作戰(zhàn)模式及需求不確定條件下備件供應(yīng)優(yōu)化

王亞東，石 全，張 芳，王 強，夏 偉，3

（1.陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)裝備指揮與管理系，石家莊 050003；2.解放軍32178 部隊科技創(chuàng)新研究中心，北京 100012；3.陸軍步兵學(xué)院石家莊校區(qū)機械化步兵系，石家莊 050003）

0 引言

在現(xiàn)代戰(zhàn)爭中，戰(zhàn)場環(huán)境復(fù)雜多變、作戰(zhàn)模式靈活多樣，在不同作戰(zhàn)任務(wù)想定下裝備的使用和損耗規(guī)律各不相同，戰(zhàn)場搶修任務(wù)以及備件供應(yīng)方案也不相同。另一方面，戰(zhàn)時的備件損耗為退化和戰(zhàn)損共同作用下的競爭失效，且備件需求隨任務(wù)開展呈波動狀態(tài)。因此，如何應(yīng)對戰(zhàn)時備件供應(yīng)保障中的各種不確定因素，制定一套能夠應(yīng)對各種情況下的備件供應(yīng)方案具有重大的意義。

在戰(zhàn)時備件供應(yīng)優(yōu)化方面，任驥等人假設(shè)戰(zhàn)損件以及軍需備件服從已知概率分布，利用隨機優(yōu)化研究了備件需求和戰(zhàn)損件修復(fù)不確定性條件下的備件供應(yīng)優(yōu)化問題［1］；劉喜春研究了不確定需求下航材供應(yīng)問題，采用機會約束規(guī)劃，建立了不可修復(fù)備件的隨機規(guī)劃模型［2］；王睿等人通過求出供應(yīng)渠道備件數(shù)量期望和方差，根據(jù)VARI-METEIC 方法近似估計供應(yīng)渠道備件數(shù)量的概率分布，進(jìn)而計算得到備件期望短缺和短缺函數(shù)方差［3］?？梢钥闯?，目前很少有文獻(xiàn)同時從作戰(zhàn)任務(wù)類型和需求的不確定方面研究戰(zhàn)時備件保障優(yōu)化，且通常假設(shè)備件需求為服從已知概率分布的隨機變量，這與戰(zhàn)時特殊情況備件消耗規(guī)律不盡相符。在處理供應(yīng)鏈的不確定性時，常采用的方法有隨機優(yōu)化、模糊優(yōu)化和魯棒優(yōu)化。隨機優(yōu)化中，通常需要提前知道或者假設(shè)不確定參數(shù)的分布規(guī)律，這些假設(shè)通常與實際情況不盡相符。模糊優(yōu)化通常難以求解且很難保證最差情況下解的可行性。而魯棒優(yōu)化模型既不依賴不確定參數(shù)的分布，又可以保證最差情況下解的可行性。

本文旨在在戰(zhàn)斗開始之前為整個戰(zhàn)斗制定一套可靠的備件供應(yīng)方案。首先，可由指揮員在戰(zhàn)斗開始前擬定多種可能發(fā)生的作戰(zhàn)想定預(yù)案。并通過備件需求預(yù)測方法，確定各戰(zhàn)斗單位的備件需求范圍。與平時備件保障不同，戰(zhàn)時條件下一旦出現(xiàn)差錯將對作戰(zhàn)任務(wù)造成不可挽回的損失。因此，本文的模型應(yīng)當(dāng)保證所有可能發(fā)生的作戰(zhàn)想定以及在整個需求范圍內(nèi)“最差情況下”的備件供應(yīng)。

1 確定條件下的供應(yīng)優(yōu)化模型

1.1 問題描述

某次戰(zhàn)斗開始前，為保障裝備搶修任務(wù)，提前制定備件供應(yīng)保障預(yù)案。要求該供應(yīng)預(yù)案能夠在最短的時間內(nèi)以最大程度保障所有作戰(zhàn)想定下的裝備搶修任務(wù)。本文采用經(jīng)典的3 級供應(yīng)網(wǎng)絡(luò)：第1級為后方倉庫，根據(jù)全部作戰(zhàn)單位的需求向野戰(zhàn)倉庫提供備件。第2 級為野戰(zhàn)倉庫，通?？壳芭渲猛瓿蓚浼膬Υ嫒蝿?wù)，以及向作戰(zhàn)單位中轉(zhuǎn)所需備件。第3 級為作戰(zhàn)單位，根據(jù)裝備損傷情況和搶修任務(wù)產(chǎn)生備件需求。

首先，設(shè)置有限個可能發(fā)生的作戰(zhàn)想定集合s={1，2，…，S}。不同想定下，備件供應(yīng)考慮的要素存在較大差異。主要包括，作戰(zhàn)單位的備件需求數(shù)量、備件運輸?shù)难舆t時間、備件庫存以及運輸?shù)馁M用等。以上由作戰(zhàn)想定造成的不確定性在備件供應(yīng)優(yōu)化模型中體現(xiàn)為離散不確定參數(shù)。

另一方面，即便在同一想定下，備件的需求并非固定不變或服從某一特定分布。由于備件需求預(yù)測結(jié)果存在一定誤差，通常只能將備件的需求數(shù)量限定在某個區(qū)間之內(nèi)，其真實值在名義值附近一定范圍內(nèi)波動。備件需求的不確定性在供應(yīng)優(yōu)化模型中體現(xiàn)為連續(xù)不確定參數(shù)。

戰(zhàn)時備件供應(yīng)優(yōu)化模型建立在以下假設(shè)之上：1）已知所有可能發(fā)生的戰(zhàn)斗想定；2）以某一種關(guān)鍵備件的供應(yīng)為例。為保證搶修效率，采用換件維修方式，備件需求與換件數(shù)量一致；3）暫不考慮各級節(jié)點之間存在橫向轉(zhuǎn)運的情況；4）后方倉庫到野戰(zhàn)倉庫、野戰(zhàn)倉庫到作戰(zhàn)單位的備件供應(yīng)延遲時間已知；5）備件在各節(jié)點之間的運輸成本、備件在野戰(zhàn)倉庫中的庫存成本均為已知；6）后方倉庫的容量無限，且備件儲備充足。野戰(zhàn)倉庫最大容量已知，且為定值。各級節(jié)點之間運力充足；7）作戰(zhàn)單位的需求為不確定值，但其波動范圍已知；不同作戰(zhàn)單位重要程度不同，各自備件最低滿足率閾值已知。

1.2 參數(shù)描述

決策變量如下：xli為第l 個后方倉庫向第i 個野戰(zhàn)倉庫的備件供應(yīng)量，yij為第i 個野戰(zhàn)倉庫向第j個作戰(zhàn)單位的備件供應(yīng)量。

1.3 模型構(gòu)建

首先考慮確定條件下的基本模型，建立以下混合整數(shù)線性規(guī)劃模型：

鋼材的材質(zhì)接近均質(zhì)，并且力學(xué)性能與彈性塑性體接近，因此鋼結(jié)構(gòu)的受力情況與設(shè)計計算結(jié)構(gòu)基本吻合，設(shè)計計算結(jié)果的可靠性比較高。

2 不確定條件下的供應(yīng)優(yōu)化模型

這些不確定參數(shù)，原模型是無法直接求解的。因此，需要將原模型轉(zhuǎn)化為可求解的魯棒對等形式。

2.1 作戰(zhàn)想定不確定時的魯棒優(yōu)化模型

因此，目標(biāo)函數(shù)（1）的魯棒等價模型為：

2.2 需求不確定時的魯棒優(yōu)化模型

線性魯棒優(yōu)化中的不確定集合U 主要有以下幾種類型：盒形（box）、多面體形（polyhedral）、橢球形（ellipsoidal）等［6］。其不確定集分別如下：

為解決“max min”優(yōu)化問題，根據(jù)強對偶定理可通過求式（14）的對偶問題將其轉(zhuǎn)化為“min min”問題，有：

因此，模型式（13）最終的對應(yīng)線性區(qū)間魯棒優(yōu)化等價模型為：

根據(jù)以上推導(dǎo)，目標(biāo)函數(shù)式（11）的等價魯棒模型為：

約束（3）的等價魯棒模型為：

分別用式（18）和式（19）代替確定條件下模型中的目標(biāo)函數(shù)式（1）和約束式（3），即為不確定條件下備件供應(yīng)的魯棒優(yōu)化模型。

3 求解算法設(shè)計

差分進(jìn)化算法作為一種新型智能優(yōu)化算法，能夠很好地解決單目標(biāo)和多目標(biāo)優(yōu)化模型。本文選用差分進(jìn)化算法對模型求解。差分進(jìn)化包括4 個基本步驟：初始化、變異、交叉和選擇操作。

步驟1 初始化。隨機產(chǎn)生初始種群，種群規(guī)模為N，個體維度為D。第i 個個體上的元素xi1到xiD表示模型中決策變量的值。初始種群個體元素：

其中，randij為均勻分布［0，1］之間的隨機數(shù)，CR∈［0，1］為交叉率，即當(dāng)個體xi上第j 個元素xij對應(yīng)的隨機數(shù)小于交叉率時，該元素取變異個體對應(yīng)值，否則保留原個體上的值?？梢钥闯鯟R 的值越大則交叉的概率越大。

步驟5 當(dāng)滿足循環(huán)終止條件時，停止迭代。反之，返回步驟2。

4 算例分析

4.1 任務(wù)想定

某作戰(zhàn)任務(wù)下的三級備件供應(yīng)網(wǎng)絡(luò)由2 個后方倉庫、5 個野戰(zhàn)倉庫以及10 個作戰(zhàn)單位組成。戰(zhàn)斗展開前制定了5 種可能發(fā)生的戰(zhàn)斗任務(wù)想定，需根據(jù)不同任務(wù)特點制定一套可以滿足全部任務(wù)想定下的備件供應(yīng)保障方案。要求供應(yīng)方案能夠以最短的延遲時間完成供應(yīng)任務(wù)，并且保證滿足作戰(zhàn)單位備件滿足率不低于規(guī)定閾值、花費成本不超過最高成本閾值。表1～下頁表6 分別給出了供應(yīng)網(wǎng)絡(luò)及其節(jié)點的相關(guān)信息。

表1 不同想定下節(jié)點之間備件供應(yīng)延遲時間（h）

表2 不同想定下節(jié)點之間單位備件運輸成本（元/個）

表3 野戰(zhàn)倉庫庫存容量和單位庫存成本

表4 作戰(zhàn)單位備件需求量（個）

表5 作戰(zhàn)單位備件滿足率最低閾值

表6 各想定下備件供應(yīng)總成本最大閾值

4.2 結(jié)果分析

分別采用第3 節(jié)中4 種變異策略下的差分進(jìn)化算法對建立的魯棒優(yōu)化模型進(jìn)行求解，結(jié)果如圖1 所示。圖1 中橫軸表示迭代次數(shù)，縱軸表示魯棒優(yōu)化模型式（16）中適應(yīng)度函數(shù)的值?？梢园l(fā)現(xiàn)在第1 400 代時每個算法的優(yōu)化結(jié)果均已基本收斂。其中，DE/current-to-best/1 算法的收斂速度相對較快，且最終的適應(yīng)度值要小于其他算法。因此，進(jìn)一步使用DE/current-to-best/1 變異策略下的差分進(jìn)化算法（以下簡稱為DE/current-to-best/1 算法）對確定性和魯棒優(yōu)化模型進(jìn)行求解和分析。

圖1 各算法求解結(jié)果

4.2.1 想定不確定魯棒性分析

圖2 魯棒優(yōu)化模型與想定確定模型延遲時間比較

另一方面，將魯棒優(yōu)化模型的最優(yōu)解Vrobust帶入各想定下的優(yōu)化模型，計算總成本和備件滿足率兩個約束條件以檢驗魯棒優(yōu)化最優(yōu)解的可行性。同時將各想定下模型的最優(yōu)解Vs帶入其他想定下的優(yōu)化模型，計算是否滿足成本和滿足率兩個約束。結(jié)果見表7，表中√表示解向量完全滿足模型約束，為可行解；×表示違反任意約束，為不可行解。從表7可以看出，魯棒優(yōu)化模型的解為所有其他模型的可行解，即具有很好的魯棒性。而各想定下優(yōu)化模型的解并不能滿足其他所有確定性模型。與平時備件供應(yīng)不同，為確保戰(zhàn)斗百分之百順利進(jìn)行，戰(zhàn)前制定的備件供應(yīng)方案必須滿足所有可能發(fā)生的戰(zhàn)斗想定的要求。因此，魯棒優(yōu)化模型憑借其良好的魯棒性，更加適合戰(zhàn)斗想定不確定條件下備件供應(yīng)方案決策。

表7 魯棒優(yōu)化最優(yōu)解在各想定中的可行性分析

4.2.2 需求不確定魯棒性分析

本節(jié)主要驗證魯棒優(yōu)化模型在需求不確定情況下的魯棒性。由2.2 可知不確定預(yù)算參數(shù)Γ 主要用來調(diào)節(jié)模型的魯棒性和保守性。通過調(diào)節(jié)Γ 的值可以得到不同不確定程度下的魯棒優(yōu)化模型，從而分析需求不確定對備件供應(yīng)造成的影響。分別取Γ=0、Γ=10、Γ=20、Γ=30、Γ=40、Γ=50。其中，當(dāng)Γ=0時，備件需求均取名義值，為確定值，稱此時模型為名義值模型；當(dāng)Γ=50 時，備件需求的不確定程度最大，稱此時模型為最大值模型；其余情況介于兩者之間。圖3 給出了Γ 不同取值下的延遲時間。從圖中可以看出，需求的不確定性給模型造成了較大的影響。隨著需求不確定程度的增加，備件供應(yīng)的延遲時間也增大。這是由于魯棒優(yōu)化模型必須保證滿足所有需求取值范圍下解的可行性，從而造成模型結(jié)果較為保守。

圖3 各不確定程度下魯棒優(yōu)化模型延遲時間比較

為分析魯棒優(yōu)化模型解的可行性，分別比較魯棒優(yōu)化模型、名義值模型和最大值模型的約束條件。將各模型的最優(yōu)解帶入其他模型中，檢驗解的可行性。結(jié)果如表8 所示。從表中可以看出，需求不確定條件下的魯棒優(yōu)化模型的最優(yōu)解在其他模型中均為可行解，即能夠滿足其他需求下的備件供應(yīng)模型，具有很好的魯棒性。

表8 魯棒優(yōu)化最優(yōu)解在各不確定模型中的可行性分析

5 結(jié)論

本文考慮戰(zhàn)時備件供應(yīng)的高度不確定性，同時從作戰(zhàn)任務(wù)想定不確定以及備件需求不確定兩個方面進(jìn)行了魯棒優(yōu)化建模。以延遲時間最小為優(yōu)化目標(biāo)，以備件滿足率和保障成本為約束，構(gòu)建了戰(zhàn)時備件供應(yīng)的魯棒優(yōu)化模型。采用元啟發(fā)式智能算法對模型進(jìn)行求解，獲得了使得魯棒優(yōu)化模型中延遲時間最短的最優(yōu)解。通過進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，魯棒優(yōu)化模型的最優(yōu)解作為任務(wù)想定以及備件需求確定條件下模型的可行解。表明魯棒優(yōu)化模型在處理戰(zhàn)時備件供應(yīng)的不確定條件時具有良好的魯棒性。本文建立的魯棒優(yōu)化模型，以及求解思路對戰(zhàn)時不確定條件下的備件供應(yīng)優(yōu)化提供了一定的決策依據(jù)和支持。