面向索網(wǎng)結(jié)構(gòu)關鍵剛度監(jiān)測的目標模態(tài)測試策略

王新濤，鄧 華

(1. 浙江大學 空間結(jié)構(gòu)研究中心，杭州 310058； 2. 浙江省空間結(jié)構(gòu)重點實驗室，杭州 310058)

索網(wǎng)結(jié)構(gòu)是一種典型的柔性預張力結(jié)構(gòu)，自1953年在美國Raleigh體育館首次使用至今，一直都是大跨度公共建筑的常用屋蓋結(jié)構(gòu)形式[1-2]。與常規(guī)結(jié)構(gòu)不同，索網(wǎng)結(jié)構(gòu)必須依靠預張力提供剛度并維持結(jié)構(gòu)形態(tài)穩(wěn)定[3]。由于擔心預張力偏差導致結(jié)構(gòu)剛度變化過大，對既有索網(wǎng)結(jié)構(gòu)實施監(jiān)測越來越受到重視。直接測量索力是目前常用的監(jiān)測方法，但索力傳感器存在價格高、標定復雜、難以拆卸更換等缺點[4]。此外，索力測點數(shù)量一般較少，因此利用有限的索力測試數(shù)據(jù)也較難準確評價結(jié)構(gòu)的整體剛度性能。相比之下，通過動力模態(tài)測試直接監(jiān)測索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的剛度變化具有明顯的優(yōu)勢，譬如加速度傳感器可重復使用和更換，測點布置靈活等[5]。傳感器布置、激勵方式以及模態(tài)識別是大型結(jié)構(gòu)動力模態(tài)測試的三個主要方面，相關理論與技術的發(fā)展也較成熟[6]。有效獨立(Eff ective Independence, EI)法[7]、模態(tài)動能(Modal Kinetic Energy, MKE)法[8]等常用方法可有效解決傳感器優(yōu)化布置的問題。時域法是大型結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別的主要方法，其中隨機減量技術，ITD(Ibrahim Time Domain)法，特征系統(tǒng)實現(xiàn)算法(Eigensystem Realization Algorithm, ERA)、隨機子空間識別(Stochastic Subspace Identification,SSI)法等[9-10]已在工程中得到廣泛應用。為了提高模態(tài)識別的精度，通過優(yōu)化激勵來增強待測模態(tài)的振動能量也是常用的思路[11-12]。

近年來，關于采用動力模態(tài)測試方法對索網(wǎng)、索穹頂?shù)热嵝灶A張力結(jié)構(gòu)進行剛度監(jiān)測已存在一些研究工作[13]。文獻[14]指出，柔性預張力結(jié)構(gòu)的變形驗算一般僅由少數(shù)控制性荷載工況(以下稱之為“主控荷載”)決定，因此結(jié)構(gòu)監(jiān)測應重點關注對主控荷載產(chǎn)生的變形起主要抵抗作用的剛度分量，即所謂的“關鍵剛度”。研究還發(fā)現(xiàn)，關鍵剛度的變化實際上僅借助少數(shù)幾階模態(tài)的參數(shù)變化就能反映，而這些模態(tài)就是監(jiān)測的目標模態(tài)。在具體實施監(jiān)測時，首先會基于索網(wǎng)結(jié)構(gòu)數(shù)值模型(以下簡稱“理想結(jié)構(gòu)”)的模態(tài)分析結(jié)果確定目標模態(tài)。然而，索網(wǎng)結(jié)構(gòu)像其它大跨度結(jié)構(gòu)一樣具有模態(tài)頻率分布密集的動力特性[15]，這使得結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)對結(jié)構(gòu)剛度和質(zhì)量的變化非常敏感。其主要體現(xiàn)在兩個方面：①鄰近模態(tài)的頻率大小順序發(fā)生變化而引起的模態(tài)躍遷；②同一個密頻區(qū)內(nèi)的模態(tài)振型成分會相互轉(zhuǎn)換，即模態(tài)局部化現(xiàn)象[16-17]。由此可見，對于預張力偏差引起剛度變化后的索網(wǎng)結(jié)構(gòu)(以下簡稱“實際結(jié)構(gòu)”)，基于理想結(jié)構(gòu)所確定的目標模態(tài)可能無法準確反映結(jié)構(gòu)關鍵剛度的變化，因此需要進行修正。

引起索網(wǎng)結(jié)構(gòu)預張力偏差的因素很多且不確定，測試前無法準確獲知結(jié)構(gòu)剛度及目標模態(tài)的變化。文獻[18]的研究發(fā)現(xiàn)，目標模態(tài)的躍遷和局部化通常僅發(fā)生在其所處的密頻模態(tài)區(qū)域內(nèi)?？紤]到預張力偏差的隨機性，因此位于該密頻區(qū)內(nèi)的其他模態(tài)都有可能轉(zhuǎn)變?yōu)榕c實際結(jié)構(gòu)關鍵剛度相對應的目標模態(tài)，故也應該納入到目標模態(tài)集合中。Wu等的研究中還提出了一種較為精確的目標模態(tài)擴展方法。然而新的問題是，經(jīng)過擴展后的目標模態(tài)集合中往往包含了多個密頻模態(tài)集合，而采用常規(guī)的模態(tài)測試方法往往難以將這些集合內(nèi)的所有模態(tài)識別，故依然不能對結(jié)構(gòu)的關鍵剛度進行準確評價。

本文將討論一種適用于索網(wǎng)結(jié)構(gòu)關鍵剛度監(jiān)測的目標模態(tài)測試策略，重點解決密頻模態(tài)區(qū)域內(nèi)目標模態(tài)的有效識別問題。首先介紹索網(wǎng)結(jié)構(gòu)關鍵剛度的概念以及一種目標模態(tài)擴展的簡單方法。然后利用矩陣攝動理論，分析結(jié)構(gòu)剛度變化后實際結(jié)構(gòu)的目標模態(tài)振型與理想結(jié)構(gòu)模態(tài)振型之間的關系。針對密頻區(qū)內(nèi)理想結(jié)構(gòu)的每一階目標模態(tài)，討論如何通過優(yōu)化階躍激勵荷載充分提高該模態(tài)的振動能量占比同時抑制該密頻區(qū)內(nèi)其它模態(tài)的振動。進一步將證明只要將這些優(yōu)化后的階躍激勵荷載逐一施加到實際結(jié)構(gòu)上，則該密頻區(qū)內(nèi)所有目標模態(tài)的振動都能被充分激發(fā)，從而保證其識別精度。最后利用識別到的目標模態(tài)參數(shù)估計實際結(jié)構(gòu)在主控荷載下的靜力位移，以實現(xiàn)對結(jié)構(gòu)關鍵剛度變化的評價。文中還將對一馬鞍形索網(wǎng)結(jié)構(gòu)算例進行引入預張力偏差后的目標模態(tài)識別以及關鍵剛度評價，以考察本文方法的有效性。

1 關鍵剛度和目標模態(tài)

對于一個自由度為N、單元數(shù)為b的理想結(jié)構(gòu)，如果不考慮阻尼，則某個擬監(jiān)測狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的模態(tài)特征方程可以表示為[19]

KTφi=λiMφi(i=1,2,…,N)

(1)

(2)

令p為結(jié)構(gòu)設計時控制索網(wǎng)變形驗算的節(jié)點靜力荷載向量，即主控荷載。如果p作用下結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的位移為d，考慮到索網(wǎng)的預應力水平通常較高，可認為兩者近似滿足以下線性關系

KTd=p

(3)

此時，p所做的功為

(4)

如果在該索網(wǎng)上作用隨時間t變化的荷載，則結(jié)構(gòu)受迫振動的模態(tài)動力方程可以表示為

(5)

(6)

將式(6)代入式(4)，可得

(7)

(8)

(9)

可見，如果將Ep中的模態(tài)作為目標模態(tài)進行動力測試，可實現(xiàn)對關鍵剛度Kp的監(jiān)測。此外，對于那些未包含在Ep中的模態(tài)i，由式(8)可知其對應的βi和vi較小且可以忽略不計，于是式(6)可近似表示為

(10)

也就是說，如果能夠測得Ep中所有模態(tài)的振型和特征值，則可以利用式(10)估計p作用下的結(jié)構(gòu)位移。

2 實際結(jié)構(gòu)的目標模態(tài)

依據(jù)理想結(jié)構(gòu)模型建成后的實際結(jié)構(gòu)通常會存在預張力偏差，則KT會因幾何剛度矩陣的變化而發(fā)生變化

(11)

式中：ΔKg為結(jié)構(gòu)幾何剛度矩陣的變化量；Δtk為單元k的預張力偏差；lk為單元k的長度；gk為單元k幾何剛度的方向矩陣(N×3)，具體形式見文獻[21]。

參照式(1)，剛度變化后的實際結(jié)構(gòu)模態(tài)特征方程為

(KT+ΔKg)φ′i=λ′iMφ′i(i=1,2,…,N)

(12)

式中，λ′i和φ′i分別為實際結(jié)構(gòu)模態(tài)i的特征值和振型向量。根據(jù)矩陣攝動理論[22]，對λi和φi進行一階攝動后可得

(13)

(14)

容易看出，δj的大小反映模態(tài)j與目標模態(tài)i的特征值密集程度。設定閾值δu，當δj<δu時，則認為模態(tài)j與目標模態(tài)i位于同一密集模態(tài)區(qū)域內(nèi)。實際工程應用中，δu的大小可利用理想結(jié)構(gòu)的模態(tài)特征值分布曲線來確定，一般在0.05～0.15。

設Em={j+1,j+2, …,j+m} (m>1)為Ep中存在的一個密頻模態(tài)集合，對應的理想結(jié)構(gòu)振型矩陣為Φm。前面提到，模態(tài)局部化僅在密頻模態(tài)間發(fā)生，因此目標模態(tài)集合擴展后Em中已經(jīng)覆蓋了對φ′i起主要貢獻的模態(tài)。于是，忽略Em之外模態(tài)的貢獻，式(13)的第二式可近似表示為

(15)

式中，ci={ci(j+1),ci(j+2),…,ci(j+m)}T為貢獻系數(shù)向量(m×1)。對于Ep中的孤立模態(tài)i，其振型向量在剛度變化前后基本不變，易知cii=1，cis=0 (i≠s)，即ci={1}?？梢?，孤立目標模態(tài)可看作為密集模態(tài)集合Em當m=1時的特例，式(15)同樣適用。

(16)

式中，Φm為振型矩陣Φm中測點自由度對應的行向量所構(gòu)成的子矩陣(g×m)。

(17)

利用式(9)，可進一步重構(gòu)實際結(jié)構(gòu)的關鍵剛度矩陣

(18)

(19)

3 目標模態(tài)的測試策略

3.1 優(yōu)化階躍激勵

對于實際結(jié)構(gòu)，那些已發(fā)生躍遷或局部化的目標模態(tài)通常仍處在密頻區(qū)中。由于受外界激勵干擾、信號噪聲和模態(tài)能量比例較低等因素的影響，利用常規(guī)的動力測試方法難以準確識別出這些密頻區(qū)的目標模態(tài)[23]。伍曉順等通過優(yōu)化階躍激勵荷載的位置和大小來增強密頻區(qū)模態(tài)參數(shù)的識別效果。其基本思想是同時釋放懸掛在結(jié)構(gòu)下方的荷載，以此輸入較大能量使大跨屋蓋結(jié)構(gòu)產(chǎn)生自由振動。而優(yōu)化后的階躍激勵荷載可針對性地增大目標模態(tài)的振動能量比例，從而提高其識別精度。

(20)

式中，Ws為結(jié)構(gòu)自由振動響應中模態(tài)s的能量。定義模態(tài)s的能量比例系數(shù)為

(21)

令模態(tài)s為密頻模態(tài)集合Em中的第k個模態(tài)，即s=j+k且1≤k≤m。于是，Em中各階模態(tài)相對于模態(tài)s的能量比例系數(shù)可表示為

(22)

為了抑制Em中除模態(tài)s以外其它模態(tài)的振動，定義目標向量ψ0={0j+1,…,0j+k-1,1,0j+k+1,…,0j+m}T。進一步給定階躍激勵荷載的最大吊點數(shù)量，于是利用伍曉順等提出的方法對ps進行優(yōu)化，使得ψs=ψ0。也就是說，在經(jīng)優(yōu)化后的ps激勵后，理想結(jié)構(gòu)自由振動響應中各階模態(tài)的能量比例系數(shù)滿足

γn=0 (n∈Em;n≠s)

(23)

相對應地，將ps作用實際結(jié)構(gòu)上所產(chǎn)生的位移為d′s。對于實際結(jié)構(gòu)該密頻區(qū)的某階目標模態(tài)i(i∈Em)，式(15)已經(jīng)表明φ′i可表示為理想結(jié)構(gòu)Em中各階模態(tài)振型的線性組合。參照式(21)并考慮式(23)，同樣可求得ps引起的自由振動響應中該模態(tài)的能量比例系數(shù)為

(24)

于是，在激勵荷載ps作用下，考慮到實際結(jié)構(gòu)Em中各階模態(tài)的特征值非常接近，其能量比例系數(shù)可表示為

(25)

(26)

這說明ci中的貢獻系數(shù)不會全是小量，即總是能夠從Em中找到至少一階的模態(tài)s，使得基于理想結(jié)構(gòu)優(yōu)化后的階躍激勵荷載ps能夠有效激發(fā)實際結(jié)構(gòu)目標模態(tài)i的振動。但實際測試中ci為未知量，因此有必要針對理想結(jié)構(gòu)Em中的所有模態(tài)分別進行動力模態(tài)測試。對于孤立的目標模態(tài)，以上階躍激勵優(yōu)化法也同樣適用。

總之，對于存在預張力偏差的實際索網(wǎng)結(jié)構(gòu)，可對擴展后的所有目標模態(tài)逐一進行階躍激勵優(yōu)化。然后分別將各組優(yōu)化得到的階躍激勵荷載采用電磁鐵吸附的方式懸掛在結(jié)構(gòu)下方，再同時切斷所有電磁鐵的電源以釋放這些荷載，則所有目標模態(tài)的振動分量都能被充分激發(fā)，從而確保模態(tài)識別的精度。

3.2 優(yōu)化測點布置

根據(jù)EI法，結(jié)構(gòu)各自由度對Φm中模態(tài)線性無關性的貢獻系數(shù)向量為

(27)

式中：EI={e1,e2,…,eN}T，且0≤ei≤1(i=1,2,…,N)；diag{·}為取該矩陣的對角元素并組成列向量。如果ei≈0，表示結(jié)構(gòu)第i個自由度對Φm中模態(tài)線性無關性的貢獻較小，該自由度可以剔除；如果ei≈1，則表示第i個自由度對Φm中模態(tài)線性無關性的貢獻較大，該自由度應該被保留。通過迭代運算不斷刪除貢獻最小的自由度，直至得到g個優(yōu)選的測點自由度。

4 數(shù)值算例

4.1 馬鞍形索網(wǎng)及其目標模態(tài)

圖1為一個正方形平面的馬鞍形索網(wǎng)結(jié)構(gòu)模型。索網(wǎng)共145個節(jié)點，其中32個周邊節(jié)點等距離固定于外圍剛性邊界。各節(jié)點編號見圖2。模型平面投影的兩條對角線長度均為32 m，高度相差1.024 m。所有索單元截面面積均為2.148×10-5m2，材料密度為7 850 kg/m3，彈性模量為1.60×1011N/m2。結(jié)構(gòu)分析時，索單元均按兩端鉸接的桿單元考慮。對所有單元賦予4 000 N/m的力密度，采用力密度法在僅考慮自重的條件下對結(jié)構(gòu)進行找形[24]，其中重力加速度取9.8 m/s2。將找形后得到的索網(wǎng)結(jié)構(gòu)作為理想結(jié)構(gòu)，并建立結(jié)構(gòu)切線剛度矩陣KT和質(zhì)量矩陣M(僅考慮單元質(zhì)量)。假定結(jié)構(gòu)為瑞利阻尼，令阻尼矩陣C=αKT+βM，其中α=0.45，β=2.21×10-4。對理想結(jié)構(gòu)進行模態(tài)分析，求得結(jié)構(gòu)的所有模態(tài)特征值和振型向量。

設控制結(jié)構(gòu)變形驗算的主控荷載為非對稱的豎向分布荷載，如圖3所示。將分布荷載等效為節(jié)點荷載向量p，并求解其對理想結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的位移向量d。采用式(8)求得各階模態(tài)的貢獻度指標βi(i=1,2,…,399)。考慮到高階模態(tài)的βi值接近于零，圖4僅給出前10階模態(tài)的βi值，同時將這些模態(tài)的自然頻率也顯示于圖4中。設βu=0.95，僅選取βi較大的模態(tài)1、模態(tài)3、模態(tài)6即可滿足β1+β3+β6=0.97>βu，故目標模態(tài)集合Ep={1,3,6}。定義模態(tài)特征值密集度閾值δu=0.10，利用式(14)分別對以上三階目標模態(tài)進行分析。計算結(jié)果表明，模態(tài)1為孤立模態(tài)，記為Em1={1}。模態(tài)3、模態(tài)6則分別位于密集模態(tài)集合Em2={2,3}和Em3={4,5,6}中。從圖4所示，可以發(fā)現(xiàn)該結(jié)果與理想結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率分布特征相吻合。因此，經(jīng)過擴展后的目標模態(tài)集合為Ep=[{1},{2,3},{4,5,6}]。

圖1 索網(wǎng)結(jié)構(gòu)找形后的平衡構(gòu)型Fig.1 Equilibrium configuration of the cable net structure after form finding

圖2 索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的節(jié)點編號Fig.2 Node numberings of the cable net structure

圖3 主控荷載的分布Fig.3 Distribution of the dominant load

4.2 實際結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性

選擇一組隨機生成的預張力偏差引入理想結(jié)構(gòu)模型中，將靜力平衡后的結(jié)構(gòu)記為實際結(jié)構(gòu)，如圖5所示。同樣對實際結(jié)構(gòu)進行模態(tài)分析，求解得到所有的模態(tài)特征值和振型。

圖4 前10階模態(tài)的和βi值Fig.4 and βi of the first 10 modes

圖5 引入理想結(jié)構(gòu)的預張力偏差Fig.5 Pretension deviations introduced into the idealized structure

圖6 貢獻系數(shù)cis的分布(i,s=1,2,…,10)Fig.6 Distribution of the contribution coefficient cis(i,s=1,2,…,10)

4.3 目標模態(tài)參數(shù)識別

4.3.1 階躍激勵荷載優(yōu)化

應該指出，監(jiān)測時實際結(jié)構(gòu)的預張力偏差及其引起的關鍵剛度變化是未知的，需要借助動力測試識別到的目標模態(tài)來評估。分別針對Ep中理想結(jié)構(gòu)的各階模態(tài)，根據(jù)3.1節(jié)的思路并采用伍曉順等的方法進行階躍激勵荷載的優(yōu)化。設懸掛的荷載個數(shù)為6，優(yōu)化后的加載節(jié)點和荷載大小如表1所示。將優(yōu)化后的階躍激勵荷載ps(s∈Ep)逐一施加到理想結(jié)構(gòu)，然后采用式(21)計算Em內(nèi)各階模態(tài)的能量比例系數(shù)γi(i∈Em)，結(jié)果如表2所示。從表2可知，所求得的ps完全抑制了除模態(tài)s之外Em內(nèi)其余模態(tài)的振動。

表1 針對各階目標模態(tài)優(yōu)化后的階躍激勵荷載位置和大小

再將優(yōu)化后的ps(s∈Ep)逐一作用于實際結(jié)構(gòu)上，根據(jù)式(24)計算得到前6階模態(tài)的能量比例系數(shù)，如圖7所示。將圖7結(jié)合圖6的貢獻系數(shù)云圖，可以發(fā)現(xiàn)ps確實能夠有效激發(fā)出cis較大的模態(tài)，這與式(25)的物理意義相吻合。

4.3.2 測點優(yōu)化布置

設加速度測點數(shù)量g=20。采用EI有效獨立法分別對針對Em1，Em2和Em3中的目標模態(tài)集合優(yōu)選測點自由度，結(jié)果如圖8所示。所有測點自由度均沿z向。

4.3.3 識別結(jié)果

對實際結(jié)構(gòu)逐一施加優(yōu)化后的階躍激勵，然后利用Newmark-β法[25]計算結(jié)構(gòu)的自由振動響應，并獲取優(yōu)化后測點的加速度響應時程。采樣頻率取800 Hz，采樣時間為5 s。為模擬測試中存在的信號噪聲，對所有測點加速度響應時程均引入信噪比為10的高斯白噪聲。利用以上測點加速度時程，采用經(jīng)典的特征系統(tǒng)實現(xiàn)算法(ERA)對目標模態(tài)的頻率和振型進行識別。

表2 優(yōu)化后的階躍激勵荷載作用下理想結(jié)構(gòu)目標模態(tài)的能量比例系數(shù)

圖7 ps(s∈Ep)引起實際結(jié)構(gòu)自由振動中前6階模態(tài)的能量占比Fig.7 Energy proportion coefficients of the first 6 modes in the free vibration response of the existing structure excited by ps(s∈Ep)

圖8 優(yōu)化后的測點位置及其節(jié)點編號Fig.8 The optimized sensor locations and their node numberings

4.4 關鍵剛度評價

根據(jù)識別到的實際結(jié)構(gòu)目標模態(tài)非完備振型向量，采用式(16)對ci(i∈Ep)進行最小二乘估計，計算結(jié)果如表4所示。

表3 目標模態(tài)特征值的模態(tài)分析結(jié)果和識別結(jié)果

圖9 目標模態(tài)非完備振型的模態(tài)分析結(jié)果和識別結(jié)果Fig.9 Incomplete mode shapes of the target modes obtained by modal analysis and identification, respectively

表4 ci(i∈Ep)的最小二乘估計值

(28)

5 結(jié) 論

(1) 索網(wǎng)結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率分布的密集性使得基于理想結(jié)構(gòu)確定的目標模態(tài)會因剛度變化而出現(xiàn)模態(tài)躍遷和局部化現(xiàn)象，因此并不能直接用于實際結(jié)構(gòu)關鍵剛度的監(jiān)測。本文算例分析已經(jīng)驗證，目標模態(tài)的躍遷和局部化只發(fā)生在其所處的密頻模態(tài)區(qū)域內(nèi)，因此將同一密頻區(qū)的其它模態(tài)也納入目標模態(tài)集合是保證實際結(jié)構(gòu)關鍵剛度監(jiān)測精度的首要措施。

圖10 1-1剖面處節(jié)點的z向位移Fig.10 z-direction displacements of the nodes in section 1-1

(2) 對于密頻區(qū)目標模態(tài)識別的難題，采用優(yōu)化階躍激勵荷載的思想保證目標模態(tài)的振動能量并同時抑制同一密頻區(qū)其它模態(tài)的振動，這為提高目標模態(tài)的識別精度奠定了基礎。更重要的是，針對密頻區(qū)所有理想結(jié)構(gòu)模態(tài)所優(yōu)化的階躍激勵荷載如果逐一施加到實際結(jié)構(gòu)上，還可確保該密頻區(qū)實際結(jié)構(gòu)各階模態(tài)的振動均被有效激發(fā)，從而解決了該密頻區(qū)內(nèi)所有目標模態(tài)的有效識別問題。本文的理論推導和算例分析結(jié)果均驗證了該策略的有效性。

(3) 算例分析結(jié)果還表明，采用以上策略識別到的目標模態(tài)參數(shù)可以準確計算實際結(jié)構(gòu)在主控荷載下的靜力位移。通過與理想結(jié)構(gòu)的靜力位移對比，便可實現(xiàn)對實際結(jié)構(gòu)關鍵剛度變化的評價。