立足函數(shù)性質(zhì)背景 解決數(shù)列中的恒成立問題

江蘇省盱眙中學(xué) (211700) 梁 義

恒成立問題是高考中的熱點問題，在近幾年的各地?？?、高考試題中，以數(shù)列為載體的恒成立問題，立意更高，綜合性更強，值得我們?nèi)パ芯亢完P(guān)注.等差、等比數(shù)列作為兩個特殊的數(shù)列，其通項公式、求和公式和一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)都有一定的聯(lián)系，充分挖掘二者的函數(shù)背景，可以加深對等差、等比數(shù)列的理解．

一、典例精析

若2d-1>0，不恒成立，舍去；

綜上所述0

評析：數(shù)列本質(zhì)上是一種特殊的函數(shù)，因此，研究數(shù)列的圖象和性質(zhì)，應(yīng)注意從函數(shù)的觀點入手，靈活運用函數(shù)思想，選用參變分離、含參討論等方法，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題進行處理.

二、借題發(fā)揮

分析：本題第(3)問中的{cn}為等差數(shù)列，所以通項cn是關(guān)于n的一次函數(shù)表達式，根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性分析可得d=0；而數(shù)列{dn}、{en}的單調(diào)性可以通過作差來確定，結(jié)合反證法得d=0，c1=0.

解析：(1)(2)略；

綜上，存在唯一的等差數(shù)列{cn}，其通項公式cn=0，n∈N*滿足題設(shè)．

評析：數(shù)列可看作自變量為正整數(shù)的一類函數(shù),數(shù)列的通項公式相當于函數(shù)的解析式,所以我們可以用函數(shù)的觀點來研究數(shù)列.但要注意數(shù)列與函數(shù)的不同,數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù),在解決問題時要注意這一特殊性.

三、思維拓展

分析：第(3)問根據(jù)數(shù)列{cn}是等比數(shù)列可知通項為指數(shù)型函數(shù)，故可以對不等式兩邊取對數(shù)運算，“化超越為平凡”，進而了構(gòu)造新函數(shù)，再以導(dǎo)數(shù)為工具分析新函數(shù)的單調(diào)性，從而得到q的取值范圍.

評析：以等比數(shù)列為例，其離散點對應(yīng)的連續(xù)曲線符合指數(shù)函數(shù)凸性背景，可以看出本題源自于函數(shù)，以數(shù)列為載體呈現(xiàn)，其實還是以函數(shù)為主導(dǎo)的考察．

四、策略微探

數(shù)列是特殊的函數(shù)，因此，對于與數(shù)列有關(guān)的恒成立問題，可以聯(lián)系函數(shù)中求最值的常用方法與策略：分離變量——構(gòu)造新數(shù)列——作差(商)比較或借助導(dǎo)數(shù)——判斷數(shù)列單調(diào)性——確定最值，進而求得變量取值范圍.除了單調(diào)性，周期性、凹凸性等在數(shù)列中也有廣泛的應(yīng)用，在較高的層面對函數(shù)性質(zhì)的運用有了新的要求，在學(xué)習(xí)過程中要加以總結(jié)規(guī)律，梳理方法步驟.

五、自主探究

(2)若an>0，且Sn+1≥2an+1，是否存在正整數(shù)k，使得無窮數(shù)列bk+1，bk+2，bk+3，…成公差不為0的等差數(shù)列？若存在，給出數(shù)列{an}的一個通項公式；若不存在，請說明理由.

(2)若an=n+k-3(k>0)，且{an}的“L數(shù)列”為遞增數(shù)列，求k的取值范圍；

(3)若an=1+pn-1，其中p>1，記{an}的“L數(shù)列”的前n項和為Sn，試判斷是否存在等差數(shù)列{cn}，對任意n∈N*，都有cn