同時(shí)取送貨的 “ 最后一公里 ” 車(chē)輛路徑問(wèn)題研究

袁雨果

（集美大學(xué)誠(chéng)毅學(xué)院商船系，福建廈門(mén)361021）

一、引言

改革開(kāi)放以來(lái)，我國(guó)經(jīng)濟(jì)社會(huì)的快速發(fā)展、經(jīng)貿(mào)活動(dòng)的不斷增多，特別是電子商務(wù)的發(fā)展，為快遞行業(yè)快速發(fā)展提供了良好的契機(jī)。國(guó)家統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)表明，2010—2019 年這10 年我國(guó)快遞業(yè)務(wù)迅速發(fā)展，業(yè)務(wù)量增長(zhǎng)26 倍，業(yè)務(wù)收入也相應(yīng)地由574.6 億元提升至7 498 億元①，如圖1 所示。一方面快遞行業(yè)在增量市場(chǎng)（如農(nóng)村快遞業(yè)務(wù)） 仍舊大有可為，另一方面快遞企業(yè)在存量市場(chǎng)上競(jìng)爭(zhēng)卻不斷加劇。為了應(yīng)對(duì)激烈的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境，各快遞企業(yè)都試圖通過(guò)優(yōu)化自身物流系統(tǒng)，以達(dá)到提升效率、降低成本和增強(qiáng)服務(wù)滿(mǎn)意度的目標(biāo)。近年來(lái)，客戶(hù)退貨維修或者物品回收等需求不斷增加，一些快遞企業(yè)也傾向于在進(jìn)行 “ 最后一公里 ” 配送的同時(shí)攬收客戶(hù)需要寄出的物件（如京東物流） 以提升物流服務(wù)效率，使得在 “ 最后一公里 ” 配送過(guò)程中整合正向物流和逆向物流成為企業(yè)提升運(yùn)營(yíng)效率和降低物流成本的重要途徑[1]。

電子商務(wù)物流配送可以大致分為三個(gè)階段，即倉(cāng)儲(chǔ)、主干網(wǎng)運(yùn)輸和 “ 最后一公里 ” 配送[2]，其中 “ 最后一公里 ” 配送是指將物品從倉(cāng)儲(chǔ)中心發(fā)送給終端客戶(hù)的過(guò)程[3]。很多研究指出， “ 最后一公里 ” 配送極大地影響電商物流的服務(wù)質(zhì)量和成本[2，4]，也是非常復(fù)雜的環(huán)節(jié)，因?yàn)樗苯优c終端客戶(hù)接觸，訂單數(shù)量大而規(guī)模小，而且終端客戶(hù)對(duì)配送方式、配送時(shí)間等要求都具有高度個(gè)性化和變動(dòng)性等特點(diǎn)。

在此背景下，研究 “ 最后一公里 ” 車(chē)輛路徑優(yōu)化問(wèn)題時(shí)考慮正向和逆向物流整合具有重要的意義。相比一般的 “ 最后一公里 ” 配送，本問(wèn)題更為復(fù)雜，它包括兩個(gè)交互影響的階段：車(chē)輛配送和攬貨任務(wù)的分配、車(chē)輛路徑的優(yōu)化。這個(gè)問(wèn)題可以被抽象為一個(gè)同時(shí)取送貨的帶有時(shí)間窗的車(chē)輛路徑規(guī)劃問(wèn)題（Vehicle routing problem with simultaneous pick-up and delivery with time windows（VRPSPDTW））。VRPSPD已經(jīng)被廣泛證明是一個(gè)NP 難問(wèn)題，很難通過(guò)精確算法高效而準(zhǔn)確地解決大規(guī)模VRPSPD[5]，而啟發(fā)式方法則被認(rèn)為是解決這類(lèi)NP 難問(wèn)題的有效方式。為此，結(jié)合遺傳算法和變鄰域搜索算法，設(shè)計(jì)了一個(gè)包括3 個(gè)步驟的啟發(fā)式方法。通過(guò)構(gòu)建100 個(gè)仿真場(chǎng)景，并通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析的結(jié)果驗(yàn)證了該啟發(fā)式方法具有較好的性能。

圖1 2010—2019 年我國(guó)快遞行業(yè)發(fā)展情況

二、文獻(xiàn)綜述

（一） “ 最后一公里 ” 物流問(wèn)題

近年來(lái)我國(guó)電子商務(wù)快速發(fā)展，同時(shí)帶動(dòng)了快遞等相關(guān)產(chǎn)業(yè)的發(fā)展。國(guó)家統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)表明，過(guò)去10 年快遞業(yè)務(wù)量和業(yè)務(wù)收入年均增長(zhǎng)率分別達(dá)到44%和33%①。然而，在電商物流快速發(fā)展的過(guò)程中也暴露出了一些問(wèn)題，特別是 “ 最后一公里 ” 配送成為制約電商物流提升服務(wù)質(zhì)量和降低物流成本的關(guān)鍵環(huán)節(jié)[6，7]。為了解決 “ 最后一公里 ” 配送存在的問(wèn)題，一些創(chuàng)新的配送方式不斷被設(shè)計(jì)出來(lái)，比如自助收發(fā)箱和顧客自提站等模式[8]：Mikko 等[9]和Song 等[10]的研究均表明，相比傳統(tǒng)配送方式，在 “ 最后一公里 ” 配送環(huán)節(jié)中采用自助收發(fā)箱模式可以有效降低物流成本、提升配送效率。

盡管上述多元化的配送方式在一定程度上提升了電商物流 “ 最后一公里 ” 配送的效率，但是無(wú)法解決車(chē)輛回程空載所造成的成本問(wèn)題。為了進(jìn)一步降低 “ 最后一公里 ” 配送的成本，學(xué)界和業(yè)界都開(kāi)始探索在 “ 最后一公里 ” 中整合正向物流和逆向物流，即考慮在進(jìn)行配送的同時(shí)實(shí)現(xiàn)攬貨。比如，郭月[11]分析了農(nóng)村地區(qū) “ 最后一公里 ” 配送和 “ 最初一公里 ” 攬收存在的主要問(wèn)題，如需求量不足、配送成本高、設(shè)施不完善等，為此提出了 “ 選擇取送貨 ” 模式，從而為物流企業(yè)網(wǎng)點(diǎn)下沉提供有效的解決方案；何瑩瑩[12]針對(duì)家電行業(yè)中存在頻繁的退換貨從而導(dǎo)致逆向物流的現(xiàn)象，構(gòu)建了考慮同時(shí)取送貨的家電物流路徑優(yōu)化模型，并設(shè)計(jì)了混合粒子群算法進(jìn)行求解。由此可見(jiàn)，同時(shí)考慮配送和攬收是傳統(tǒng) “ 最后一公里 ” 配送的變體，可以通過(guò)同時(shí)取送貨的車(chē)輛路徑問(wèn)題進(jìn)行建模。

（二） 同時(shí)取送貨的車(chē)輛路徑優(yōu)化

車(chē)輛路徑問(wèn)題（Vehicle routing problem，VRP）最早由Dantzing 和Ramser[13]于1959 年提出，它是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)熱門(mén)研究問(wèn)題。由于其應(yīng)用的廣泛性和在經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展（如物流、交通等） 中的重要價(jià)值，國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者針對(duì)VRP 進(jìn)行了大量的研究，并提出多種變體以更好地解決所研究的問(wèn)題。這其中，Min[14]針對(duì)圖書(shū)館取送書(shū)任務(wù)的實(shí)際，在VRP 的基礎(chǔ)上考慮同時(shí)取送貨的問(wèn)題，首次提出了VRPSPD。在此之后，很多學(xué)者開(kāi)始嘗試基于VRPSPD 解決物流和交通等領(lǐng)域的問(wèn)題，比如：Liu[15]將VRPSPD 運(yùn)用于家庭醫(yī)療物流優(yōu)化中，并針對(duì)該問(wèn)題構(gòu)建了兩個(gè)混合整數(shù)規(guī)劃模型，同時(shí)提出了相應(yīng)的解決算法；Shi[16]同樣針對(duì)家庭醫(yī)療物流問(wèn)題，提出了一種隨機(jī)規(guī)劃模型；Alshamrani[17]則將VRPSPD 運(yùn)用于解決具有逆向物流的美國(guó)紅十字會(huì)的血液配送問(wèn)題，并提出了解決該問(wèn)題的啟發(fā)式算法。現(xiàn)有研究往往根據(jù)所解決問(wèn)題的特征，對(duì)VRPSPD 做進(jìn)一步拓展，形成一些新的變體，如：考慮車(chē)輛異質(zhì)性（Heterogeneous VRPSPD）[18]、考慮車(chē)輛存在多個(gè)起止點(diǎn)的情況（Multi-depot-VRPSDP）[19]、考慮多層次配送問(wèn)題（Multi-echelon VRPSPD）[20]、研究車(chē)輛行駛時(shí)間隨機(jī)的情況（Stochastic travel-time VRPSPD）[21]和節(jié)點(diǎn)具有時(shí)間窗約束的情況（VRPSPD-time windows）[22]。同時(shí)，這些研究提出了大量的算法來(lái)求解VRPSPD相關(guān)的問(wèn)題，如蟻群算法[23]、粒子群算法[24]、局部搜索算法[25]、遺傳算法[26]、分支定界算法[27]、變鄰域搜索算法（VNS）[28]、分支定界和離散螢火蟲(chóng)算法（DFA） 等[29]，以及將上述若干種算法相結(jié)合設(shè)計(jì)的啟發(fā)式方法。

三、數(shù)學(xué)模型構(gòu)建

整合正逆向物流的 “ 最后一公里 ” 車(chē)輛路徑優(yōu)化問(wèn)題可以視為考慮同時(shí)取送貨的帶有時(shí)間窗的車(chē)輛路徑問(wèn)題（VRPSPDTW）。在保證該問(wèn)題的主要特征的前提下，為突出主要問(wèn)題特征而不失一般性，做出如下假定：1.所有車(chē)輛的起止節(jié)點(diǎn)都為同一個(gè)物流配送站點(diǎn)；2.一個(gè)客戶(hù)可能只需要配送服務(wù)或只需要攬貨服務(wù)，或兩種服務(wù)同時(shí)需要；3.同一個(gè)客戶(hù)有且僅有一臺(tái)車(chē)輛服務(wù)；4.每臺(tái)車(chē)輛都完全相同。為了便于問(wèn)題的描述，表1 羅列了所涉及的變量及其相應(yīng)的解釋。

表1 變量定義及解釋

（一） 目標(biāo)函數(shù)

如果車(chē)輛k 從客戶(hù)i 直接到客戶(hù)j，則0-1 離散變量為1，否則則車(chē)輛k 行駛的總距離hk可以通過(guò)式（1） 計(jì)算，其中cij為客戶(hù)i 與客戶(hù)j 之間的空間距離。如果車(chē)輛k 被調(diào)用，則0-1 變量δk=1，否則δk=0，如式（2） 所示。本研究的目的是實(shí)現(xiàn)所有配送和攬收任務(wù)的總成本最低，如式（3） 所示，式中α 表示使用一臺(tái)車(chē)輛的固定成本，而β 則表示每輛車(chē)單位距離所需要的變動(dòng)成本。

（二） 約束條件

所有客戶(hù)的配送或攬貨需求都要被滿(mǎn)足，且每個(gè)客戶(hù)有且只有一臺(tái)車(chē)輛服務(wù)，如式（4） 所示，其中N 表示客戶(hù)位置集合，R 為所有位置集合（R=N∪{0}）。根據(jù)上述假設(shè)，所有車(chē)輛的起止點(diǎn)都為相同的物流站點(diǎn)，如式（5） 所示。式（6） 確保車(chē)輛空間路徑的連通性，即車(chē)輛服務(wù)客戶(hù)后需要離開(kāi)該客戶(hù)。所使用車(chē)輛的數(shù)量不能超過(guò)現(xiàn)有最大車(chē)輛數(shù)量K，如式（7） 所示。

青春如果沒(méi)有了奮斗，沒(méi)有了掙扎，沒(méi)有了希望，沒(méi)有了絕望，還叫什么青春？青春是一生當(dāng)中最迷茫、焦慮、充斥著絕望、挑戰(zhàn)的時(shí)候，但是為什么所有的人都說(shuō)青春美好呢？

yij為經(jīng)過(guò)弧（i，j）的客戶(hù)i 之前的客戶(hù)攬貨總和，而zij為經(jīng)過(guò)?。╥，j）的客戶(hù)i 之后的客戶(hù)貨物配送總和?？蛻?hù)攬貨和送貨的情況分別如式（8） 和（9）所示，每輛車(chē)的載貨量在任意時(shí)刻都不能超過(guò)車(chē)輛最大容量Q，如式（10） 所示。

四、算法設(shè)計(jì)

VRPSPD 已經(jīng)被廣泛證明是一個(gè)NP 難問(wèn)題，很難通過(guò)精確算法高效而準(zhǔn)確地解決大規(guī)模VRPSPD[5]。為此，結(jié)合遺傳算法和變鄰域搜索算法，設(shè)計(jì)一個(gè)包括3 個(gè)步驟的啟發(fā)式方法，該方法的流程圖如圖2 所示。

（一） 解編碼

圖2 算法流程圖

根據(jù)表1 的定義，車(chē)輛數(shù)量為K、客戶(hù)數(shù)量為N。在解編碼過(guò)程中引入虛擬客戶(hù)的概念來(lái)構(gòu)建染色體，每條染色體代表一個(gè)解，具體處理如下：隨機(jī)確定一個(gè)0～K-1 的整數(shù)作為虛擬客戶(hù)的數(shù)量，則該問(wèn)題可以轉(zhuǎn)換為單車(chē)輛的路徑優(yōu)化問(wèn)題，即車(chē)輛從物流中心出發(fā)，完成所有任務(wù)后，又回到同一物流中心。以圖3 為例來(lái)說(shuō)明解編碼的過(guò)程，在該圖中包括12 個(gè)客戶(hù)，4 輛車(chē)。在0 到3 之間隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)整數(shù)。假設(shè)隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)為2，標(biāo)記為13 和14。對(duì)客戶(hù)集{1，2，…，13，14}排序，假定得到的一條染色體為0-3-4-7-9-13-10-1-2-5-14-8-6-11-12-0。將染色體中的虛擬客戶(hù)（13 和14） 替換為物流配送中心0，即可得到0-3-4-7-9-0-10-1-2-5-0-8-6-11-12-0。以 “ 0 ” 為標(biāo)記將該染色體進(jìn)行拆分，得到{0-3-4-7-9-0}，{0-10-1-2-5-0}和{0-8-6-11-12-0}等3 條子染色體，分別表示3 輛車(chē)所分配的客戶(hù)及線路。

圖3 解編碼過(guò)程（示例）

（二） 初始解集構(gòu)造

根據(jù)上述解編碼方式，可以構(gòu)造大量解。然而，在構(gòu)建過(guò)程中也可能會(huì)產(chǎn)生一些違反前述約束條件的解，可稱(chēng)為非可行解。為了提升后續(xù)解優(yōu)化的效率，需要提前將非可行解刪除，只允許可行解進(jìn)入初始解集。初始解產(chǎn)生流程如下：

（1） 引入n 個(gè)虛擬客戶(hù)（0≤n≤K-1），構(gòu)建客戶(hù)集合{v1，…，vN，vN+1，…，vN+n-1}；

（2） 基于（1） 得到的客戶(hù)集，根據(jù)前一節(jié)假定生成一條染色體以表征一個(gè)解；

（3） 拆分（2） 中生成的染色體，以得到每輛車(chē)的服務(wù)客戶(hù)及物流線路；

（4） 計(jì)算車(chē)輛完成所有任務(wù)所行駛的距離hk、整個(gè)過(guò)程中車(chē)載重量、服務(wù)每個(gè)客戶(hù)的時(shí)間（5） 若該解為可行解，即滿(mǎn)足各個(gè)約束條件，則將該染色體保存至初始解集合中，否則舍棄該染色體并重新返回步驟（1）；

（6） 如果初始解集合中包含的解數(shù)量達(dá)到算法預(yù)設(shè)的種群規(guī)模數(shù)量，則初始解集合構(gòu)造的過(guò)程結(jié)束，否則返回步驟（1） 以生成新的解。

（三） 解集進(jìn)化

解集進(jìn)化是整個(gè)啟發(fā)式方法的核心環(huán)節(jié)，為了提升方法的性能，根據(jù)本問(wèn)題的特征，將進(jìn)化過(guò)程分為兩個(gè)階段：全局優(yōu)化和局部?jī)?yōu)化。遺傳算法最早由Holland 在1975 年提出，由于具有較強(qiáng)的全局搜索能力等眾多特點(diǎn)，遺傳算法被廣泛應(yīng)用于解決車(chē)輛路徑優(yōu)化問(wèn)題[26]。由Mladenovic＇和Hansen 提出的變鄰域搜索算法通過(guò)系統(tǒng)地執(zhí)行鄰域變換程序以獲得更好的解，它具有很好的局部搜索能力[30]。根據(jù)上述兩種方法的特點(diǎn)以及本問(wèn)題的特征，本啟發(fā)式方法在全局優(yōu)化中采用遺傳算法，而局部?jī)?yōu)化則采用變鄰域搜索算法。

1.全局優(yōu)化

遺傳算法包括交叉互換、變異和復(fù)制等算子，本啟發(fā)式方法在進(jìn)行全局優(yōu)化時(shí)采用單點(diǎn)變異和雙點(diǎn)變異兩種算子。分別以圖4 和圖5 來(lái)說(shuō)明單點(diǎn)變異和雙點(diǎn)變異的過(guò)程。對(duì)于單點(diǎn)變異，首先從解集中隨機(jī)選擇一個(gè)解（如3-4-7-9-13-10-1-2-5-14-8-6-11-12），并從該染色體中隨機(jī)選擇一個(gè)基因（如圖4 的 “ 1 ” ）。以該變異點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)，將染色體截取為3-4-7-9-13-10 和2-5-14-8-6-11-12 兩個(gè)染色體片段，并交換兩個(gè)染色體片段的位置以形成新的染色體，即：2-5-14-8-6-11-12-1-3-4-7-9-13-10。

圖4 單點(diǎn)交叉變異

染色體雙點(diǎn)變異的過(guò)程如圖5 所示，同樣從解集中隨機(jī)選擇一條染色體（如2-5-14-8-6-11-12-1-3-4-7-9-13-10），并在該染色體中任意選擇兩個(gè)基因（如圖5 的 “ 8 ” 和 “ 4 ” ）。以?xún)蓚€(gè)變異基因?yàn)楣?jié)點(diǎn)將染色體截取為3 個(gè)片段：2-5-14，6-11-12-1-3 和7-9-13-10。其中，采用倒序的方式對(duì)兩個(gè)變異基因間的片段進(jìn)行重新排序，從而得到新染色體，即2-5-14-8-3-1-12-11-6-4-7-9-13-10。

圖5 兩點(diǎn)交叉變異

2.局部?jī)?yōu)化

由于VNS 具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單和魯棒性較強(qiáng)等特點(diǎn)[31]，因此被廣泛應(yīng)用于VRP 的相關(guān)研究中[28]。VNS 系統(tǒng)地將鄰域分為兩個(gè)相互作用的階段，變鄰域下降階段（VND） 的目的在于得到局部最優(yōu)，而擾動(dòng)階段來(lái)跳出當(dāng)前局部最優(yōu)。這里，采用兩種擾動(dòng)策略來(lái)完成VNS 的擾動(dòng)：1） 隨機(jī)移動(dòng)虛擬客戶(hù)在染色體的位置，如圖6（a） 所示。2） 調(diào)整虛擬客戶(hù)的數(shù)量，如圖6（b） 所示。具體而言，1） 當(dāng)現(xiàn)有染色體的虛擬客戶(hù)數(shù)量為K-1，則隨機(jī)減少一個(gè)虛擬客戶(hù)；2） 當(dāng)現(xiàn)有染色體的虛擬客戶(hù)數(shù)為0 時(shí)，則增加一個(gè)虛擬客戶(hù)并隨機(jī)插入到染色體的其中一個(gè)位置；3） 當(dāng)現(xiàn)有虛擬客戶(hù)的數(shù)量介于1 和K-2 之間，則隨機(jī)增加或減少一個(gè)虛擬客戶(hù)。VND 中依次包含的結(jié) 構(gòu) 有Insert、Move-Best、Two-Opt、Swap-Best、Extract-Insert 和Extract2-insert[32]。

圖6 兩個(gè)VNS 擾動(dòng)策略實(shí)例

在局部?jī)?yōu)化中基于上述2 個(gè)擾動(dòng)策略和6 個(gè)鄰域結(jié)構(gòu)：首先產(chǎn)生一個(gè)初始解，并執(zhí)行第1 個(gè)擾動(dòng)策略以得到該初始解的擾動(dòng)解，記為S（i）；針對(duì)該擾動(dòng)解S（i），依次執(zhí)行上述6 個(gè)鄰域結(jié)構(gòu)，不斷優(yōu)化該擾動(dòng)解，直至找到局部最優(yōu)解。如果找到的局部最優(yōu)解優(yōu)于S（i），則重復(fù)執(zhí)行第1 個(gè)擾動(dòng)策略，否則則執(zhí)行第2 個(gè)擾動(dòng)策略。重復(fù)上述過(guò)程，但所有擾動(dòng)策略執(zhí)行完畢后，則VNS 的過(guò)程結(jié)束，該過(guò)程將輸出優(yōu)化后的解。

五、算例分析及討論

為了驗(yàn)證本方法的性能，通過(guò)模擬產(chǎn)生100 個(gè)仿真場(chǎng)景。具體而言，隨機(jī)產(chǎn)生一組客戶(hù)集合（包括客戶(hù)的數(shù)量、客戶(hù)的位置、客戶(hù)取送貨重量、客戶(hù)的時(shí)間窗）、配送中心的位置以及車(chē)輛最大數(shù)量。同時(shí)，為便于比較，引入標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法作為比較基準(zhǔn)。為了減少誤差，對(duì)于每個(gè)仿真場(chǎng)景，都用兩種算法分別運(yùn)行30 次，并對(duì)這30 次結(jié)果取平均值（如圖7）。

圖7 兩種算法總成本對(duì)比

為了探索兩種方法的性能是否有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上的差異，使用配對(duì)樣本t 檢驗(yàn)的方法對(duì)二者的結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步分析。檢驗(yàn)結(jié)果分別如表2 和表3 所示：遺傳算法得到的總成本均值為978.74，標(biāo)準(zhǔn)偏差為271.30，而啟發(fā)式方法得到的成本均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差分別為823.82 和280.96，t（100）=23.90，p＜0.05，說(shuō)明在0.05 的顯著性水平下，相比于遺傳算法，啟發(fā)式方法得到的總成本顯著較低。

表2 描述統(tǒng)計(jì)（遺傳算法Vs.啟發(fā)式方法）

表3 配對(duì)樣本t 檢驗(yàn)結(jié)果（遺傳算法Vs.啟發(fā)式方法）

六、研究總結(jié)與展望

近年來(lái)，我國(guó)電子商務(wù)的快速發(fā)展帶動(dòng)了快遞行業(yè)的發(fā)展，相應(yīng)地也加劇了該行業(yè)的競(jìng)爭(zhēng)。 “ 最后一公里 ” 作為電子商務(wù)物流活動(dòng)的最后環(huán)節(jié)，在提升物流效率、降低物流成本和提高服務(wù)滿(mǎn)意度等方面具有重要意義；與此同時(shí)， “ 最后一公里 ” 同樣也面臨眾多問(wèn)題和挑戰(zhàn)。

“ 最后一公里 ” 整合正逆向物流的車(chē)輛優(yōu)化問(wèn)題，被抽象為一個(gè)VRPSPDTW，設(shè)計(jì)一個(gè)基于遺傳算法和變鄰域搜索算法的3 步驟啟發(fā)式方法來(lái)求解該問(wèn)題。通過(guò)構(gòu)建100 個(gè)仿真場(chǎng)景，并通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析的結(jié)果驗(yàn)證了該啟發(fā)式方法具有較好的性能。

盡管所設(shè)計(jì)的啟發(fā)式方法能夠較好地解決同時(shí)取送貨的帶有時(shí)間窗的車(chē)輛路徑規(guī)劃問(wèn)題，但是隨著客戶(hù)規(guī)模的增加，算法的效率還有待提升。除此之外，由于交通擁擠、等待客戶(hù)等情況時(shí)有發(fā)生，這就使得將交通時(shí)間和服務(wù)客戶(hù)時(shí)間視為確定值往往與實(shí)際情況不符合。因此，未來(lái)在研究 “ 最后一公里 ” 物流車(chē)輛路徑優(yōu)化時(shí)，需要進(jìn)一步考慮這些隨機(jī)因素。

注釋?zhuān)?/p>

①數(shù)據(jù)來(lái)源：國(guó)家統(tǒng)計(jì)局.