做數(shù)學：學科育人方式的實踐創(chuàng)新*

董林偉 石樹偉

(1．江蘇省教育科學規(guī)劃領(lǐng)導小組辦公室 210013；2．江蘇省揚州市廣陵區(qū)教師發(fā)展中心 225006)

改革開放后，我國義務教育從基本普及逐漸走向優(yōu)質(zhì)均衡，為了讓更多的孩子喜歡數(shù)學、學好數(shù)學，基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學教育逐漸從“精英數(shù)學”向“大眾數(shù)學”轉(zhuǎn)變．基于數(shù)學的嚴謹性，現(xiàn)代數(shù)學逐漸走向了符號化、形式化和公理化，“大眾數(shù)學”觀下的數(shù)學教學過程應當反其道而行之，給學生創(chuàng)造直觀思維的機會，給學生的“悟”留有充分的時間和空間：雖然概念的表達是符號的，但對概念的認識應當是有具體背景的；雖然證明的過程是形式的，但對證明的理解應當是直觀的；雖然邏輯的基礎(chǔ)是基于公理的，但思維的過程應當是歸納的[1]．世紀之交開始的新課程改革對數(shù)學教育不斷提出更高的目標要求，從過去的雙基目標到三維目標、“四基四能”，再到現(xiàn)在的數(shù)學核心素養(yǎng)，這些目標的達成僅僅依賴教師的講授是不行的，更主要的是需要學生親自參與其中，需要學生的獨立思考和深刻感悟，在發(fā)展能力的同時，品格和觀念也得到相應的發(fā)展.“做數(shù)學”就成為數(shù)學教學的應然選擇．

1 “做數(shù)學”的內(nèi)涵特征

“做數(shù)學”起源于上世紀中后葉美國科學學科為改變傳統(tǒng)的以傳授為主的教學方式而實施的“Hands-on”(動手做)學習計劃，后逐步在美國、法國科學教育界得到推廣．上世紀九十年代先在我國幼兒園和小學的科學教育中引進嘗試[2]，后被引入中小學數(shù)學教育．

許多數(shù)學教師對于“做數(shù)學”的認識停留在對“Hands-on”(動手做)字面意義理解的階段，片面的認為“做數(shù)學”僅是動手操作的一些活動．某雜志曾經(jīng)刊登過一個小學數(shù)學加法交換律的“做數(shù)學”案例：活動一讓學生相互交換位置，但沒有讓學生感悟得到人數(shù)不變的結(jié)論；活動二讓學生看動畫：兔子和鴨子交換任務，兔子摸螺螄，鴨子拔青草，仍然沒有讓學生感悟其中的不變性；活動三讓學生用柄很長的勺子喝水，自己喝不到，唯有互相幫助，相互用勺子喂水，但始終只有交換，沒有讓學生感悟到不變的規(guī)律．因此，“做數(shù)學”除了動手做，還要動腦想，“做數(shù)學”做的對象是數(shù)學，主體是學習者，要通過做，建立與已有數(shù)學知識和經(jīng)驗的密切聯(lián)系，引發(fā)數(shù)學思考和自主探究，感悟理解數(shù)學規(guī)律，揭示數(shù)學本質(zhì).

“做數(shù)學”強調(diào)的是從實際生活中取材，引導學生注意觀察周圍的事物，鼓勵學生自己提出問題；引導學生自己去探索問題的答案，教師不是直接給出問題的答案，而是設計操作、實驗、實踐等活動，讓學生親身經(jīng)歷概念、規(guī)律的形成過程，通過動作思維和邏輯思維感悟知識發(fā)生過程、理解知識結(jié)果，學生獲得的除了結(jié)果性數(shù)學知識，更多的是過程性知識，包括數(shù)學的基本思想、基本活動經(jīng)驗、發(fā)現(xiàn)提出問題、分析解決問題的能力和數(shù)學學科素養(yǎng)．

“做數(shù)學”是學生運用材料和工具，在動手動腦相協(xié)同的過程中，通過操作體驗、數(shù)學實驗、綜合實踐等活動，理解數(shù)學知識、探究數(shù)學規(guī)律、解決問題的一種數(shù)學學習方式．“做數(shù)學”具有以下顯著特征：

1.1 主體性與交互性

主體性即“做數(shù)學”的學習主體是學生．教育的終端是學生，知識、技能、能力、情感的獲得，最終都要依靠學生自己的內(nèi)化，因此“做數(shù)學”必須明確學生主體．當然，強調(diào)學生主動操作與發(fā)現(xiàn)的同時并不否認或削弱教師的主導作用，正好相反，教師主導作用的發(fā)揮就體現(xiàn)在確保學生的主體性，它對教師提出了更高的能力要求[2]．好的“做數(shù)學”活動，應是學生主體地位和教師主導作用的和諧統(tǒng)一．一方面，學生主體地位的真正落實，依賴于教師主導作用的有效發(fā)揮；另一方面，有效發(fā)揮教師主導作用的標志，是學生能夠真正成為學習的主體，得到全面的發(fā)展．

交互性強調(diào)“做數(shù)學”的過程中學生間的交互合作與經(jīng)驗共享，即學生個體進行意義建構(gòu)的同時，還需注重學生之間的合作、交流與經(jīng)驗的共享．這種學生間的交互合作與經(jīng)驗共享的過程，既有利于學生充分展示與表現(xiàn)自我，使他們因自己富有創(chuàng)意的做法或觀點得到他人的認同而產(chǎn)生強烈的心理滿足感與成就感；又有利于不同意見或見解在相互碰撞中產(chǎn)生新的思想火花，激發(fā)學生的創(chuàng)造性思維，以進一步修正或完善某些尚有偏頗的觀點；還有利于學生在互動的過程中學會競爭與合作，增強團隊互助的精神[2]．

1.2 情境性與實踐性

情境性強調(diào)“做數(shù)學”的學習素材與現(xiàn)實生活的聯(lián)系．“學習中的建構(gòu)過程總是與知識賴以產(chǎn)生意義的背景及環(huán)境關(guān)聯(lián)在一起的，即知識與學習總是具有情境性的”．以學生熟悉的生活或數(shù)學現(xiàn)實為背景開展“做數(shù)學”活動，旨在引發(fā)學生的共鳴，讓學生產(chǎn)生自主探索的需求，從而主動參與學習，培養(yǎng)學生的問題意識，使學生樂學、好學，培養(yǎng)學生積極的數(shù)學信念．情境性一方面體現(xiàn)在數(shù)學學習資源的選擇利用應具有現(xiàn)實性，它強調(diào)活動所需設備與材料的可取性與簡易性，鼓勵學生從周圍的日常生活中選取唾手可得的簡易材料[2]；另一方面體現(xiàn)在數(shù)學知識的探究與應用過程也要結(jié)合實際情境，探究過程強調(diào)讓學生親自觀察各種生活中的真實現(xiàn)象，或在現(xiàn)實情境中進行多種可能的操作、實驗與實踐活動，應用過程注重讓學生綜合運用知識以創(chuàng)造性思維解決各類現(xiàn)實情境中的問題，體現(xiàn)現(xiàn)實的重要性．

實踐性強調(diào)“做數(shù)學”的過程中問題探究與實踐活動的開展，讓學生圍繞著某個具體問題的解決，親自開展一系列的動手操作、實驗、觀察、記錄、探究等實踐活動[2]．“做數(shù)學”活動學習主體不是直接從書本上或教師講授中獲取知識，而是主動探究解決問題、感悟數(shù)學基本思想、積累數(shù)學基本活經(jīng)驗的操作實踐性學習，有利于激發(fā)學習主體的求知欲．值得注意的是，這時的實踐活動不單純是簡單、機械的動手操作，而是同時伴有深刻的觀察、想象、假設、推理、探究等高層次的思維活動；也不是僅憑學生的抽象思考、演算推理就能完成的，而需借助一定的操作與實踐活動．

1.3 開放性與教育性

開放性即“做數(shù)學”的形式、內(nèi)容、結(jié)果等都是開放、多元的．“做數(shù)學”活動注重學生的體驗和實踐，所以“做”的形式是多樣的，“做”的內(nèi)容是開放的，“做”的結(jié)果又是動態(tài)、可誤的數(shù)學知識．無論哪種形式的“做數(shù)學”都要容許學生“犯錯”，允許不同的想法出現(xiàn)，引發(fā)大家的思考，發(fā)展學生的創(chuàng)新思維和學習能力，在學生的交流合作中發(fā)現(xiàn)數(shù)學本質(zhì)，建構(gòu)新知．

教育性即“做數(shù)學”的目的除了通過活動過程得到知識、思想和方法，還有活動過程中所蘊含的素養(yǎng)、能力、情感態(tài)度和價值觀．“做數(shù)學”的過程僅是載體，學生操作與實踐活動等行為的最終目的不只是滿足于完成某一任務或獲取某些數(shù)學原理與知識，而更注重培養(yǎng)學生探究與應用數(shù)學的各種能力、認識現(xiàn)實世界的一般方法以及隨之而來的對數(shù)學價值的體悟認識和積極的情感態(tài)度等，從而促使學生的全面和諧發(fā)展．

2 “做數(shù)學”的實踐模型

“做數(shù)學”的教學實踐模型可以從實施途徑和目標指向兩個維度進行建構(gòu)．

2.1 從實施途徑看“做數(shù)學”的實踐模型

從實施途徑看，“做數(shù)學”的實踐模型包括操作體驗、數(shù)學實驗、綜合實踐三類．

操作體驗類指通過操作、觀察、感悟、理解等實踐活動使學生獲得大量的感性認識，同時提高學生的學習興趣，激發(fā)學生求知欲的一類“做數(shù)學”活動．如通過紙上圓規(guī)畫圓、黑板上短繩粉筆畫圓、操場上皮尺畫圓讓學生感悟圓“一中同長”的特性和“圓心—半徑”兩要素，促進學生對圓的概念的理解；通過拋硬幣、摸球、轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤等游戲活動讓學生感悟隨機的意義及可能性的大小，體會隨著試驗次數(shù)的增加事件發(fā)生的頻率逐漸趨于穩(wěn)定的規(guī)律．

數(shù)學實驗類指學生在教師指導下，利用一定的工具(實物或軟件)，通過動手操作、觀察思考、歸納抽象等過程建構(gòu)數(shù)學概念、驗證數(shù)學結(jié)論、探索數(shù)學規(guī)律、解決數(shù)學問題的一類“做數(shù)學”活動．如學生通過具體運算歸納出完全平方公式后，可以安排拼圖實驗，引導學生通過建立圖形的面積關(guān)系來驗證完全平方公式，進而形成公式的幾何直觀．

綜合實踐類指以實際問題為載體，學生自主參與并綜合運用數(shù)學知識和方法解決實際問題的一類“做數(shù)學”活動．如由生活中常見的各種各樣的規(guī)則或不規(guī)則地磚鋪設圖案，引導學生研究平面鑲嵌問題；通過親歷實際的統(tǒng)計活動，綜合運用統(tǒng)計知識研究確定某一區(qū)域范圍內(nèi)初中畢業(yè)男生引體向上項目的測試評價標準．

2.2 從目標指向看“做數(shù)學”的實踐模型

從目標指向看，“做數(shù)學”的實踐模型包括驗證理解、探索發(fā)現(xiàn)、應用實踐三類．

驗證理解類指學生通過操作實踐等活動幫助驗證、理解某些抽象概念和原理的一類“做數(shù)學”活動．如通過翻牌(或茶杯)游戲幫助學生驗證、理解“不講道理”的有理數(shù)乘法符號法則；利用直觀形象的多米諾骨牌游戲幫助學生理解抽象的數(shù)學歸納法．

探索發(fā)現(xiàn)類指學生通過操作實驗、觀察猜想、推理論證、合作交流等探索活動主動建構(gòu)數(shù)學知識的一類“做數(shù)學”活動，類似于荷蘭數(shù)學家弗賴登塔爾提出的“再創(chuàng)造”．如學生通過折疊等腰三角形紙片自主探索等腰三角形的性質(zhì)；利用轉(zhuǎn)筆探索發(fā)現(xiàn)多邊形的內(nèi)角和和外角和．

應用實踐類指學生通過實踐操作等活動應用數(shù)學知識解決實際問題，發(fā)展學生綜合運用知識的實踐能力，培養(yǎng)學生積極數(shù)學信念的一類“做數(shù)學”活動，如學生通過月歷游戲，經(jīng)歷用數(shù)學符號建立方程表示實際問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律、求出結(jié)果并討論結(jié)果意義的過程，切實體會用方程解決問題的優(yōu)越性．

3 “做數(shù)學”的育人價值

“做數(shù)學”所具有的主體性、交互性、情境性、實踐性、開放性、教育性等特征，充分說明“做數(shù)學”具有發(fā)展學生核心素養(yǎng)從而實現(xiàn)數(shù)學學科育人的價值．

3.1 “做數(shù)學”有利于數(shù)學關(guān)鍵能力的提升

“做數(shù)學”讓抽象的數(shù)學知識變得形象直觀，內(nèi)隱的數(shù)學思維變得可視化，枯燥的技能訓練變得有趣、有意義，有利于基礎(chǔ)知識、基本技能目標的達成，特別是難點知識、重要技能的掌握；“做數(shù)學”不是結(jié)果性知識的直接灌輸，而是一個讓學生動手操作、動腦思考的主動學習的過程，在此過程中學生主動發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題，為學生感悟基本思想、積累基本活動經(jīng)驗提供了時空和機會．“做數(shù)學”有利于“四基四能”目標的全面實現(xiàn)，而“四基四能”則是培養(yǎng)學生數(shù)學關(guān)鍵能力的沃土，是發(fā)展學生數(shù)學關(guān)鍵能力的有效載體[3]．

“做數(shù)學”還為數(shù)學關(guān)鍵能力的培養(yǎng)提供了必要的現(xiàn)實情境或數(shù)學情境、科學情境，提供了發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的機會．“做數(shù)學”通過操作體驗、數(shù)學實驗、綜合實踐等活動，從直觀、想象到發(fā)現(xiàn)、猜想，最后得到驗證，從感性到理性掌握數(shù)學概念和命題，使學生親歷數(shù)學知識的建構(gòu)過程；或通過演算、推導發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，解決實際問題；或通過親歷統(tǒng)計活動過程感悟隨機現(xiàn)象，作出正確推斷和決策，這些都有利于學生數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等關(guān)鍵能力的提升．

3.2 “做數(shù)學”有利于必備思維品格的培養(yǎng)

中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)以培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”為核心，包括文化基礎(chǔ)、自主發(fā)展、社會參與三個方面，綜合表現(xiàn)為人文底蘊、科學精神、學會學習、健康生活、責任擔當、實踐創(chuàng)新等六大素養(yǎng)，“做數(shù)學”在發(fā)展上述素養(yǎng)品格方面有力地體現(xiàn)了數(shù)學學科的責任擔當，特別是在學生必備思維品格的培養(yǎng)方面發(fā)揮了數(shù)學作為一門思維學科應有的作用．

“做數(shù)學”是一個動手操作與動腦思考緊密結(jié)合、證偽與證實和諧統(tǒng)一、主動探究與意志努力相互促進的數(shù)學學習過程，有利于培養(yǎng)學生的理性思維能力、批判質(zhì)疑的意識和勇于探究的精神，從而促進科學精神素養(yǎng)的培育；有利于培養(yǎng)學生樂學善學、勤于反思的優(yōu)良學習品格和現(xiàn)代公民必須具備的信息意識，從而促進學會學習素養(yǎng)的培育；有利于培養(yǎng)學生的動手實踐意識、問題解決能力和技術(shù)運用水平，從而促進實踐創(chuàng)新素養(yǎng)的培育[3]．

3.3 “做數(shù)學”有利于正確價值觀念的形成

“做數(shù)學”從具身體驗性出發(fā)，動腦“做”輔之以動手操作實驗，手腦協(xié)調(diào)，在信息的輸入輸出和存儲過程中，突出并延長體驗環(huán)節(jié)，通過學習者的感受、覺知及“做中學”等不同的方式，將傳統(tǒng)的視聽學習轉(zhuǎn)變?yōu)椴僮餍缘捏w驗過程，將“脖子以上的學習”發(fā)展遷移為全身心融合的學習，有利于改善學生的學習體驗，增強學生對學習的興趣．

“做數(shù)學”為學生創(chuàng)設了熟悉的現(xiàn)實情境或數(shù)學情境、科學情境，為學生提供了發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的機會，有利于學生充分感悟到數(shù)學來源于生活又服務于生活，充分領(lǐng)略到數(shù)學的科學價值、應用價值和文化價值，增強學生學習數(shù)學的動力和學好數(shù)學的信心．“做數(shù)學”可以改變學生學習的數(shù)學知識形態(tài)，化抽象為形象，化結(jié)果為過程，化靜態(tài)為動態(tài)；“做數(shù)學”可以改善學生的數(shù)學學習方式，變被動接受為主動探究，變統(tǒng)一化學習為個性化學習，變“離身”思辨為具身體驗，變“半腦”學習為全腦學習，從而有利于改變學生數(shù)學抽象難學的刻板印象，獲得數(shù)學學習的成就感，增強繼續(xù)學好數(shù)學的信念[3]．

聯(lián)合國教科文組織在上個世紀九十年代提出了“四個學會”，其中之一就是學會共處，即學會共同生活，學會與他人共同工作．類似的，世界經(jīng)合組織及美國、歐盟的學生發(fā)展核心素養(yǎng)框架也都共同強調(diào)了“能在異質(zhì)社會團體中互動”的素養(yǎng)，要求學生學會與他人合作．學生在“做數(shù)學”的過程中，與老師、同學的合作交流是必不可少的，甚至有時還需要與社會、企業(yè)、行業(yè)專家打交道．因此，“做數(shù)學”還有利于學生合作意識和能力的培養(yǎng)，增強對合作交流重要性的認識．