例談模型在解2020年高考試題中的應(yīng)用*

西華大學(xué)理學(xué)院 (610039) 郭 洪 內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (641100) 劉成龍 程 雙

李尚志教授指出：能夠用現(xiàn)成公式加以變通解決不現(xiàn)成的問(wèn)題，就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的“數(shù)學(xué)建模”.具體來(lái)講，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是指由數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題內(nèi)涵的素養(yǎng).數(shù)學(xué)模型作為用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題內(nèi)涵的“平臺(tái)”，它是將具體的數(shù)學(xué)關(guān)系抽象出來(lái)反應(yīng)特定問(wèn)題或事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系或結(jié)構(gòu).[1]實(shí)踐表明，數(shù)學(xué)模型可以提升數(shù)學(xué)問(wèn)題解決效率，減輕學(xué)生思維負(fù)荷，這與“多一點(diǎn)想，少一點(diǎn)算”的命題理念不謀而合.基于此，本文以2020年高考試題為例，談?wù)勀Ｐ偷膽?yīng)用.

模型1極化恒等式模型[1]

模型2焦點(diǎn)弦模型

模型3焦點(diǎn)三角形面積模型

A．1 B．2 C．4 D．8

解析：選A，解法同例3，過(guò)程略.

模型4任意三角形面積模型

模型5點(diǎn)到直線距離公式模型

例7 (2020年全國(guó)Ⅰ卷第11題)已知⊙M:x2+y2-2x-2y-2=0，直線l：2x+y+2=0，P為l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓M的切線PA和PB，切點(diǎn)為A和B，當(dāng)|PM|·|AB|最小時(shí)，直線AB的方程為．

A．2x-y-1=0 B．2x+y-1=0

C．2x-y+1=0 D．2x+y+1=0

圖1

模型6等系數(shù)和模型

圖2

綜上，CD=3.6或CD=0.

模型7基本不等式模型

若a、b∈R，則a2+b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取得等號(hào)).

解析：通過(guò)分析題目可知a、b、c中必然有兩個(gè)為負(fù)變量，一個(gè)為正變量，現(xiàn)不妨假設(shè)a>0，b<0，c<0.