連續(xù)自然數(shù)及其乘積的位數(shù)分析

曹振民

（中國路橋工程有限責(zé)任公司，北京 100011）

0 引言

本福特定律給出了一堆按照一定方法選取的數(shù)字中首位數(shù)字的一些分布規(guī)律，并在實際工作中得到了應(yīng)用.而在數(shù)論研究中，我們有時也經(jīng)常需要了解一堆有一定規(guī)律（如連續(xù)自然數(shù)）的數(shù)字中末位數(shù)字[1]或者各種數(shù)字位數(shù)的分布規(guī)律情況，如連續(xù)自然數(shù)及其乘積在數(shù)論分析、計算機浮點計算等方面就得到了一定的應(yīng)用.一些學(xué)者對此進行了相關(guān)研究[2-3]，但都是針對一些特例進行，不具備全局性.總的來說，目前對連續(xù)自然數(shù)及其乘積專門研究的還不多.

今設(shè)集合X，Y 分別為：

其中，[x1，x2]表示從x1到x2的連續(xù)自然數(shù)，[y1，y2]同理.在X 和Y 之間建立一個的二元關(guān)系——一般意義上的相乘關(guān)系，設(shè)它們的乘積為S={（x，y）|x∈X，y∈Y，x*y}，顯然X，Y 和S 均為有限集.本文將在對集合X，Y 及其乘積S 中的各種數(shù)字的奇偶性分析的基礎(chǔ)上[4]，再對其位數(shù)進行分析.

所謂位數(shù)，指的是對于任意自然數(shù)x 有幾位數(shù)，本文用符號Len（x）（x∈Z）表示.例如Len（345）=3（位），Len（988667）=6（位），Len（0）=1（位）.

1 一組連續(xù)自然數(shù)的位數(shù)分析

先分析一組連續(xù)自然數(shù)中位數(shù)個數(shù)的計算公式.

定律1 對于給定的集合X=[x1，x2]（x1，x2∈N，x2≥x1），其中位數(shù)為n 的個數(shù)為：

式（1）中，S（xn）為X 中位數(shù)為n 的個數(shù)，n=[n1，n2]，n∈N；n1，n2分別為x1和x2的位數(shù)，n1=len（x1），n2=len（x2）.

證明 對于任意n 位數(shù)來說，當(dāng)n=1 時，最小的n 位數(shù)為10n-1-1=0；當(dāng)n>1 時，最小的n位數(shù)為10n-1，而最大的n 位數(shù)為10n-1.給定x1的位數(shù)n1=len（x1），當(dāng)n=n1時位數(shù)的個數(shù)需從最大的n1位減去x1加1，即10n-1-x1+1=10n-x1（同樣適合于n=1 的情況）；同理，當(dāng)n=n2=len（x2）時位數(shù)的個數(shù)需要從x2減去最小位數(shù)，即x2-（10n-1+1）=x2-10n-1-1；當(dāng)n1＜n＜n2時，n位數(shù)的個數(shù)為最大n 位數(shù)減去最小n 位數(shù)，即（10n-1）-（10n-1）+1=9×10n-1.

定律1 證畢！

2 兩組連續(xù)自然數(shù)乘積的位數(shù)分析

設(shè)兩組連續(xù)自然數(shù)集合為X=[1，x]（x∈N，x≥1），Y=[1，y]（y∈N，y≥1），其乘積S={（x，y）|x∈X，y∈Y，x*y}.我們下面分析S 中的各種數(shù)字位數(shù)的個數(shù).可分為如下三種情況.

2.1 第一種情況：x，y 充分大

由于x＜∞，y＜∞都充分大，所以S 中包含了任意多的位數(shù)，對此有如下定律.

定律2 對于給定的連續(xù)自然數(shù)集合X=[1，x]，Y=[1，y]（x，y∈Z+），其乘積S={（x，y）|x∈X，y∈Y，x*y}中位數(shù)為n 的數(shù)字的個數(shù)為

式（2.1）中，S（n）為S 中位數(shù)為n（n∈N+）的個數(shù)，?x」為對實數(shù)x 向下取整的值；k（n）為參數(shù)，k（n）=10n-1，n 為所求的數(shù)字位數(shù)的編號.

證明 為了形象理解集合S={x*y} 中各種數(shù)字位數(shù)的分布情況，現(xiàn)引入一組如圖1 所示的雙曲函數(shù)族xy=k（n），其中k（n）=10n-1（n，x，y∈N+）.可以看出，S 中n 位數(shù)的個數(shù)，實際上可以轉(zhuǎn)化為求不等式xy≤k（n）整數(shù)解的問題.

對于充分大的x 和y，S 中的1 位數(shù)為區(qū)間{x>0，y>0，xy≤9}內(nèi)的整數(shù)點集合，2 位數(shù)為9＜xy≤99 內(nèi)整數(shù)點集合，…，n 位數(shù)則分布于10n-1＜xy≤10n+1-1 區(qū)間內(nèi).圖2 給出了所有1 位數(shù)的個數(shù)，即y≤9/x 的整數(shù)解的點陣分布；其余位數(shù)點陣分布同理.從而得出1 位數(shù)的個數(shù)為：

同樣，1 位數(shù)和2 位數(shù)的總個數(shù)為y≤99/x 中整數(shù)解的集合，即

圖1 雙曲函數(shù)及數(shù)字位數(shù)區(qū)域示意圖

圖2 一位數(shù)整數(shù)點陣示意圖

所以

定律2 證畢！

根據(jù)“向下取整”的定義，在公式（2.2）中，當(dāng)xi>10n-1-1 時有?（10n-1-1）/xi」=0，所以，公式（2.2）也可表達成

例2 當(dāng)x 和y 充分大時，求S=（1～x）*（1～y）中各種位數(shù)的個數(shù).

解 把n=1，2，3…代入（1）式，求得k1=9，k2=99，k3=999，…，再分別求得S（1），S（2），…，如下：

同理可求出其他各種位數(shù)的個數(shù)，計算結(jié)果見表1.

表1 S 中各種位數(shù)計算結(jié)果

2.2 第二種情況：y=y0，x 充分大

這可看成y≤y0，x＜∞與雙曲函數(shù)族的相交范圍內(nèi)各種位數(shù)的情況（見圖3）.

圖3 y=y0 與雙曲族相交示意圖

定律3 設(shè)X=[1，x]，Y=[1，y0]（x，y0∈N），其乘積S={（x，y）|x∈X，y∈Y，x*y，y≤y0}中位數(shù)為n 的數(shù)字的個數(shù)為：

定律3 證畢！

當(dāng)給定x≤x0，y＜∞時，原理相同.有興趣者可以試著給出計算公式.

2.3 第三種情況：x=x0，y=y0

定律4 設(shè)X=[1，x0]，Y=[1，y0]（x0，y0∈N），其乘積S={（x，y）|x∈X，y∈Y，x*y，x≤x0，y≤y0}中位數(shù)的種類和位數(shù)的個數(shù)為：

式（2.5）中，S（n）為S 中位數(shù)為n 的個數(shù)，n∈N+，?x」為對x 向下取整；m 為S 中最大位數(shù)，m=len（x0*y0），它同時也表示著S 中位數(shù)的種類；k（n）為參數(shù)，k（n）=10n-1，當(dāng)k（n）>x0取k（n）=x0；x0i為y=y0與xy=k（n）的交點坐標(biāo)向下取整的 值，x0i=?k（n）/y0」（i=1，2，3，…，m），當(dāng)x0i＞x0時，取xi0=x0.

證明 引入雙曲函數(shù)族xy=k（n），設(shè)y=y0與xy=k（n）交點向下取整分別為x01，x02，…，x0i，…，x0n，其中x0i=?k（n）/y0」（i=1，2，3，…，n），最大的位數(shù)為m=len（x0*y0），如圖4 所示.顯然，當(dāng)位數(shù)n＜m 時，各種位數(shù)的個數(shù)計算公式與（2.3）基本相同，不同點只在于計算范圍的變化，即當(dāng)x0i＞x0或k（n）>x0時，取x0i=k（n）=x0，從而證得（2.5）式；當(dāng)n=m 時，所有數(shù)字的個數(shù)等于集合S 的基數(shù)，即S（1）＋S（2）＋…＋S（m）=|S|=x0*y0，證得（2.6）式.

定律4 證畢！

圖4 x=x0，y=y0 與雙曲族相交示意圖

例3 求S=（1～398）*（1～252）乘積中位數(shù)為5 和6 的數(shù)字的個數(shù).

解 設(shè)x0=398，y0=252，其乘積S 的基數(shù)|S|=x0*y0=100296，最大位數(shù)m=len（|S|）=6 位，即S中共有6 種位數(shù)的數(shù)字.由k（n）=10n-1 得，k4=104-1＞x0，k5=105-1＞x0，故取k4=k5=x0=398，而y0=252 與xy=k（n）的交點集合為：x0i=?k（n）/y0」={?9/252」，?99/252」，?999/252」，…，?999999/252」={0，0，3，39，396，398}（注意x06＞x0，取x06=x0=398），由公式（2.5）得：

需要指出，對于X=[x1，x2]與Y=[y1，y2]（x1，y1，x2，y2∈N，x2≥x1≥1，y2≥y1≥1） 的乘積S 的位數(shù)計算，可先按照公式（2.5）求出S（i）={（x，y）|x∈X，y∈Y，x*y，x≤xi，y≤yi}（i=1，2）中各種位數(shù)的個數(shù)，再由公式S（n）=S（2）-S（1）求出S中各種數(shù)字的位數(shù)，這里不再贅述.

致謝：本文英文部分的翻譯工作得到了陳鐘同志的幫助，在此表示感謝！