臨界中性Gauss-Bonnet-anti-de Sitter黑洞復(fù)雜度演化*

梁華志 張靖儀

(廣州大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院,廣州 510006)

利用Fan 和Liang (Fan Z Y,Liang H Z 2019 Phys.Rev.D 100 086016)研究一般高階導(dǎo)數(shù)引力復(fù)雜度的方法,對(duì)臨界中性Gauss-Bonnet-anti-de Sitter (Gauss-Bonnet-anti-de Sitter,AdS)黑洞的復(fù)雜度演化進(jìn)行研究,并且將研究結(jié)果和一般中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞的結(jié)果進(jìn)行了比較.研究發(fā)現(xiàn),二者的復(fù)雜度演化的整體規(guī)律是一致的,它們的主要區(qū)別在無(wú)量綱的臨界時(shí)間上.對(duì)于五維的臨界中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞,當(dāng)黑洞視界面為平面或者球面時(shí),不同大小的黑洞的無(wú)量綱的臨界時(shí)間相同,都取到了最小值.當(dāng)維度超過(guò)五維時(shí),不同大小的球?qū)ΨQ臨界中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞的無(wú)量綱臨界時(shí)間的差異明顯要比一般的情況小.這些差異很可能和中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞的臨界性有關(guān).

1 引 言

復(fù)雜度是量子信息理論中的概念,大致說(shuō)來(lái),可以將復(fù)雜度理解為衡量從一個(gè)給定的參考狀態(tài)構(gòu)造出一個(gè)目標(biāo)狀態(tài)的難度的量.給定參考狀態(tài)|A〉 以及目標(biāo)狀態(tài) | B〉 ,可以定義一個(gè)測(cè)量這兩個(gè)量子態(tài)之間的距離的特殊“度規(guī)”,稱為相對(duì)復(fù)雜度,用 C 表示.相對(duì)復(fù)雜度的物理含義是從一個(gè)參考狀態(tài) | A〉 到 一個(gè)目標(biāo)狀態(tài) | B〉 所需“門(mén)”的最小數(shù)目.在量子信息理論中,“門(mén)”指的就是簡(jiǎn)單操作.兩個(gè)量子態(tài)之間通過(guò)幺正算符U 相聯(lián)系,即: | B〉=U|A〉 ,其中,幺正算符U 包含了一系列的“門(mén)”.U 有時(shí)候也被稱為“電路”,盡管它沒(méi)有任何的周期性.

由于受到黑洞的貝肯斯坦-霍金熵正比于黑洞視界面積的啟發(fā),’t Hooft[1]在1993 年首次提出了全息原理,隨后Susskind[2]對(duì)全息原理進(jìn)行了進(jìn)一步的研究和闡述.1997 年,Maldacena[3]在IIB 型超弦理論背景下,利用N 張重合的D3-brane 的低能極限,找到了全息原理的第一個(gè),也是極其重要的一個(gè)具體實(shí)現(xiàn)的例子—AdS/CFT (anti-de Sitter/conformal field theory)對(duì)偶.AdS/CFT 對(duì)偶指出(d + 1)維的反德西特時(shí)空中的引力理論等價(jià)于d 維邊界的共形場(chǎng)論.之后,Witten[4]和Gubser 等[5]分別獨(dú)立給出了一套數(shù)學(xué)上的對(duì)應(yīng)關(guān)系.一直以來(lái),除了幾個(gè)簡(jiǎn)單的模型以外,想要直接去計(jì)算黑洞的復(fù)雜度是十分困難的.AdS/CFT對(duì)偶為黑洞復(fù)雜度的研究打開(kāi)了一扇新的窗戶.基于AdS/CFT 對(duì)偶,Susskind 研究組先后提出了復(fù)雜度/長(zhǎng)度對(duì)偶[6]以及復(fù)雜度/體積對(duì)偶[7,8],經(jīng)過(guò)逐步改進(jìn),最后發(fā)展出了復(fù)雜度/作用量對(duì)偶[9,10].復(fù)雜度/作用量對(duì)偶指出d 維邊界全息狀態(tài)的量子計(jì)算復(fù)雜度對(duì)偶于(d + 1)維Wheeler-Dewitt 片的經(jīng)典作用量.復(fù)雜度/作用量對(duì)偶把黑洞復(fù)雜度問(wèn)題歸結(jié)為對(duì)引力作用量的計(jì)算.經(jīng)過(guò)幾年發(fā)展,人們已經(jīng)利用復(fù)雜度/作用量對(duì)偶得到了許多黑洞復(fù)雜度演化的結(jié)果[10?35].

給定一個(gè)宇宙學(xué)常數(shù),一般的Gauss-Bonnet引力都會(huì)存在兩個(gè)AdS 時(shí)空作為它的真空解.研究發(fā)現(xiàn),存在一個(gè)參數(shù)空間的臨界點(diǎn),兩個(gè)AdS 真空合并成一個(gè),這種臨界的引力理論沒(méi)有傳播子,因此一般的引力子模型不再適用,這種引力理論被形象地稱為沒(méi)有引力子的引力[36].臨界中性Gauss-Bonnet-anti-de Sitter (Gauss-Bonnet-anti-de Sitter,AdS)黑洞性質(zhì)上和一般的情況有很大不同,進(jìn)一步研究臨界中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞的復(fù)雜度演化,不僅對(duì)黑洞復(fù)雜度研究的發(fā)展有所貢獻(xiàn),同時(shí)對(duì)Gauss-Bonnet 引力臨界性的研究也有一定意義.

2019 年,Fan 和Liang[11]得到了一般高階導(dǎo)數(shù)引力的復(fù)雜度演化公式,并利用數(shù)值方法對(duì)平面(k=0 )的Gauss-Bonnet-AdS 黑洞以及平面(k=0 )的三階Lovelock-AdS 黑洞的復(fù)雜度演化進(jìn)行了詳細(xì)的討論.后來(lái),本研究組利用Fan 和Liang 給出的一般高階導(dǎo)數(shù)引力的復(fù)雜度演化公式,把他們對(duì)中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞復(fù)雜度的演化推廣到了一般的情況(k任意),得到了一般中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞的復(fù)雜度演化公式,并利用數(shù)值方法畫(huà)出了演化圖和微分圖,找出了不同視界幾何的中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞復(fù)雜度演化的共同點(diǎn)以及差異[12].本文將進(jìn)一步利用Fan 和Liang 給出的一般高階導(dǎo)數(shù)引力的復(fù)雜度演化公式,研究臨界中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞復(fù)雜度演化,通過(guò)和一般中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞的結(jié)果作對(duì)比[12],找出其臨界性對(duì)復(fù)雜度演化的影響.

2 臨界中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞復(fù)雜度演化

2.1 臨界點(diǎn)

對(duì)于含有宇宙學(xué)常數(shù)的一般的Gauss-Bonnet引力,都會(huì)允許兩個(gè)AdS 時(shí)空作為它的真空解,這種一般的Gauss-Bonnet 引力理論可以用線性引力子模型去解釋,線性引力子在其中一個(gè)AdS 真空中具有正的動(dòng)能,而在另一個(gè)AdS 真空中具有負(fù)的動(dòng)能.研究發(fā)現(xiàn),Gauss-Bonnet-AdS 引力理論的參數(shù)空間存在一個(gè)的臨界點(diǎn),兩個(gè)AdS 真空會(huì)合并成一個(gè),同時(shí)動(dòng)能項(xiàng)的有效耦合常數(shù)消失,這種臨界點(diǎn)的引力理論沒(méi)有傳播子,因此一般的引力子模型不再適用,這種引力理論被形象地稱為沒(méi)有引力子的引力[36].參數(shù)空間的臨界點(diǎn)也可看作是一個(gè)相變點(diǎn),超過(guò)這個(gè)臨界點(diǎn),引力理論不再具有最大對(duì)稱性的時(shí)空解.1983 年,Hawking 和Page發(fā)現(xiàn)AdS 黑洞的熱力學(xué)系統(tǒng)存在Hawking-Page相變[37].后來(lái)研究發(fā)現(xiàn),隨著黑洞溫度的升高,5 維的中性球?qū)ΨQ(k=1 )的Gauss-Bonnet-AdS黑洞同樣存在相變現(xiàn)象[38],類比于范德瓦耳斯系統(tǒng),黑洞系統(tǒng)在相變點(diǎn)的臨界指數(shù) (α,β,γ,δ) 分別為α=0,β=1/2,γ=1,δ=3 .需要特別強(qiáng)調(diào)的是,本文所說(shuō)的Gauss-Bonnet-AdS 引力的臨界點(diǎn)和Hawking-Page 相變的臨界點(diǎn)并無(wú)關(guān)系.

下面先給出中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞參數(shù)空間臨界點(diǎn)的臨界條件.Gauss-Bonnet-AdS 引力包含兩個(gè)非平凡的參數(shù)空間,分別是裸宇宙學(xué)常數(shù)Λ0以及耦合常數(shù)λ.首先,可以利用裸宇宙學(xué)常數(shù)Λ0去定義一個(gè)有效宇宙學(xué)常數(shù)Λ[36]:

其中,

這里的γ表示Guass-Bonnet-AdS 引力的拉格朗日密度L中的系數(shù),分別有

此處的λ為Gauss-Bonnet 耦合常數(shù),它是表征Gauss-Bonnet 引力和愛(ài)因斯坦引力差異的參數(shù).當(dāng)λ=0 時(shí),Gauss-Bonnet 引力會(huì)退回到愛(ài)因斯坦引力.Gauss-Bonnet 引力的耦合常數(shù)的取值被邊界理論的微觀因果關(guān)系所強(qiáng)烈約束.關(guān)于Gauss-Bonnet 耦合常數(shù)的取值,Brigante 等基于AdS/CFT 對(duì)偶,最先給出了5 維Gauss-Bonne黑洞耦合常數(shù)的上界為“λ≤9/100 ”[39,40].而后,Buchel 和Myers 進(jìn)一步給出了5 維Gauss-Bonnet黑洞耦合常數(shù)的下界為“λ≤?7/36 ”[41].最 后,Camanho 和Edelstein 指 出,一 個(gè)D維Gauss-Bonnet 引力的耦合常數(shù)的取值范圍為[42]

由(5)式可以看出,當(dāng)D=5 時(shí),(5)式給出的Gauss-Bonnet 耦合常數(shù)的上界以及下界跟前人得到的結(jié)果[39?41]完全一致.對(duì)于一個(gè)負(fù)的λ,線元的解將會(huì)在視界內(nèi)有限半徑處存在另外一個(gè)奇點(diǎn).為了避免這種情況以及考慮到“當(dāng)λ=0 時(shí),Gauss-Bonnet 引力會(huì)退回到愛(ài)因斯坦引力”,所以對(duì)Gauss-Bonnet 耦合常數(shù)的取值作了進(jìn)一步的限制,即要求λ>0 .從弦論的角度看,這也是一個(gè)物理上感興趣的例子.因此,本文中的Gauss-Bonnet耦合常數(shù)所允許的范圍為

通過(guò)對(duì)(1)式進(jìn)行求解,可以求得兩個(gè)有效宇宙學(xué)常數(shù)Λ±分別為

這里的兩個(gè)有效宇宙學(xué)常數(shù)Λ±分別對(duì)應(yīng)著兩個(gè)AdS 時(shí)空.

對(duì)于(7)式,一般中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞要求Λ±是一個(gè)實(shí)數(shù),因此有

當(dāng)(8)式取等號(hào)時(shí),就得到了中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞的臨界條件,即

或

在臨界條件(9)式或(10)式下,兩個(gè)有效宇宙學(xué)常數(shù)Λ±相等,即兩個(gè)AdS 時(shí)空合并成了一個(gè),此時(shí)有

綜合(2)式、(4)式和(10)式,可推導(dǎo)出中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞關(guān)于參數(shù)空間的臨界條件為

2.2 臨界中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞的線元表達(dá)式

對(duì)于一個(gè)時(shí)空維度為D(D≥5)的一般中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞,它的線元表達(dá)式為

這里度規(guī)函數(shù)f(r)為

其中,k=1,0,?1 分別表示視界面為球面、平面以及雙曲拋物面的黑洞;?為AdS 半徑;M為黑洞質(zhì)量;ωD?2是與視界面幾何相關(guān)的余二維的單位體積.Gauss-Bonnet 耦合常數(shù)λ定義如度規(guī)函數(shù)(14)式所示.由(14)式可以看出,對(duì)于一個(gè)負(fù)的λ,(13)式的解將會(huì)在視界內(nèi)有限半徑處存在另外一個(gè)奇點(diǎn).可以利用參數(shù)g把有效宇宙學(xué)常數(shù)Λ重新定義為

根據(jù)前面的分析,在臨界條件下

綜合(15)式和(16)式,有

將臨界條件(12)式以及(17)式代入(14)式中,可以得到

其中,

(18)式就是臨界中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞的度規(guī)函數(shù),進(jìn)一步地,可以利用(19)式,解得黑洞質(zhì)量M為

不難證明,(20)式給出的黑洞質(zhì)量表達(dá)式和利用Wald formalism 得到的結(jié)果是一致的[43?45].根據(jù)Gauss-Bonnet-AdS 引力的Wald 公式,有

這里的f是度規(guī)函數(shù)f(r) 的簡(jiǎn)寫(xiě).對(duì)于臨界中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞,度規(guī)函數(shù)如(18)式所示,故

將(22)式代入(21)式,化簡(jiǎn)后可以得到

對(duì)于漸進(jìn)無(wú)窮遠(yuǎn),即r→∞,有δH∞=δM.根據(jù)(23)式可以得到

不難看出,由(24)式得到的黑洞質(zhì)量表達(dá)式和(20)式給出的結(jié)果完全一致.

進(jìn)一步,根據(jù)f(rh)=0 ,可以得到

這里rh為黑洞事件視界半徑,需要指出的是,(25)式是一個(gè)重要的化簡(jiǎn)條件.

2.3 臨界中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞熱力學(xué)量

根據(jù)之前的研究[11,12],黑洞復(fù)雜度的演化結(jié)果依賴于黑洞的熱力學(xué)量,為了進(jìn)一步研究臨界中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞的復(fù)雜度演化,需要先計(jì)算出相關(guān)的熱力學(xué)量.Gauss-Bonnet-AdS 黑洞的溫度函數(shù)以及Wald 熵函數(shù)定義在任意的超曲面t=const 以及r=const 上,定義式分別為[11]

其中εμν表示超曲面的副法矢.將(3)式的拉格朗日密度以及(18)式的度規(guī)函數(shù)分別代入上述定義式,不難推導(dǎo)出臨界中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞的溫度函數(shù)以及Wald 熵函數(shù)分別為

在(28)式和(29)式的化簡(jiǎn)中,利用了(25)式的條件,需要注意的是(28)式和(29)式并不是黑洞真正的溫度和熵,后者是定義在黑洞事件視界上的.可以證明,當(dāng)超曲面在晚期接近黑洞事件視界時(shí),它們的確會(huì)變成黑洞真正的溫度和熵.因此臨界中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞的溫度T以及熵S分別為

2.4 臨界中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞復(fù)雜度演化公式

根據(jù)復(fù)雜度/作用量對(duì)偶 (complexity/action duality,CA 對(duì)偶)[10],有

其中,C表示復(fù)雜度,I表示作用量,π是一個(gè)比例系數(shù),沒(méi)有特指數(shù)學(xué)上的圓周率.? 是普朗克常數(shù),這里使用自然單位制,? =1 .相比于黑洞的復(fù)雜度,更多的時(shí)候關(guān)心的是黑洞復(fù)雜度的增長(zhǎng)速率dC/dt,把(32)式對(duì)時(shí)間t求導(dǎo),可以得到

這里的 dI/dt表示作用量增長(zhǎng)速率.根據(jù)Fan和Liang[11]給出的結(jié)果,對(duì)于一個(gè)高階導(dǎo)數(shù)引力理論下的中性黑洞,它的復(fù)雜度在臨界時(shí)間tc以前(t≤tc)不演化,即

而在臨界時(shí)間tc以后(t>tc),它的復(fù)雜度增長(zhǎng)速率為

這里的?表示總作用量增長(zhǎng)速率的晚期極限.圖1給出了一般的中性雙邊AdS 黑洞Wheeler-Dewitt片的示意圖,rm為Wheeler-Dewitt 片兩條過(guò)去類光邊界交界處的徑向坐標(biāo).需要特別說(shuō)明的是,上文所說(shuō)的臨界時(shí)間tc指的是Wheeler-Dewitt片兩條過(guò)去類光邊界相交的“節(jié)點(diǎn)”恰好落在過(guò)去奇點(diǎn)上所對(duì)應(yīng)的時(shí)間t,與前文所說(shuō)的臨界Gauss-Bonnet-AdS 黑洞的臨界點(diǎn)并無(wú)關(guān)系.這里的時(shí)間t指的是兩側(cè)邊界時(shí)間之和,即

其中烏龜坐標(biāo)r?(r)定義為[11]

所以r?(∞)=0.

圖1 一般的中性雙邊AdS 黑洞Wheeler-Dewitt 片F(xiàn)ig.1.The Wheeler-DeWitt patch for a general neutral two-sided AdS black hole.

引力作用量的Gibbons-Hawking-York(GHY)表面項(xiàng)的定義式以及它的增長(zhǎng)速率公式為[11]

其中Kμν為外曲率.根據(jù)(38)式、(39)式及(18)式,可以推導(dǎo)出臨界中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞的總作用量增長(zhǎng)速率晚期極限?為

進(jìn)一步計(jì)算,可以得到

至此,只要把(18)式的度規(guī)函數(shù)、(29)式的Wald熵函數(shù)以及(41)式的作用量增長(zhǎng)速率的晚期極限代入(35)式,就可得到臨界中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞復(fù)雜度演化的公式.

2.5 數(shù)值結(jié)果

為了更直觀地看出臨界中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞復(fù)雜度演化的情況,需要進(jìn)行數(shù)值分析,利用數(shù)值方法畫(huà)出黑洞復(fù)雜度的演化圖以及微分圖.最直接了當(dāng)?shù)姆椒ㄊ抢脭?shù)值方法去求解(36)式,得到rm隨時(shí)間t的演化函數(shù),然后代入(35)式從而得到復(fù)雜度演化的函數(shù),從而進(jìn)一步去畫(huà)出復(fù)雜度演化的圖像,理論上這樣求解并不困難.但是需要注意的是,由于烏龜坐標(biāo)r?(r) 在事件視界rh處是奇異的,使得直接求解(36)式難以進(jìn)行.和Fan 和Liang[11]的文章一樣,為了解決這個(gè)問(wèn)題,必須引入新的函數(shù)F(r) 以及H(r)

其中一個(gè)有用的關(guān)系式是F(rh)=2πT/rh.

此時(shí),烏龜坐標(biāo)r?(r) 可以重新表示為

不難看出,烏龜坐標(biāo)的奇異部分已分離到(44)式右邊第一項(xiàng),現(xiàn)在可以很容易得到烏龜坐標(biāo)的數(shù)值解.

同時(shí),時(shí)間t以及臨界時(shí)間tc也可以分別重新表示為

在數(shù)值方法中,本研究組習(xí)慣采用無(wú)量綱的量.因此本文采用無(wú)量綱的時(shí)間t/β=Tt,其中β表示熱時(shí)間β=1/T.此時(shí),無(wú)量綱的時(shí)間Tt以及臨界時(shí)間Ttc分別表示為

同樣地,復(fù)雜度增長(zhǎng)速率也需要通過(guò)除以晚期極限來(lái)無(wú)量綱化,即

圖2 臨界中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞的復(fù)雜度演化圖 (a) D =5,k =0 ; (b) D =5,k =1 ; (c) D =6,k =0 ; (d) D =6,k =1 ; (e) D =7,k =0 ; (f) D =7,k =1Fig.2.Complexity evolution diagram of the critical neutral Gauss-Bonnet-AdS black holes: (a) D =5,k =0 ; (b) D =5,k =1 ;(c) D =6,k =0 ; (d) D =6,k =1 ; (e) D =7,k =0 ; (f) D =7,k =1 .

下面利用數(shù)值方法給出臨界中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞的復(fù)雜度演化的數(shù)值結(jié)果.圖2 為用數(shù)值方法畫(huà)出的不同大小的 D =5,6,7 維的臨界中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞的復(fù)雜度演化圖,橫坐標(biāo)表示無(wú)量綱的時(shí)間 Tt ,縱坐標(biāo)表示無(wú)量綱的復(fù)雜度增長(zhǎng)速率,其中,k =0,1 ,rh/?=1,3,5.圖3 為對(duì)應(yīng)的復(fù)雜度微分圖,橫坐標(biāo)表示無(wú)量綱的時(shí)間 Tt ,縱坐標(biāo)表示無(wú)量綱的復(fù)雜度微分,其中,復(fù)雜度微分 δ C =C(t)?C(tc) 通過(guò)對(duì)dC/dt積分得到.為了方便畫(huà)圖,在圖2 和圖3 中,已經(jīng)讓 G =α=1 ,ωD?2=16π .表1 和表2 分別列出了不同大小以及不同維度的臨界中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞的無(wú)量綱的臨界時(shí)間 T tc.

根據(jù)數(shù)值分析的結(jié)果,可以看出臨界中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞的復(fù)雜度演化和一般中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞的復(fù)雜度演化[12]的整體規(guī)律是一致的.復(fù)雜度增長(zhǎng)的整體趨勢(shì)都是先增長(zhǎng)到一個(gè)局部的極大值,再開(kāi)始下降,最后趨近于晚期極限.而且隨著維度D 的增加,相同大小的臨界中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞的復(fù)雜度演化的圖像會(huì)整體往右移,說(shuō)明對(duì)于相同大小的臨界中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞來(lái)說(shuō),維度越高,相應(yīng)的無(wú)量綱的臨界時(shí)間 T tc越大.當(dāng) k =0 時(shí),不同大小的臨界中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞無(wú)量綱的臨界時(shí)間 T tc總是相同的.但是當(dāng) k =1 ,D ≥6 時(shí),不同大小的黑洞無(wú)量綱的臨界時(shí)間 T tc卻不再相同,在相同維度下,黑洞越大( rh/? 的值越大),無(wú)量綱的臨界時(shí)間 T tc越小,而且維度越高(D 越大),不同大小黑洞的無(wú)量綱的臨界時(shí)間 T tc差別越大.同時(shí)也發(fā)現(xiàn),大黑洞( rh/?=3,5 )的復(fù)雜度演化圖無(wú)論是位置還是演化的趨勢(shì)整體上都非常相似,而小黑洞( rh/?=1 )的復(fù)雜度演化圖和大黑洞的差別較大.

圖3 臨界中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞的復(fù)雜度微分圖 (a) D =5,k =0 ; (b) D =5,k =1 ; (c) D =6,k =0 ; (d) D =6,k =1 ; (e) D =7,k =0 ; (f) D =7,k =1Fig.3.Complexity difference diagram of the critical neutral Gauss-Bonnet-AdS black holes: (a) D =5,k =0 ; (b) D =5,k =1 ; (c) D =6,k =0 ; (d) D =6,k =1 ; (e) D =7,k =0 ; (f) D =7,k =1 .

表1 k =0 時(shí),臨界中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞無(wú)量綱的臨界時(shí)間 T tc ( λ =0.05 )Table 1.Dimensionless critical time T tc of critical neutral Gauss-Bonnet-AdS black holes ( λ =0.05 )for k =0 .

但是臨界中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞復(fù)雜度演化也有和一般中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞復(fù)雜度演化不同的地方,二者的差別主要體現(xiàn)在無(wú)量綱的臨界時(shí)間Ttc上.對(duì)于臨界中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞,當(dāng)D=5 時(shí),不僅是k=0 的不同大小黑洞的無(wú)量綱的臨界時(shí)間Ttc相同,而且k=1 的不同大小黑洞的無(wú)量綱的臨界時(shí)間Ttc也都相同,同時(shí)k=0 和k=1 的不同大小黑洞的無(wú)量綱的臨界時(shí)間Ttc都趨近于0,由于要求Ttc≥0 ,所 以k=0,1 ,D=5 的 臨 界 中 性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞的無(wú)量綱臨界時(shí)間Ttc都取到了最小值.同時(shí)也發(fā)現(xiàn),隨著維度D的增加,k=1 ,D≥6 的不同大小臨界中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞之間的無(wú)量綱臨界時(shí)間Ttc的差別明顯要小于一般中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞的情況.

表2 k =1 時(shí),臨界中性Gauss-Bonnet-AdS 黑洞無(wú)量綱的臨界時(shí)間 T tc ( λ =0.05 )Table 2.Dimensionless critical time T tc of critical neutral Gauss-Bonnet-AdS black holes ( λ =0.05 )for k =1 .

3 結(jié)論與展望

通過(guò)計(jì)算,得到了臨界中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞的復(fù)雜度演化公式,并用數(shù)值方法畫(huà)出了它的復(fù)雜度演化圖以及微分圖,最后和一般中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞的復(fù)雜度演化結(jié)果作對(duì)比.由于臨界Gauss-Bonnet-AdS黑洞本質(zhì)上還是屬于Gauss-Bonnet-AdS黑洞,所以發(fā)現(xiàn)二者的復(fù)雜度演化的整體規(guī)律是一致的.但又由于Gauss-Bonnet-AdS黑洞臨界性的影響,二者的復(fù)雜度演化又有一些明顯的不同.這些不同主要體現(xiàn)在無(wú)量綱的臨界時(shí)間Ttc上.

相同點(diǎn)1)復(fù)雜度增長(zhǎng)的整體趨勢(shì)都是先增長(zhǎng)到一個(gè)局部的極大值,再開(kāi)始下降,最后趨近于晚期極限;2)隨著維度D的增加,復(fù)雜度演化的圖像會(huì)整體往右移,即無(wú)量綱臨界時(shí)間Ttc增大;3)當(dāng)k=0時(shí),不同大小的黑洞無(wú)量綱的臨界時(shí)間Ttc總是相同的;4)當(dāng)k=1 ,D≥6時(shí),不同大小的黑洞無(wú)量綱的臨界時(shí)間Ttc不相同,黑洞越大(rh/?的值越大),無(wú)量綱的臨界時(shí)間Ttc越小,而且維度越高(D越大),無(wú)量綱的臨界時(shí)間Ttc差別越大5)大黑洞(rh/?=3,5)的復(fù)雜度演化圖,無(wú)論是位置還是演化的趨勢(shì)整體上都非常相似,而小黑洞(rh/?=1)的復(fù)雜度演化圖和大黑洞的差別較大.

不同點(diǎn)1)當(dāng)k=1 ,D=5時(shí),不同大小的一般中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞的無(wú)量綱的臨界時(shí)間Ttc不相同,但是不同大小的臨界中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞的無(wú)量綱的臨界時(shí)間Ttc都相同,而且和k=0,D=5的無(wú)量綱的臨界時(shí)間Ttc一樣,都取到了最小值;2)k=1 ,D≥6的不同大小的臨界中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞之間的無(wú)量綱臨界時(shí)間Ttc的差別明顯要小于一般中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞的情況.

分析后知道,當(dāng)k=0,1,D=5時(shí),不同大小的臨界的中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞的無(wú)量綱臨界時(shí)間Ttc的積分函數(shù)H(r) 會(huì)趨近于0,所以無(wú)量綱的臨界時(shí)間Ttc都為0,均取到了最小值,這是數(shù)學(xué)上的必然結(jié)果.猜測(cè)這種無(wú)量綱的臨界時(shí)間T tc的差異現(xiàn)象可能和Gauss-Bonnet-AdS黑洞的臨界性有關(guān).

研究發(fā)現(xiàn),臨界中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞復(fù)雜度演化和一般的情況確實(shí)有一些明顯的差別,這對(duì)中性Gauss-Bonnet-AdS黑洞臨界性的研究是有指導(dǎo)性意義的.但是現(xiàn)階段對(duì)于這種臨界的高階導(dǎo)數(shù)引力黑洞的復(fù)雜度演化的研究還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠,期待后續(xù)可以對(duì)更多臨界的高階導(dǎo)數(shù)引力黑洞的復(fù)雜度演化進(jìn)行研究,特別是三階的臨界Lovelock-AdS黑洞,這樣會(huì)知道更多高階導(dǎo)數(shù)引力黑洞的臨界性的細(xì)節(jié).

感謝廣州大學(xué)天體物理中心范仲英老師的討論.