數(shù)學(xué)原理的認識及其課堂教學(xué)設(shè)計

彌 琦 徐章韜

(華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院 430079)

在數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)公理、定理、原理常常因為一字之差容易被混淆，而實質(zhì)上它們各不相同，各有側(cè)重點.數(shù)學(xué)公理是作為推理前提不需要加以證明的命題，是給定的；數(shù)學(xué)定理是建立在公理和假設(shè)的前提下經(jīng)過嚴格證明得到的命題，是推導(dǎo)而來的；數(shù)學(xué)原理是具有普遍意義的基本規(guī)律或基本方法，是基于大量事實抽象概括出來的正確的數(shù)學(xué)命題[1].原理和定理的地位是相對的，如，在立體幾何的框架內(nèi)，祖暅原理是通過經(jīng)驗觀察、思辨得到的不需證明的基礎(chǔ)性命題，其地位類同于公理，但在微積分的框架內(nèi)，其降格成了一個定理.

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)原理并不多見，僅涉及計數(shù)原理、祖暅原理、排序原理、抽屜原理等.但其重要性并沒有因此而有所削弱，數(shù)學(xué)原理是中學(xué)數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的核心[2]，一方面數(shù)學(xué)原理是數(shù)學(xué)概念及其關(guān)系認識的深化，另一方面它是聯(lián)系概念和問題解決的橋梁[3].但是在實際教學(xué)中，原理的教學(xué)并沒有受到教師的重視，教師時常在進行數(shù)學(xué)原理教學(xué)時對原理相關(guān)概念、原理歸納過程略微帶過而不作重點展示和介紹，反而將側(cè)重點放在原理的應(yīng)用上，在學(xué)生還沒有真正理解原理的時候就讓學(xué)生去應(yīng)用原理解決問題，導(dǎo)致學(xué)生只是一味模仿給出的原理，并沒有理解原理的含義，不利于學(xué)生對原理的掌握或者說學(xué)生可能從未掌握原理的內(nèi)涵.這些教學(xué)中對于原理自身的忽略，一方面是因為有些教師自己并沒有意識到原理的獨特性，將原理完全當成一個公式進行教學(xué)，因此不會去強調(diào)原理的生成過程，只重視原理在做題中的套用；另一方面是因為有些教師不知道該怎樣去展示、用多少內(nèi)容展示數(shù)學(xué)原理的生成過程，擔心在有限的課堂時間里厚此薄彼，將過多時間放在原理生成過程而導(dǎo)致應(yīng)用的不足，所以權(quán)衡之下將重點向應(yīng)用傾斜.

所以如何進行數(shù)學(xué)原理的教學(xué)一直是探討研究的重點之一.下面從對數(shù)學(xué)原理的認識和原理課的教學(xué)設(shè)計兩方面對數(shù)學(xué)原理的教學(xué)進行探討.

1 對數(shù)學(xué)原理的認識

從知識論、教學(xué)研究(教學(xué)特征與原則)、教育心理學(xué)等不同的角度分析認識數(shù)學(xué)原理課，有利于更好地進行教學(xué)設(shè)計.

從知識論的角度看，知識有形式、內(nèi)容和旨趣三個維度[4].原理課，作為課型的一種，顧名思義是在概念相關(guān)知識理解的基礎(chǔ)上，以數(shù)學(xué)原理學(xué)習和運用方法訓(xùn)練為主的一種課型.從形式上看，數(shù)學(xué)原理表現(xiàn)形式包括文字語言、符號語言和圖形語言等，例如排序原理，用文字語言表述就是反序和≤亂序和≤順序和，符號語言則是a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1c1+a2c2+…+ancn≤a1b1+a2b2+…+anbn(其中,a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn，c1,c2,…，cn是b1,b2,…，bn的自由排列).雖然兩者的表達形式不一樣，但表達的是同一個意思，不同的形式只是為了在不同情況下的理解和記憶，實質(zhì)并沒有任何不同.從內(nèi)容上看，數(shù)學(xué)原理所包含的內(nèi)容一定是正確的數(shù)學(xué)命題，雖然沒有經(jīng)過嚴格的邏輯證明，但也確實是基于大量事實抽象概括出來的，具有科學(xué)性.旨趣可理解為價值所在，數(shù)學(xué)原理的旨趣在于其所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，這些思想方法的理解和滲透不僅使數(shù)學(xué)原理的價值得到升華，更是在日常應(yīng)用中起著莫大的作用.比如加法原理背后所蘊含的“分類”思想，就是將一件任務(wù)分成幾類，逐步分析每一類以避免重復(fù)和遺漏，這在日常生活中是很常見的.數(shù)學(xué)原理的內(nèi)容決定數(shù)學(xué)原理的形式，并借助于一定的形式得以表現(xiàn)，數(shù)學(xué)原理的形式又對數(shù)學(xué)原理的內(nèi)容的產(chǎn)生、檢驗和表達具有重要影響，同時數(shù)學(xué)原理的旨趣蘊藏于數(shù)學(xué)原理的內(nèi)容與形式之中，推動內(nèi)容的豐富與形式的完善[4].

由于數(shù)學(xué)原理是正確的數(shù)學(xué)命題，而數(shù)學(xué)定理亦是經(jīng)過嚴格證明得到的命題，所以在某些方面，原理課具有與定理課相同的教學(xué)特征.在引入時要具有生動性，也就是說數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)定理因其抽象和嚴謹，在引入時須得教師將呆板的知識生動化，創(chuàng)設(shè)形象的情境，幫助學(xué)生更好地豐富感性認識；在論證的過程中具有嚴謹性，學(xué)生通過自己總結(jié)得出后，教師在此基礎(chǔ)上修改、補充、歸納形成最終的表述，不可含糊其辭；在鞏固過程中具有層次性，任何數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)定理一定是在學(xué)生既有的知識結(jié)構(gòu)上形成的，所以教師在對數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)定理進行鞏固的同時可推出層次性題組幫助學(xué)生同化或順應(yīng)知識[5].

在教學(xué)的基本原則[6]上，數(shù)學(xué)原理課與數(shù)學(xué)定理課也有異曲同工之妙.(1)科學(xué)性原則，數(shù)學(xué)原理通常用文字、符號、圖形等多種語言表示，從多個角度描述同一個原理內(nèi)涵，而不論是用何種形式都必須是清楚的、確定的，不能有歧義，這是最基本的原則.(2)具體到抽象的過程性原則，學(xué)生對數(shù)學(xué)原理的感知到應(yīng)用是一個從具體到抽象、從感性認識到理性認識的過程.(3)循序漸進原則，由于學(xué)生對于數(shù)學(xué)原理的學(xué)習一定是建立在已有的知識結(jié)構(gòu)之上，所以教師不僅要考慮學(xué)科發(fā)展的規(guī)律，也要考慮學(xué)生的認知發(fā)展，以循序漸進的順序進行教學(xué).(4)理解與鞏固相結(jié)合的原則，任何一個數(shù)學(xué)原理都不是靠死記硬背來掌握的，而是在理解的基礎(chǔ)上通過應(yīng)用進行鞏固，理解是基礎(chǔ)，鞏固是必然.

即使原理課與定理課有如此多的相似之處，但是兩者亦具有本質(zhì)的區(qū)別.(1)數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)定理的概念本質(zhì)不同，數(shù)學(xué)定理一定是在公理和假設(shè)的前提下經(jīng)過嚴格證明得到的真命題，而數(shù)學(xué)原理在命題體系中與公理的距離更接近，強調(diào)的是歸納、概括，不一定是嚴格的邏輯證明.(2)教學(xué)環(huán)節(jié)不同.定理課的教學(xué)必不可缺的一步就是定理的證明，只有嚴格的邏輯證明后才能運用，而原理課這一環(huán)節(jié)則不是必須的，原理更多的是通過大量舉例來抽象概括得出，只需要接受實踐的檢驗即可，不一定要經(jīng)過邏輯的證明[7].所以二者并不能直接歸類于一種類型.

從教育心理學(xué)的角度出發(fā)，根據(jù)奧蘇泊爾對于數(shù)學(xué)知識與學(xué)生原有認知結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系，數(shù)學(xué)知識的學(xué)習可分為下位學(xué)習、并列學(xué)習、上位學(xué)習.下位學(xué)習是指新的學(xué)習內(nèi)容被融入學(xué)生已有的認知結(jié)構(gòu)當中去的過程，即原有知識系統(tǒng)高于新知識.并列學(xué)習是指新知識與學(xué)生的原有認知結(jié)構(gòu)處于并列關(guān)系，即新知識與原有知識系統(tǒng)處于同一水平.上位學(xué)習也叫總括學(xué)習，是指學(xué)生原有的認知結(jié)構(gòu)無法容納新的知識，需要通過新的方式將新知識融入原有知識系統(tǒng)當中去，即原有知識系統(tǒng)低于新知識[8].而數(shù)學(xué)原理的學(xué)習屬于上位學(xué)習，也就是在學(xué)生的原有知識系統(tǒng)中，原有知識系統(tǒng)僅僅只提供了相關(guān)的部分概念，無法與所學(xué)原理直接產(chǎn)生聯(lián)系，需要對原有知識系統(tǒng)進行重新認識，需要在不斷的運用中進行加深和理解以便掌握.如，加法原理、乘法原理需要對分解與合成，以小見大重新認識，要在一個單元，通過對“做一件事”不斷進行細化、具體化，才能逐漸把握原理的一般性.

總而言之，原理課在所有課型中具有其獨特性，它不僅是對于數(shù)學(xué)具體知識的傳授和學(xué)習，更多是對于數(shù)學(xué)抽象、概括思想方法的滲透和領(lǐng)悟，這也是為什么原理課常常達不到其教學(xué)目的的原因.因此要在此基礎(chǔ)上注重數(shù)學(xué)原理課的教學(xué)設(shè)計.

2 原理課的教學(xué)設(shè)計

原理課的教學(xué)方式一般有兩種：由例子到原理和由原理到例子[9].由于在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中牽涉到的數(shù)學(xué)原理的教材安排方式大都是由例子到原理，所以本文以由例子到原理，用例規(guī)法分析其教學(xué)設(shè)計.

原理課的教學(xué)設(shè)計可以分為以下四個階段：問題引入、討論歸納、原理呈現(xiàn)、鞏固應(yīng)用.

問題引入階段.給出學(xué)生一些例子以提出問題，這些例子一定要保證能夠清楚地表達出原理的特點，以方便后續(xù)的歸納、概括，要具有代表性且讓學(xué)生容易明白.這樣利用例子來提出問題進行引入，一方面可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習的興趣，激起學(xué)生解疑的好奇心；另一方面這樣的方式是在潛移默化地將所要學(xué)習的原理進行應(yīng)用，與后面的應(yīng)用是一個前后相呼應(yīng)的關(guān)系，可以幫助學(xué)生更好地理解.例如，對于分類加法計數(shù)原理的問題引入，教材中直接以一個用阿拉伯數(shù)字和大寫字母給座位編號的問題切入，簡潔明了，與分類加法計數(shù)原理十分切合，但是不夠生活化，在課堂伊始就直接給出稍顯突兀.所以，很多教學(xué)案例[10]選擇了更加生活化的問題——路線選擇問題(從甲地到乙地可以有幾種方式)，這類問題確實很貼切生活，但是信息量過于繁雜，會干擾到學(xué)生對于分類加法計數(shù)原理本質(zhì)的理解，更適合放在課后的作業(yè)中去練習.因此，鑒于以上不足，在選擇問題引入時，我們在教材的原有編號問題前加入了一個更加簡潔且生活化的例子(學(xué)校高三理科班有467名學(xué)生，文科班有234名學(xué)生，在文科班或理科班選一名學(xué)生代表學(xué)生參加比賽，共有多少種選法？).這樣的兩個問題循序漸進，讓學(xué)生更容易理解，也利于后續(xù)學(xué)生對兩者共同點的歸納.

討論歸納階段.是以學(xué)生為主體完成的，也就是學(xué)生在原有的知識結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上根據(jù)教師給出的問題對原理進行歸納提煉.學(xué)生先是利用已有的知識對問題進行解決，然后對問題的解決過程進行分析歸納，得到對原理的初步猜想和總結(jié)，這是一個知識遷移的過程，學(xué)生將所學(xué)過的知識點進行相互聯(lián)系，相互類比，把舊知識加以歸納、總結(jié)遷移成新的知識點[11]，學(xué)生可以親身體驗和感受原理的歸納思路，這更有利于對原理的理解和掌握.對于分類加法計數(shù)原理的討論歸納，教材中是讓學(xué)生探究引入問題的特征，然后給出特征的描述——“或”字的重要性，誠然，這個描述直接觸及到了分類加法計數(shù)原理的本質(zhì)，但是這并不是唯一的歸納結(jié)論，在學(xué)生對于兩個問題的特征歸納以及問題解決的過程中，是沒有標答的，教師只需要盡可能地收集學(xué)生自己的歸納，并讓學(xué)生之間相互補充改進，給出他們自己的答案即可.有的教學(xué)案例中，會設(shè)計讓教師進行引導(dǎo)出現(xiàn)“完成一件事”“方案”等原理中的字眼[12]，在我們看來，這個沒有必要，因為這樣的直接提示會限制學(xué)生的思維，相當于強行將學(xué)生往原理本身上靠，學(xué)生并沒有思考的余地.因此，只需要給足學(xué)生自由討論的時間即可，討論總結(jié)的過程便是對分類加法計數(shù)原理的探索過程，即使最終學(xué)生的總結(jié)存在不完善、有歧義、不明確等缺點，但對學(xué)生來說也是突破性的一步.在學(xué)生總結(jié)得到規(guī)律后，試著讓學(xué)生根據(jù)自己的理解進行舉例，學(xué)生自己舉例的過程也是對原理的理解過程.

原理呈現(xiàn)階段.是教師直接給出關(guān)于原理的精確表述，由于學(xué)生對于原理的歸納可能是帶有瑕疵的，在某些方面也可能是沒有考慮周到的，這時候需要教師直接呈現(xiàn)出原理準確的表述，幫助學(xué)生更進一步地認識和掌握原理.這一步關(guān)乎學(xué)生的認識層次的進一步明確，不可或缺.對于分類加法計數(shù)原理的呈現(xiàn)，教材中直接給出兩類不同方案時的原理(完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法.那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法)，我們認為這是合理的，因為在之前的問題引入中，都是只有兩類不同方案時的情況.但是有些教學(xué)視頻在此處將引入問題進行拓展，比如對于編號問題拓展成三類(用一個大寫的英文字母、一個小寫字母或一個阿拉伯數(shù)字給教室里的座位編號，總共能夠編出多少種不同的號碼)，進而引入到n類不同方案時的情況，接著呈現(xiàn)n類不同方案時的分類加法計數(shù)原理(如果完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法……在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法)，這樣的處理我們認為操之過急，直接將兩類方案的原理呈現(xiàn)略過，沒有給學(xué)生一個由淺入深、逐步理解的過程，不利于學(xué)生的掌握.因此，我們更傾向于教材中的處理，即以兩類不同方案的情況給出分類加法計數(shù)原理，對于擴展到n類，在鞏固應(yīng)用階段引出即可.

鞏固應(yīng)用階段.即在教師呈現(xiàn)出原理之后，需要對原理進行鞏固以確保學(xué)生對原理的深刻理解，而鞏固的主要方式就是應(yīng)用.教師可以給出一些題組讓學(xué)生利用原理進行解答，幫助學(xué)生鞏固.因為每一個原理的學(xué)習最終都是要走向應(yīng)用的，這不僅是原理的學(xué)習目的，也是數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系的體現(xiàn)，所以應(yīng)用不應(yīng)只局限于一些習題的解答，還可以涉及實際生活的廣泛應(yīng)用，以使學(xué)生能夠靈活掌握應(yīng)用原理.對于分類加法計數(shù)原理的鞏固應(yīng)用，題型很多，可以是路線問題、選派學(xué)校代表問題、選課問題等，這些問題大同小異，都與生活息息相關(guān)且本質(zhì)上是一樣的，所以選哪種都一樣，教材中是用高中畢業(yè)生填志愿的例題(在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到，A、B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強項專業(yè)，具體情況如下：A大學(xué)：生物學(xué)、化學(xué)、醫(yī)學(xué)、物理學(xué)、工程學(xué)；B大學(xué)：數(shù)學(xué)、會計學(xué)、信息技術(shù)學(xué)、法學(xué).如果這名同學(xué)只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇)進行鞏固的，十分貼合學(xué)生的實際，無不妥之處.但是，在例題練習之后，教材中直接提出思考：如果完成一件事有三類不同的方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3類方案中有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法，這種直接提問稍顯生硬，比較好的方式是通過實際問題提出這樣的問題，讓學(xué)生一邊解決實際問題一邊思考分類加法計數(shù)原理不止適用于兩類不同方案時的情況，比如在書上的例題的基礎(chǔ)上進行改編——如果還有C大學(xué)可供這名高中畢業(yè)生選擇，且C大學(xué)他感興趣的強項專業(yè)為：地質(zhì)學(xué)、金融學(xué)，那么這名高中畢業(yè)生共有多少種選擇？這種變式的承接比較自然，能讓學(xué)生順其自然地在解決實際問題的過程中了解到三類不同方案時也是適用分類加法計數(shù)原理的，進而拓展到n類.將拓展到n類的情況在鞏固應(yīng)用階段揭示，是因為分類加法計數(shù)原理不論是在兩類不同方案還是n類不同方案，其實是沒有區(qū)別的，只要掌握了兩類時的情況，那么n類的引出就不需要太費時間，順其自然給出即可，在學(xué)生應(yīng)用時引出是比較好的選擇.

數(shù)學(xué)原理的教學(xué)涉及的四個基本環(huán)節(jié)是環(huán)環(huán)相扣的，每一步都不可或缺，都有其特定的目的.同時貫穿四個環(huán)節(jié)的是數(shù)學(xué)原理背后所隱含的數(shù)學(xué)思想，這也是數(shù)學(xué)原理學(xué)習的終極目標，只有在學(xué)習過程中掌握了其所隱含的數(shù)學(xué)思想，才能準確地將其應(yīng)用，才能說是掌握了相應(yīng)的原理.

對于原理的教學(xué)因為是需要學(xué)生自己去歸納概括，以學(xué)生的探究為主，因此教師可以采用討論法進行教學(xué).討論法強調(diào)學(xué)生的探究發(fā)現(xiàn)能力、思維發(fā)展能力以及獨立思考能力.采用討論法來進行原理的教學(xué)，一方面可以讓學(xué)生在自己總結(jié)概括的過程中親身體驗原理的內(nèi)涵，有助于學(xué)生更好地理解原理的內(nèi)容，從而更加輕松自如地運用；另一方面，學(xué)生是自己進行歸納概括的，所以有助于強化學(xué)生對于原理內(nèi)容的記憶.在學(xué)生討論的過程中，教師也不是完全置身于事外的，教師應(yīng)該掌握討論的節(jié)奏，準確把握學(xué)生討論的方向，在學(xué)生出現(xiàn)問題時要及時給予學(xué)生提示，幫助學(xué)生成功概括出原理內(nèi)容.

原理的教學(xué)對于新課標一直強調(diào)的“課堂以學(xué)生為主體，教師的教學(xué)是服務(wù)于學(xué)生的學(xué)習的”是很好的體現(xiàn)，在整個過程中尤其要強調(diào)學(xué)生的主動參與，強調(diào)學(xué)生的獨立思考.

3 小結(jié)

雖然原理課比起其他課型占的比例并不算多，但是這并不能說明原理課是不重要的，原理課不但可以提升學(xué)生的思維能力，還是一種滲透數(shù)學(xué)思想方法的重要方式.所以教師在進行教學(xué)設(shè)計時要注意以學(xué)生為主體，精心設(shè)計，讓學(xué)生更好地理解和掌握原理.