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    改進(jìn)SSOR 迭代法的數(shù)值保角變換計(jì)算法

    2021-02-04 06:53:24呂毅斌王櫻子唐勝男
    軟件導(dǎo)刊 2021年1期
    關(guān)鍵詞:迭代法電荷數(shù)值

    萬 鵬,呂毅斌,王櫻子,唐勝男

    (1.昆明理工大學(xué) 理學(xué)院;2.昆明理工大學(xué) 計(jì)算中心,云南 昆明 650500)

    0 引言

    保角變換又稱共形映射,是復(fù)變函數(shù)的重要內(nèi)容,在很多領(lǐng)域扮演著重要角色,如流體力學(xué)、醫(yī)學(xué)圖像處理、電磁理論等[1-4]。然而,除了在少數(shù)特殊情況下可以解出保角變換的解析解外,大多數(shù)工程與科學(xué)問題中求解保角變換的解析非常復(fù)雜甚至無法求解,所以對(duì)數(shù)值保角變換研究成為科學(xué)工程領(lǐng)域必不可少的課題。目前比較著名的方法有Symm[5-6]提出的積分方程法,Dai[7-10]提出的基于模擬電荷法的數(shù)值保角變換計(jì)算法,Sangawi 等[11-12]提出的帶有廣義Neumann kernel 的邊界積分法等。

    共軛調(diào)和函數(shù)具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摶A(chǔ)而且容易計(jì)算。模擬電荷法是Steinberger 計(jì)算電場(chǎng)時(shí)提出的方法,Amano 利用模擬電荷法將數(shù)值保角變換的近似問題轉(zhuǎn)換為共軛調(diào)和函數(shù)的逼近問題。相較于Symm 提出的積分方程法和Nass?er 提出的帶有廣義Neumann kernel 的邊界積分法,基于模擬電荷法的數(shù)值保角變換計(jì)算法避免了很多數(shù)值積分微分等計(jì)算操作,可降低數(shù)值保角變換計(jì)算的復(fù)雜度和時(shí)間。

    模擬電荷點(diǎn)的位置及數(shù)量選取問題至今沒有統(tǒng)一方法,很多情況下數(shù)值保角變換的最終結(jié)果對(duì)模擬電荷點(diǎn)位置及數(shù)量選取極為敏感,對(duì)于簡(jiǎn)單的較為規(guī)則的邊界問題而言,如圓形或橢圓外部區(qū)域,Amano 提出的基于模擬電荷法的數(shù)值保角變換計(jì)算法具有較高精度,但是對(duì)于一些較為復(fù)雜的邊界如橙形、心形等,基于模擬電荷法的數(shù)值保角變換誤差會(huì)明顯上升,所以基于模擬電荷法的數(shù)值保角變換計(jì)算法精度還有很大的改善空間。

    本文對(duì)單連通橙形外部區(qū)域、單連通橢圓外部區(qū)域給出電荷點(diǎn)和約束點(diǎn)位置,使用基于(k,j)-Padé[13-14]迭代法改進(jìn)的SSOR 方法[15-16]求解電荷量,以降低模擬電荷點(diǎn)數(shù)量選取對(duì)最終結(jié)果的影響,最后利用求得的電荷量計(jì)算出數(shù)值保角變換函數(shù)。在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中針對(duì)不同電荷點(diǎn)數(shù)量進(jìn)行多組實(shí)驗(yàn),通過誤差比較證明改進(jìn)算法的精確性,并實(shí)現(xiàn)數(shù)字圖像的保角變換。

    1 相關(guān)知識(shí)

    將z-plane上Jordan 閉曲線C1,C2,…,Cn外側(cè)的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的非有界多連通區(qū)域D映射到ω-plane(含有豎直狹縫的平面)。如果z=0 在區(qū)域D內(nèi),在正則化條件f(∞)=∞,f'(∞)=1,a0=0 下,豎直角度的保角變換在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的Laurent 級(jí)數(shù)可唯一表示為如下形式:

    保角變換可將曲線C1,C2,…,Cn映射成豎直狹縫ω=fu(z),fu(z)可以表示為:

    其中g(shù)v和hv是一對(duì)共軛調(diào)和函數(shù)。

    (1)邊界條件。

    根據(jù)模擬電荷法,gu(z)+ihu(z)可逼近Gu(z)+iHu(z),它可以表示為:

    (3)約束條件。

    (4)正則化條件。

    可得:

    (5)柯西條件。復(fù)變函數(shù)(4)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù),D內(nèi)的任意閉曲線設(shè)為,設(shè)為只包圍Cl的封閉曲線:

    故有:

    可得:

    其中Nl為Cl內(nèi)電荷點(diǎn)數(shù)量,ζli(i=1,2,…,Nl)是分布在曲線Cl外部區(qū)域D中的電荷點(diǎn),zmj(j=1,2,…,Nm)為在邊界Cm上的約束點(diǎn),電荷量Qli由公式(10)和邊界條件(3)以及電荷點(diǎn)和約束點(diǎn)決定,Um是狹縫位置,為um的近似值。式(6)計(jì)算出的電荷量和狹縫位置用來逼近fu,即:

    其中ζl0為Cl內(nèi)的一點(diǎn)。

    將式(12)進(jìn)行變形得:

    根據(jù)式(6)、式(10)和式(13),聯(lián)立一次方程求電荷點(diǎn)以及狹縫位置U1,U2,…,Un:

    2 本文方法

    上述約束方程將其寫為標(biāo)準(zhǔn)線性方程:

    改進(jìn)的SSOR 迭代法[11-12]可以很好地改善其病態(tài)性。首先對(duì)式(1)兩邊分別乘以ωi AT:

    其中,AT A為對(duì)稱正定矩陣,ωi∈(0,2),i=1,2 為松弛因子。根據(jù)參考文獻(xiàn)[11]、[12]對(duì)ωi AT A進(jìn)行分裂,ωi AT A=Mi-Ni,i=1,2,于是有:

    其中M1=D-ω1L,N1=(1-ω1)D+ω1U,M2=D-ω2U,N2=(1-ω2)D+ω2L,D=diag(a1,1,a2,2,…,aN,N),L為負(fù)的嚴(yán)格下三角矩陣,U為負(fù)的嚴(yán)格上三角矩陣。

    對(duì)式(17)兩邊乘以μiK-1,得:其中,K 為預(yù)條件算子,一般取K 為D=diag(a1,1,a2,2,…,aN,N)或單位矩陣,i=1 時(shí),μi取,i=2 時(shí),μi取,x值更接近準(zhǔn)確值,λ1,λN+1分別為Mi-Ni的最大特征值、最小特征值。

    由式(18)構(gòu)造兩個(gè)半步迭代公式:

    根據(jù)式(18)定義矩陣多項(xiàng)式r(-μi(Mi-Ni))=E-μiK-1(Mi-Ni)=ri,t(-μi(Mi-Ni))=ti,q(-μi(Mi-Ni))=qi,h(-μi(Mi-Ni))=hi,得到迭代的矩陣多項(xiàng)式:

    改進(jìn)SSOR 方法收斂性如下:

    證明:根據(jù)參考文獻(xiàn)[3],對(duì)任意的n≥m,x<0,μi>0,ωi>0,rnm(x)<1,由于AT A是正定的,故ωi AT A=Mi-Ni也是正定的,故Mi-Ni的特征值都大于0,則-μi(Mi-Ni)的特征值都小于0,則有:

    故改進(jìn)的SSOR 迭代法基于(n,m)-Padé 迭代法收斂。

    基于上述方法給出基于(k,j) -Pade'迭代法的SSOR相關(guān)算法。

    算法流程如圖1 所示。

    Fig.1 Based on the(n,m)-Padé SSOR algorithm of iterative process圖1 基于(n,m)-Padé 迭代法的SSOR 算法流程

    通過以上改進(jìn)的SSOR 方法得到基于(n,m)-Padé 迭代法的數(shù)值保角變換步驟:①給出每條曲線C1,C2,…,Cn上電荷點(diǎn)的數(shù)量Nl(l=1,2…,n),以及電荷點(diǎn)的坐標(biāo)和約束點(diǎn)的坐標(biāo)(m=1,2,…,n);②根據(jù)公式(13)構(gòu)造約束方程組;③利用改進(jìn)的SSOR 法和迭代公式求解電荷量和狹縫位置;④由模擬電荷法求出保角變換的近似函數(shù);⑤利用改進(jìn)的數(shù)值保角變換計(jì)算法實(shí)現(xiàn)圖像保角變換。

    3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

    在Windows10 系統(tǒng)上用Matlab 2016b 對(duì)以橙形為邊界的單連通區(qū)域進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)并分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果,然后通過該方法實(shí)現(xiàn)圖像的數(shù)值保角變換。根據(jù)復(fù)變函數(shù)中的最大模原理[18-19]得到誤差和豎直狹縫位置的誤差計(jì)算公式。

    例1:當(dāng)l=1 時(shí)的橙形外部區(qū)域

    邊界:

    邊界參數(shù)方程:

    約束點(diǎn):

    電荷點(diǎn):

    其中:z0=zN,zN+1=z1

    圖2 構(gòu)造40×40 網(wǎng)格,圖3 是橙形外部區(qū)域。約束點(diǎn)分布在邊界上,電荷點(diǎn)在區(qū)域的內(nèi)部,其中i是虛數(shù)單位,0<q<1,是調(diào)整電荷點(diǎn)位置的參數(shù)。

    圖3 是圖2 用改進(jìn)后的算法進(jìn)行數(shù)值保角變換結(jié)果。從圖中可以看出變換前后的角度關(guān)系,顯示該算法的優(yōu)越性。圖中把橙形變成一條豎直的線,由圖2 和圖3 可以看到網(wǎng)格變換前后的變化。

    Fig.2 Problem areas(a)圖2 問題區(qū)域

    Fig.3 Fig.2 transformation results under the improved algorithm圖3 圖2 在改進(jìn)算法下的變換結(jié)果

    用式(20)作為誤差指標(biāo),圖4 和圖5 為分別用Amano法、LQ 分解法、雙共軛梯度法和本文方法求解電荷量,并計(jì)算出數(shù)值變換函數(shù),最后畫出變換函數(shù)的誤差曲線。從圖4 可以看出,隨著電荷數(shù)量的增加,本文方法的誤差一直在減小,而Amano 方法在數(shù)量較小的情況下誤差明顯增加,在超過一個(gè)特定范圍之后又明顯減小,但本文方法是一直在減小,而且和Amano 方法有很大差距。從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算可知,本文方法比原有方法精度平均提高0.101 9,最大提升率為11.2%,LQ 分解法和雙共軛梯度法雖然在一定程度上比Amano 方法好,但是整體效果還是比改進(jìn)算法要差一些。從圖5 可以看到豎直狹縫位置之間的誤差。Amano 方法的誤差剛開始很大,然后突然減小,說明Ama?no 方法不穩(wěn)定。雖然本文方法和Amano 方法從誤差曲線上看差距不是很大,但本文方法誤差剛開始時(shí)在減小,當(dāng)電荷數(shù)量達(dá)到某個(gè)臨界點(diǎn)時(shí)誤差曲線會(huì)趨于平衡狀態(tài),說明本文方法更加穩(wěn)定。從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算可知,本文方法比原有方法精度平均提高0.009 0,故通過圖3 與圖4 可以看出本文方法較Amano 方法更加穩(wěn)定,且本文方法可改善方程組的病態(tài)性,對(duì)于求解病態(tài)的對(duì)稱約束方程組有明顯優(yōu)勢(shì)。LQ 分解法和雙共軛梯度法相對(duì)本文算法而言不穩(wěn)定,精度也略有欠缺。

    Fig.4 Erel(a)圖4 Erel(a)

    Fig.5 Vertical slit position error(a)圖5 豎直狹縫位置誤差

    圖6 是原始圖像,圖7 是圖像變換結(jié)果。把橙形變成豎直狹縫得到圖7 的變換結(jié)果。

    Fig.6 Original image(a)圖6 原始圖像

    Fig.7 Transform result of Fig.6圖7 圖6 的變換結(jié)果

    例2:?jiǎn)温?lián)通橢圓外部區(qū)域

    電荷點(diǎn):

    約束點(diǎn):

    約束點(diǎn)分布在邊界C 上,電荷點(diǎn)分布在邊界C 內(nèi)部,其中i是虛數(shù),0 <q<1 是控制電荷點(diǎn)的位置分布。

    圖8 是單聯(lián)通橢圓外部區(qū)域,構(gòu)造了40 × 40 的網(wǎng)格,圖9 是圖8 變換的結(jié)果,由保角變換把橢圓變成一條豎直狹縫,網(wǎng)格也發(fā)生一系列畸變,反映保角變換前后的角度變化,這些角度變化很好地表現(xiàn)出該算法的優(yōu)勢(shì)。

    Fig.8 Problem areas(b)圖8 問題區(qū)域

    圖10 和圖11 表示在公式(20)下根據(jù)兩種誤差評(píng)判指標(biāo)畫出的誤差曲線圖,圖10 和圖11 畫出了本文方法和Amano 方法的誤差曲線。從圖10 可以明顯看出本文方法和Amano 方法的誤差曲線,隨著電荷數(shù)量的增加誤差都在減小,但本文方法和Amano 方法的誤差曲線還是存在區(qū)別。從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算得到本文方法比原有方法精度平均提高約0.026 4,最大提升率為5.4%,而LQ 分解法和雙共軛梯度法在簡(jiǎn)單邊界上的變換效果比原有Amano 方法要差一些。圖11 中雖然兩者曲線差距不太明顯,精度平均提升0.002 4,但是本文方法震動(dòng)弧度不是很大,比原有方法更為穩(wěn)定。而LQ 分解法和雙共軛梯度法不穩(wěn)定,誤差一直在上下波動(dòng),所以本文方法體現(xiàn)出穩(wěn)定性好的特點(diǎn)。因此,本文方法不僅穩(wěn)定性好而且精度高,優(yōu)勢(shì)更強(qiáng)。

    Fig.9 Fig.8 transformation results with the improved algorithm圖9 圖8 在改進(jìn)算法下的變換結(jié)果

    Fig.10 Erel(b)圖10 Erel(b)

    Fig.11 Vertical slit position error(b)圖11 豎直狹縫位置誤差

    圖13 是圖12 通過數(shù)值保角變換后的圖像,是一條豎直狹縫,在圖中可以看到高樓的彎曲效果,從中可以更好地看出它們之間的角度關(guān)系。

    Fig.12 Original image(b)圖12 原始圖像

    Fig.13 Transform result of Fig.12圖13 圖12 的變換結(jié)果

    4 結(jié)語

    本文提出基于改進(jìn)SSOR 法的數(shù)值保角變換計(jì)算法,解決了原有方法與一些傳統(tǒng)方法在求解電荷量上的缺陷導(dǎo)致的數(shù)值保角變換結(jié)果誤差大及不穩(wěn)定等問題。從數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知,本文方法在單連通外部區(qū)域例證中精度和穩(wěn)定性較高,能夠應(yīng)用于圖像領(lǐng)域。

    但改進(jìn)的SSOR 法在雙連通及多連通上的數(shù)值效果仍有待檢驗(yàn),本文方法的一些因子常數(shù)選取是否為最佳值也需要繼續(xù)研究和改善。

    圖像保角變換在醫(yī)學(xué)圖像處理中有著重要作用,未來可嘗試處理醫(yī)學(xué)圖像中的一些實(shí)際問題,如將圖像上狹小的縫隙在具有保角特性下放大觀察,將一些具有干擾性的位置變?yōu)榭珊鲆暤莫M縫。數(shù)值保角變換在流體力學(xué)中也有重要應(yīng)用,可以用變換函數(shù)繪制無壓縮流體在遇到障礙物時(shí)的曲線。

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