一道圓錐曲線定值問(wèn)題的探究與思考

江蘇省南京市棲霞中學(xué) (210046) 劉建國(guó)

圓錐曲線的定值定點(diǎn)問(wèn)題一直是高考考察的一個(gè)熱點(diǎn)與難點(diǎn)，多以壓軸題的形式呈現(xiàn)，此類問(wèn)題多以考察學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，教師在平時(shí)教學(xué)中，不僅僅是引導(dǎo)學(xué)生掌握定值問(wèn)題的解法，更要注重對(duì)這類問(wèn)題的本質(zhì)進(jìn)行梳理與探究(如文[1])，通過(guò)類比發(fā)散，在試題的剖析上更要有深度與廣度，引導(dǎo)學(xué)生在解題的基礎(chǔ)上對(duì)其進(jìn)行深度學(xué)習(xí)與探究學(xué)習(xí)，找到解決問(wèn)題的路徑與方法，在課堂中潛移默化的灌輸數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).筆者主要借助于2020北京卷中圓錐曲線定值問(wèn)題，對(duì)其進(jìn)行探究與類比，得出相應(yīng)結(jié)論，展示探究這類問(wèn)題的一般思路.

一、試題展示與解析

評(píng)注：本題以橢圓為載體，主要考察了定值問(wèn)題，常用的技巧是“設(shè)而不求”的思想，通過(guò)數(shù)形結(jié)合與解析幾何的解題的通法解決問(wèn)題，同時(shí)本題主要體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考察.

二、提煉結(jié)論

由2020年北京卷圓錐曲線的定值問(wèn)題，通過(guò)對(duì)條件與結(jié)論的對(duì)比觀察，可以發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)與點(diǎn)B的更坐標(biāo)的乘積恰好是a2，得到y(tǒng)P+yQ=0,那么對(duì)于更為一般的橢圓方程，如果滿足上述條件，則也具有相應(yīng)的定值結(jié)論，如下所示：

圖1

圖2

三、結(jié)論推廣

對(duì)于橢圓中有如上的定值結(jié)論，通過(guò)類比推理與邏輯推理，在圓錐曲線中的拋物線中也有類似的結(jié)論，如下：

圖3

同樣在雙曲線中也有類似的結(jié)論，如下：

圖4

評(píng)注：本結(jié)論的證明過(guò)程與結(jié)論1的證明過(guò)程類似，這里不再贅述，有興趣的讀者可以仿照結(jié)論1進(jìn)行證明.

四、幾點(diǎn)思考

1 深入探究題源，發(fā)揮高考題的功能

本文是以2020北京卷的圓錐曲線定值問(wèn)題為載體，在解題過(guò)程中尋找條件與結(jié)論之間的關(guān)系，通過(guò)大膽猜想，小心驗(yàn)證的方式得到結(jié)論1，圓錐曲線有很多類似的性質(zhì)，這些都體現(xiàn)了圓錐曲線的內(nèi)在統(tǒng)一的特征，這些內(nèi)在統(tǒng)一的結(jié)論可以通過(guò)類比思想將知識(shí)由一種曲線遷移到不同的曲線中去進(jìn)行探究其結(jié)論，這就要求教師在解題教學(xué)中要善于思考與引導(dǎo)，這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).因此，在平時(shí)備考過(guò)程中，教師有必要引導(dǎo)學(xué)生挖掘高考題的內(nèi)涵與本質(zhì)，而不是讓學(xué)生成為解題的工具，跳出題海，才能讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣.

2 強(qiáng)化題后反思，引導(dǎo)學(xué)生思維遷移

圓錐曲線的定值問(wèn)題往往具有代表性，引申性，教師教學(xué)過(guò)程中，注重題后的反思，在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探究過(guò)程中，應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生的類比聯(lián)想，讓學(xué)生不拘泥于一道題目的解答，引導(dǎo)學(xué)生掌握題目本質(zhì)上的內(nèi)涵，方可達(dá)到一道題解決一類題的效果，從一個(gè)問(wèn)題到解決另一個(gè)問(wèn)題上的思維上尋找共性，只有這樣，才能讓學(xué)生真正明白題目命制的背景，在解題思路的基礎(chǔ)上得到思維的發(fā)展，這就需要教師在引導(dǎo)學(xué)生探究這些結(jié)論時(shí)，應(yīng)該注重學(xué)生思維的發(fā)展，加強(qiáng)學(xué)生能力的提升，重視數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

3 重視數(shù)學(xué)運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開(kāi)數(shù)學(xué)與運(yùn)算，不會(huì)算、一算就錯(cuò)、有思路算不出結(jié)果是大多數(shù)考生備考中最常見(jiàn)的問(wèn)題，究其原因是因?yàn)閷W(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的欠缺，應(yīng)該重視對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)算理的選擇，幫助學(xué)生樹(shù)立在圓錐曲線問(wèn)題上的信心.