu)幾何參數(shù),該數(shù)據(jù)庫中的數(shù)據(jù)標(biāo)簽為混雜復(fù)合材料的等效熱傳導(dǎo)系數(shù),數(shù)據(jù)庫的建立對在線機(jī)器學(xué)習(xí)建立預(yù)測混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)性能的機(jī)器學(xué)習(xí)模型至關(guān)重要.

假設(shè)本文研究的混雜復(fù)合材料的夾雜材料和基體材料都是各向同性的.對于圖1(a)和圖1(b)所示的周期型混雜復(fù)合材料I 和II,數(shù)據(jù)特征設(shè)置為夾雜材料的熱傳導(dǎo)系數(shù)kc1和kc2,基體材料的熱傳導(dǎo)系數(shù)km和夾雜物1 的半徑r1與夾雜物2 的半徑r2.為便于建模分析,采用歸一化的思想,將代表體積元Q的邊長設(shè)置為1,熱傳導(dǎo)系數(shù)kc1,kc2和km均在(0,1)中隨機(jī)生成并服從均勻分布,夾雜物半徑r1和r2均在(0,0.25)中隨機(jī)生成并服從均勻分布.對于圖1(c)所示的隨機(jī)型混雜復(fù)合材料,數(shù)據(jù)特征的選擇比周期型混雜復(fù)合材料更為復(fù)雜.為了解決這一問題,引入了等間距矩形網(wǎng)格作為背景網(wǎng)格來提取機(jī)器學(xué)習(xí)需要的數(shù)據(jù)特征.需要強(qiáng)調(diào)的是,用于提取材料特征的背景網(wǎng)格與漸近均勻化方法中的有限元計算網(wǎng)格不同.然后定義隨機(jī)型混雜復(fù)合材料的夾雜材料的熱傳導(dǎo)系數(shù)kc1,kc2和基體材料的熱傳導(dǎo)系數(shù)km仍在(0,1)中服從均勻分布隨機(jī)生成.隨后,選取背景網(wǎng)格上各個節(jié)點(diǎn)的熱傳導(dǎo)系數(shù)為隨機(jī)型混雜復(fù)合材料的數(shù)據(jù)特征.需要注意的是,背景網(wǎng)格法也可以應(yīng)用于周期型混雜復(fù)合材料.但是周期型混雜復(fù)合材料的數(shù)據(jù)特征十分明顯,沒有必要采用這種方法.將所有混雜復(fù)合材料的數(shù)據(jù)標(biāo)簽統(tǒng)一設(shè)定為利用漸近均勻化方法計算得到的混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)系數(shù).

據(jù)此,建立周期型和隨機(jī)型混雜復(fù)合材料的材料數(shù)據(jù)庫,具體的材料數(shù)據(jù)庫構(gòu)成詳見表1 和表2.

表1 周期型混雜復(fù)合材料的材料數(shù)據(jù)庫Table 1.Database for periodic hybrid composite material.

表2 隨機(jī)型混雜復(fù)合材料的材料數(shù)據(jù)庫Table 2.Database for random hybrid composite material.

3 在線機(jī)器學(xué)習(xí)

本節(jié)首先介紹小波變換方法的理論基礎(chǔ)及其在我們建立的小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法中的應(yīng)用.然后介紹我們建立的混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)性能預(yù)測的小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法.需要強(qiáng)調(diào)的是,新引入的小波預(yù)處理策略對于保證機(jī)器學(xué)習(xí)模型的成功訓(xùn)練至關(guān)重要,而且可以在很大程度上提高學(xué)習(xí)的效率,此外小波預(yù)處理具有自動過濾噪聲的功能.

3.1 小波變換方法

訓(xùn)練過程是成功建立機(jī)器學(xué)習(xí)模型至關(guān)重要的部分,但是如果訓(xùn)練集中輸入數(shù)據(jù)規(guī)模較大會對機(jī)器學(xué)習(xí)模型的結(jié)構(gòu)產(chǎn)生很大影響,并導(dǎo)致訓(xùn)練效率降低和監(jiān)督學(xué)習(xí)難度增加,因此我們創(chuàng)新地采用小波變換方法對具有大規(guī)模數(shù)據(jù)特征的混雜復(fù)合材料的材料數(shù)據(jù)庫進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理.已有研究表明,小波變換方法是信號和圖像處理領(lǐng)域中數(shù)據(jù)壓縮和特征提取的強(qiáng)有力工具[24?27].

小波變換方法的一個主要優(yōu)點(diǎn)是能夠從輸入數(shù)據(jù)中提取多尺度信息.通過對輸入數(shù)據(jù)遞歸使用,小波變換會得到輸入數(shù)據(jù)的多層小波分解[25,28].接下來給出三層小波分解過程的示意圖,如圖2 所示,原始數(shù)據(jù)經(jīng)一次小波分解后得到近似系數(shù)CA1和細(xì)節(jié)系數(shù)CD1兩部分; 然后將近似系數(shù)CA1作為輸入進(jìn)行下一次小波分解,得到近似系數(shù)CA2和細(xì)節(jié)系數(shù)CD2; 最后將CA2作為輸入進(jìn)行下一次小波分解,得到近似系數(shù)CA3和細(xì)節(jié)系數(shù)CD3.三層小波分解得到的最終結(jié)果為[CA3,CD3,CD2,CD1].針對原始數(shù)據(jù)特征進(jìn)行多層小波分解的主要優(yōu)點(diǎn)有兩點(diǎn): 1) 從小波分解得到的結(jié)果中選取合適的小波系數(shù)作為新的監(jiān)督學(xué)習(xí)輸入數(shù)據(jù),能顯著減小用于機(jī)器學(xué)習(xí)模型訓(xùn)練的輸入數(shù)據(jù)規(guī)模,保證機(jī)器學(xué)習(xí)模型的成功訓(xùn)練并提高訓(xùn)練效率; 2) 通過小波分解可以過濾原始數(shù)據(jù)中的噪聲,提高訓(xùn)練得到的機(jī)器學(xué)習(xí)模型的準(zhǔn)確率.此外,需要強(qiáng)調(diào)的是,通常選取小波近似系數(shù)和最高層次的小波細(xì)節(jié)系數(shù)作為新的輸入數(shù)據(jù),這樣選擇的根本原因是較低層的細(xì)節(jié)系數(shù)包括來自原始數(shù)據(jù)特征的噪聲和小的數(shù)據(jù)波動.

圖2 三層小波分解示意圖Fig.2.Schematic of three-level wavelet decomposition.

在隨后的數(shù)值實(shí)驗(yàn)中,針對隨機(jī)型混雜復(fù)合材料,采用99×99 的背景網(wǎng)格提取樣本各節(jié)點(diǎn)的材料參數(shù)作為原始數(shù)據(jù)集樣本的特征.在此背景網(wǎng)格下,總共有10000 個節(jié)點(diǎn),即10000個原始數(shù)據(jù)特征,若直接采用如此大規(guī)模的數(shù)據(jù)特征作為機(jī)器學(xué)習(xí)模型輸入數(shù)據(jù),要保證機(jī)器學(xué)習(xí)模型的成功訓(xùn)練相對困難,因此采用上述小波變換方法對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理,以減小輸入數(shù)據(jù)的特征規(guī)模.選用小波函數(shù)“db1”,對原始數(shù)據(jù)特征進(jìn)行三層小波分解,將得到的1250 個小波系數(shù)CA3作為新的輸入數(shù)據(jù)特征,建立隨機(jī)型混雜復(fù)合材料新的材料數(shù)據(jù)庫,如表3 所列.

表3 隨機(jī)型混雜復(fù)合材料新的材料數(shù)據(jù)庫Table 3.New database for random hybrid composite material.

3.2 小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法

在機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域,ANN 方法和支持向量機(jī)(support vector machine,SVM)方法是兩種廣泛應(yīng)用的經(jīng)典方法.首先對ANN 方法的基本原理做簡單介紹.ANN 是一種應(yīng)用類似于大腦神經(jīng)突觸連接的結(jié)構(gòu)進(jìn)行信息處理的數(shù)學(xué)模型,ANN 方法中最基本的組成單元是神經(jīng)元[29],圖3(a)給出了一個神經(jīng)元模型.多個神經(jīng)元按一定的層級結(jié)構(gòu)連接起來就得到了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型是一種常用的ANN 模型,其基本構(gòu)架如圖3(b)所示.通常,ANN 的第一層為輸入層,最后一層為輸出層,中間可包含若干隱藏層,每一層中的每一個圓圈代表一個神經(jīng)元.

在神經(jīng)元模型中,來自其他n個神經(jīng)元的輸入信號xi分別和權(quán)重wi相乘后傳遞至當(dāng)前神經(jīng)元,神經(jīng)元接收到的總輸入疊加求和后再加上一個偏置b,然后用激活函數(shù)σ(·) 對其進(jìn)行作用產(chǎn)生當(dāng)前神經(jīng)元的輸出f,其中偏置b可等效為一個固定輸入x0=1 和權(quán)重w0=b相乘后傳遞至當(dāng)前神經(jīng)元.從數(shù)學(xué)上講,ANN 方法的最終目標(biāo)是學(xué)習(xí)得到一個最佳的映射函數(shù)φ(·) ,以便在給定輸入x時能夠獲得其對應(yīng)標(biāo)簽y的近似值[29],即:

通常ANN 采用鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu),映射φ(·) 由函數(shù)f層層嵌套生成,即:

式中,函數(shù)fi(x)=σ(Wix+bi),i=0,1,··· ,n,其中Wi為權(quán)重矩陣,bi為偏置,σ(·) 為激活函數(shù).ANN 方法的本質(zhì)即通過不斷學(xué)習(xí),更新權(quán)重和偏置參數(shù)求解如下極值問題,使得φ(·) 能夠更好地模擬輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)之間的關(guān)系.

圖3 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法示意圖 (a) 神經(jīng)元模型; (b) 多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型Fig.3.Schematic of artificial neural network: (a) The neuron model; (b) the multilayer feedforward ANN model.

圖4 機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法流程圖Fig.4.Flowchart of hybrid wavelet-based learning method.

其中θk=(Wk,bk),θ=(θ0,··· ,θn) ,L為損失函數(shù),ψ為正則函數(shù).ANN 方法訓(xùn)練過程中常用的激活函數(shù)有ReLU 函數(shù):σ(z)=max(0,z) 和Sigmoid函數(shù):σ(z)=1/(1+e?z) ,常用的損失函數(shù)有均方誤差(mse) 和絕對誤差(mae) 等,常用的優(yōu)化算法有隨機(jī)梯度下降算法(SGD)、自適應(yīng)梯度算法(AdaGrad)和自適應(yīng)矩估計算法(Adam)等.

SVR 方法是基于SVM 方法發(fā)展而來的一種回歸方法,在實(shí)際應(yīng)用中,許多問題都不是線性可分的,SVR 通過使用核函數(shù)把不能夠線性可分的原始樣本空間映射到一個新的高維的樣本空間,使得新得到的高維樣本空間可能是線性可分的,一些數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明了對于一個有限維樣本空間,必然存在一個高維的特征空間使得樣本可分[30].SVR 方法的具體數(shù)學(xué)模型[30]為給定訓(xùn)練集D={(x1,y1),(x2,y2),··· ,(xm,ym)},其中xi ∈Rn和yi ∈R ,定義相似性函數(shù)?(·) 和核函數(shù)κ(xi,xj) ,κ(xi,xj)=〈?(mxi),?(xj)〉=?(xi)T?(xj) ,其中〈·,·〉為高維特征空間中的內(nèi)積.然后得到?(x) 為原始向量x經(jīng)過映射后得到的特征向量,SVR 方法的數(shù)學(xué)模型就是確定一個函數(shù)F(x)=θT?(x)+b,該函數(shù)滿足如下極值問題:

其中θ和b為模型參數(shù),C為正則化參數(shù),?ε為ε-i nsensitive 損失函數(shù)并滿足如下的關(guān)系式:

需要強(qiáng)調(diào)的是,SVR 模型的數(shù)值精度取決于核函數(shù)選擇的合適程度,然而如何選擇一個SVR 模型最優(yōu)的核函數(shù)仍是一個開放性的問題.

通過離線多尺度建模,建立了周期型和隨機(jī)型混雜復(fù)合材料的材料數(shù)據(jù)庫.接下來,對隨機(jī)型混雜復(fù)合材料的材料數(shù)據(jù)庫應(yīng)用小波變換方法得到新的材料數(shù)據(jù)庫.然后利用經(jīng)典的ANN 方法和SVR 方法對周期型和隨機(jī)型混雜復(fù)合材料的材料數(shù)據(jù)庫進(jìn)行在線機(jī)器學(xué)習(xí),具體的小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法預(yù)測混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)性能的流程圖如圖4 所示.

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

本節(jié)通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證提出的小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法的有效性和可行性.通過數(shù)值實(shí)驗(yàn),成功訓(xùn)練了三種混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)系數(shù)預(yù)測的ANN 模型和SVR 模型.三種混雜復(fù)合材料的材料數(shù)據(jù)庫均由1000 組樣本數(shù)據(jù)構(gòu)成,在每種材料的數(shù)據(jù)庫中隨機(jī)選取800 組樣本數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集,剩下的200 組作為測試集用來評估訓(xùn)練得到的機(jī)器學(xué)習(xí)模型.

圖5 三種混雜復(fù)合材料1000 個隨機(jī)樣本的等效熱傳導(dǎo)系數(shù)分布圖 (a) 周期混雜復(fù)合材料I; (b) 周期混雜復(fù)合材料II; (c) 隨機(jī)混雜復(fù)合材料Fig.5.Effective thermal conductivity distribution of 1000 RVE samples of three kinds of hybrid composite materials: (a) Periodic hybrid composite material I; (b) periodic hybrid composite material II; (c) random hybrid composite material.

圖6 十折交叉驗(yàn)證過程示意圖Fig.6.Schematic of 10-fold cross-validation.

首先給出三種混雜復(fù)合材料的1000 個隨機(jī)樣本等效熱傳導(dǎo)系數(shù)分布圖,如圖5 所示.圖5(a)為周期混雜復(fù)合材料I 的1000 個隨機(jī)樣本無量綱等效熱傳導(dǎo)系數(shù)分布圖,其中最小和最大等效熱傳導(dǎo)系數(shù)分別為0.001114 和0.989869.圖5(b)為周期混雜復(fù)合材料II 的1000 個隨機(jī)樣本無量綱等效熱傳導(dǎo)系數(shù)分布圖,其中最小和最大等效熱傳導(dǎo)系數(shù)分別為0.001331 和0.989154.圖5(c)為隨機(jī)混雜復(fù)合材料的1000 個隨機(jī)樣本無量綱等效熱傳導(dǎo)系數(shù)分布圖,其中最小和最大等效熱傳導(dǎo)系數(shù)分別為0.034763 和0.986564.

本節(jié)數(shù)值實(shí)驗(yàn)中提到的驗(yàn)證(集)誤差、訓(xùn)練(集)誤差和測試(集)誤差均為平均絕對相對誤差.

4.1 小波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混合方法

用小波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混合方法對三種混雜復(fù)合材料的等效熱傳導(dǎo)性能進(jìn)行預(yù)測,在訓(xùn)練過程中,用于訓(xùn)練的損失函數(shù)被設(shè)定為均方誤差函數(shù)(mse),應(yīng)用Adam 優(yōu)化算法來更新所有權(quán)重并進(jìn)行迭代,激活函數(shù)采用ReLU 函數(shù).為了避免過擬合現(xiàn)象的發(fā)生,采用十折交叉驗(yàn)證(cross-validation,Cv)的方法對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的過擬合行為進(jìn)行抑制.在十折交叉驗(yàn)證中將訓(xùn)練集隨機(jī)分為10 份,并且分別以這10 份中的1 份為驗(yàn)證集,其余9 份為訓(xùn)練集進(jìn)行10 次訓(xùn)練,最后以這10 次訓(xùn)練中驗(yàn)證集誤差的平均值作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型過擬合程度的判斷標(biāo)準(zhǔn),十折交叉驗(yàn)證過程如圖6 所示.

最終將整個訓(xùn)練集輸入調(diào)試好的模型進(jìn)行訓(xùn)練,并在測試集上對模型進(jìn)行評估,給出建立的模型在整個訓(xùn)練集和測試集上的相對誤差分布圖及其平均值.對周期型混雜復(fù)合材料I 和II,將其材料數(shù)據(jù)庫中的 k c1,k c2,k m ,r1和 r2定義為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入層的5 個神經(jīng)元,等效熱傳導(dǎo)系數(shù)作為輸出層的1 個神經(jīng)元,對周期混雜復(fù)合材料I 建立5-128-128-1 的前饋ANN 模型,設(shè)定迭代次數(shù)為250 次; 對周期混雜復(fù)合材料II 建立5-128-64-32-1的前饋ANN 模型,設(shè)定迭代次數(shù)為500 次; 對隨機(jī)型混雜復(fù)合材料以材料數(shù)據(jù)庫中原始數(shù)據(jù)特征經(jīng)三層小波分解后得到的1250 個小波系數(shù) C A3作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入層的1250 個神經(jīng)元,等效熱傳導(dǎo)系數(shù)作為輸出層的1 個神經(jīng)元,對隨機(jī)混雜復(fù)合材料建立1250-1024-512-512-256-1 的前饋ANN模型,設(shè)定迭代次數(shù)為500 次.

數(shù)值實(shí)驗(yàn)完成后,給出最終的數(shù)值結(jié)果如圖7和圖8 所示.

圖7(a)—(c)分別給出了三種混雜材料的訓(xùn)練集誤差和驗(yàn)證集誤差隨迭代次數(shù)的變化.從圖7 可以清楚地看到,由于權(quán)重和偏置的初始值是隨機(jī)生成的,因此剛開始迭代的訓(xùn)練誤差很大.隨著迭代的進(jìn)行,權(quán)重和偏置會根據(jù)Adam算法逐漸更新,訓(xùn)練誤差和驗(yàn)證誤差均迅速下降,趨于收斂.最終,周期混雜復(fù)合材料I 經(jīng)10 折交叉驗(yàn)證得到的訓(xùn)練集誤差為1.7656%,驗(yàn)證集誤差為3.2645%; 周期混雜復(fù)合材料II 經(jīng)10 折交叉驗(yàn)證得到的訓(xùn)練集誤差為1.6503%,驗(yàn)證集誤差為4.1921%; 隨機(jī)混雜復(fù)合材料經(jīng)10 折交叉驗(yàn)證的訓(xùn)練集誤差為1.7080%,驗(yàn)證集誤差為5.7597%.說明對于研究的三種混雜復(fù)合材料,訓(xùn)練過程中沒有出現(xiàn)明顯的過擬合情況,因此可以將訓(xùn)練得到的網(wǎng)絡(luò)進(jìn)一步在測試集上進(jìn)行評估.重新將800 組訓(xùn)練集作為已經(jīng)確定網(wǎng)絡(luò)構(gòu)架的ANN 模型的輸入,用訓(xùn)練得到的ANN 模型對測試集中每個樣本的等效熱傳導(dǎo)系數(shù)進(jìn)行預(yù)測,并與用漸近均勻化方法計算得到的數(shù)據(jù)標(biāo)簽進(jìn)行對比,最終三種混雜復(fù)合材料的3 個模型在整個訓(xùn)練集和測試集上的相對誤差分布分別如圖8(a)—(c)所示.在圖8(a)和圖8(b)中,周期混雜復(fù)合材料I 和II 的訓(xùn)練集和測試集中絕大部分樣本的相對誤差都小于2%.最終,材料I 的ANN 模型在訓(xùn)練集和測試集上的誤差分別為1.4954%和2.2164%; 材料II 的ANN 模型在訓(xùn)練集和測試集上的誤差分別為1.4745%和1.4533%.在圖8(c)中,隨機(jī)混雜復(fù)合材料的訓(xùn)練集和測試集中絕大部分樣本的相對誤差都小于 3%.最終,隨機(jī)混雜復(fù)合材料訓(xùn)練集和測試集的誤差分別為1.3596%和3.9731%.總而言之,我們建立的小波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法可以高精度、高效地預(yù)測周期型和隨機(jī)型混雜復(fù)合材料的等效熱傳導(dǎo)性能.

4.2 小波-支持向量混合方法

用小波-支持向量混合方法對三種混雜復(fù)合材料的等效熱傳導(dǎo)性能進(jìn)行預(yù)測,訓(xùn)練過程中,將SVR 方法的核函數(shù)設(shè)置為高斯核函數(shù)并通過調(diào)節(jié)另外兩個參數(shù)C 和 ε 來確定最優(yōu)的SVR 模型,并且仍采用十折交叉驗(yàn)證的方法來避免過擬合現(xiàn)象的發(fā)生.為了確定SVR 模型中參數(shù)C 和 ε 的值,在十折交叉驗(yàn)證的基礎(chǔ)上結(jié)合了網(wǎng)格搜索的方法.在網(wǎng)格搜索過程中,將不同參數(shù)值C 和 ε 進(jìn)行組合,然后進(jìn)行十折交叉驗(yàn)證,最后比較不同組合下十折交叉驗(yàn)證的結(jié)果,以最小誤差對應(yīng)的參數(shù)值作為最終選擇的參數(shù)值,三種材料的網(wǎng)格搜索的誤差結(jié)果與最終選擇的參數(shù)組合如圖9 所示.

圖7 三種混雜復(fù)合材料訓(xùn)練集誤差和驗(yàn)證集誤差隨迭代次數(shù)變化曲線圖 (a) 周期混雜復(fù)合材料I; (b) 周期混雜復(fù)合材料II;(c) 隨機(jī)混雜復(fù)合材料Fig.7.Training error and cross-validation error descend as the training iteration increases for three kinds of hybrid composite materials: (a) Periodic hybrid composite material I; (b) periodic hybrid composite material II; (c) random hybrid composite material.

圖8 三種混雜復(fù)合材料訓(xùn)練集和測試集上的相對誤差分布圖 (a) 周期混雜復(fù)合材料I; (b) 周期混雜復(fù)合材料II; (c) 隨機(jī)混雜復(fù)合材料Fig.8.Frequency distribution of training error and test error of three kinds of hybrid composite materials: (a) Periodic hybrid composite material I; (b) periodic hybrid composite material II; (c) random hybrid composite material.

在圖9(a)中,對周期混雜復(fù)合材料I,確定了最優(yōu)參數(shù)組合為C = 1500 和 ε =10?5,此時訓(xùn)練集誤差為0.20%,驗(yàn)證集誤差為2.7018%; 在圖9(b)中,對于周期混雜復(fù)合材料II,確定了參數(shù)組合為C = 10 和 ε =10?3,此時訓(xùn)練集誤差為1.7727%,驗(yàn)證集誤差為2.7741%; 在圖9(c)中,對于隨機(jī)混雜復(fù)合材料,確定了參數(shù)組合為C =1 和 ε =10?2,此時訓(xùn)練集誤差為2.6578%,驗(yàn)證集誤差為9.2572%.上述結(jié)果表明,對周期型混雜復(fù)合材料均沒有出現(xiàn)明顯的過擬合行為,對隨機(jī)型混雜復(fù)合材料出現(xiàn)了一定程度的過擬合行為.接下來將800 組訓(xùn)練集作為已經(jīng)確定參數(shù)的SVR 模型的輸入,再用訓(xùn)練后的SVR 模型預(yù)測測試集中每個樣本的等效熱傳導(dǎo)系數(shù),并與用漸近均勻化方法計算得到的等效熱傳導(dǎo)系數(shù)進(jìn)行對比,最終三種混雜復(fù)合材料的訓(xùn)練集和測試集的相對誤差分布如圖10所示.

圖9 三種混雜復(fù)合材料參數(shù)網(wǎng)格搜索示意圖,其中標(biāo)記√處為最終確定的最優(yōu)參數(shù)組合 (a) 周期混雜復(fù)合材料I; (b) 周期混雜復(fù)合材料II; (c) 隨機(jī)混雜復(fù)合材料Fig.9.Grid search diagram of three kinds of hybrid composite materials’ parameters,where the final optimal combination of parameters is marked with √: (a) Periodic hybrid composite material I; (b) periodic hybrid composite material II; (c) random hybrid composite material.

從圖10 可以發(fā)現(xiàn),對周期混雜復(fù)合材料I 和II的訓(xùn)練集和測試集中除個別樣本的相對誤差高于10%外,絕大部分樣本的相對誤差都小于2%.材料I 最終的訓(xùn)練集和測試集的誤差分別為0.2462%和1.2712%,材料II 最終的訓(xùn)練集和測試集的誤差分別為1.4252%和1.7516%.而對隨機(jī)混雜復(fù)合材料的訓(xùn)練集和測試集中絕大部分樣本的相對誤差都小于8%,且其最終的訓(xùn)練集和測試集誤差分別為2.6636%和8.1561%.總而言之,對于周期型混雜復(fù)合材料,小波-支持向量混合方法是高精度、高效率的,但對于隨機(jī)型混雜復(fù)合材料,該方法的預(yù)測精度沒有周期型混雜復(fù)合材料高.

4.3 小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法抗噪性能分析

圖10 三種混雜復(fù)合材料訓(xùn)練集和測試集上的相對誤差分布圖 (a) 周期混雜復(fù)合材料I; (b) 周期混雜復(fù)合材料II; (c) 隨機(jī)混雜復(fù)合材料Fig.10.Frequency distribution of training error and test error of three kinds of hybrid composite materials: (a) Periodic hybrid composite material I; (b) periodic hybrid composite material II; (c) random hybrid composite material.

表4 兩種小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法抗噪性能分析Table 4.Anti-noise performance analysis of two kinds of hybrid wavelet-based learning methods.

在實(shí)際工程應(yīng)用中,各種各樣的噪聲無法避免,小波方法天然地具有一定的去噪能力,接下來對我們建立的小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法的抗噪性能進(jìn)行分析.由于隨機(jī)型混雜復(fù)合材料的原始數(shù)據(jù)特征是由背景網(wǎng)格中每個節(jié)點(diǎn)的材料參數(shù)定義,因此通過分別向背景網(wǎng)格各節(jié)點(diǎn)隨機(jī)添加三種不同強(qiáng)度的高斯噪聲N(0,0.0012),N(0,0.012) 和N(0,0.12),再分別應(yīng)用建立的小波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混合方法和小波-支持向量混合方法對加噪后的隨機(jī)混雜復(fù)合材料的等效熱傳導(dǎo)性能進(jìn)行預(yù)測分析.數(shù)值實(shí)驗(yàn)完成后,對不同強(qiáng)度的噪聲最終的預(yù)測效果見表4,其中ANN 和SVR 代表沒有噪聲時兩種小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法的預(yù)測結(jié)果,ANN-I,ANNII,ANN-III 和SVR-I,SVR-II,SVR-III 分別代表添加噪聲N(0,0.0012),N(0,0.012) ,N(0,0.12) 時兩種小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

由表4 可知,小波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混合方法和小波-支持向量混合方法對于三種不同強(qiáng)度的噪聲都是不敏感的,不同強(qiáng)度的噪聲不會對兩種方法的精度造成較大的影響.此外,相比小波-支持向量混合方法,小波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混合方法在噪聲干擾下表現(xiàn)出更好的數(shù)值精度,訓(xùn)練集和測試集的誤差精度均控制在5%以內(nèi),同時樣本測試時間很短,這對于實(shí)際工程應(yīng)用具有重要的意義.從表4 還可以看出,小波-支持向量混合方法對于無噪聲污染和有噪聲污染的隨機(jī)型混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)性能預(yù)測均出現(xiàn)了一定程度的過擬合現(xiàn)象,因?yàn)樵摲椒ń徊骝?yàn)證得到的訓(xùn)練集誤差很小而驗(yàn)證集誤差偏大.綜上所述,在實(shí)際工程應(yīng)用中采用小波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混合方法來預(yù)測隨機(jī)型混雜復(fù)合材料的等效熱傳導(dǎo)系數(shù)更為有效,不僅預(yù)測精度高而且預(yù)測效率高.

5 結(jié) 論

為了有效預(yù)測混雜復(fù)合材料的等效熱傳導(dǎo)性能,本文結(jié)合多尺度分析提出了一種新的小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法.在該方法中,基于Freefem++軟件二次開發(fā),建立了三種典型混雜復(fù)合材料的計算機(jī)幾何模型.利用漸近均勻化方法離線計算得到了三種混雜復(fù)合材料的等效熱傳導(dǎo)系數(shù),然后以混雜復(fù)合材料組成成分的微觀結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料參數(shù)作為數(shù)據(jù)特征,其等效熱傳導(dǎo)系數(shù)作為數(shù)據(jù)標(biāo)簽,建立混雜復(fù)合材料的離線材料數(shù)據(jù)庫.對于隨機(jī)型混雜復(fù)合材料,創(chuàng)造性地利用小波變換方法對其建立在背景網(wǎng)格上的數(shù)據(jù)特征進(jìn)行預(yù)處理,建立了新的材料數(shù)據(jù)庫.最后,利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法和支持向量回歸方法對周期型和隨機(jī)型混雜復(fù)合材料的材料數(shù)據(jù)庫進(jìn)行在線監(jiān)督學(xué)習(xí),得到混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)性能預(yù)測的機(jī)器學(xué)習(xí)模型.

本文建立的新的小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法充分利用了小波變換方法的數(shù)據(jù)壓縮、特征提取和去噪能力,以及機(jī)器學(xué)習(xí)方法優(yōu)異的數(shù)據(jù)擬合能力.數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明,在無噪聲的情形下,對于周期型混雜復(fù)合材料,小波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混合方法和小波-支持向量回歸混合方法均表現(xiàn)出很高的數(shù)值精度,并且穩(wěn)定高效; 對于隨機(jī)型混雜復(fù)合材料,小波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混合方法的預(yù)測精度高于小波-支持向量回歸混合方法.在加入噪聲的情形下,兩種混合方法均表現(xiàn)出很好的抗噪能力,其中小波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混合方法數(shù)值精度更高,樣本測試時間更短,小波-支持向量混合方法的數(shù)值精度較低,且表現(xiàn)出一定程度的過擬合行為.綜上所述,本文建立的小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法可以有效預(yù)測混雜復(fù)合材料的等效熱傳導(dǎo)性能,特別是小波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法具有高精度、高效率的預(yù)測能力和優(yōu)異的抗噪性能.本文建立的統(tǒng)一的小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合框架可以很容易地擴(kuò)展到預(yù)測混雜復(fù)合材料的其他物理、力學(xué)性能,為新型復(fù)合材料的開發(fā)提供了堅實(shí)的基礎(chǔ)理論和高性能算法.在未來,希望能夠進(jìn)一步利用我們建立的小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合框架對混雜復(fù)合材料的其他非線性物理、力學(xué)性能進(jìn)行深入研究.

感謝阿爾伯塔大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計科學(xué)系Yaushu Wong教授和Yile Zhang 博士的討論.