積累基本活動經(jīng)驗 發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)
——以一道例題教學(xué)片段為例

江蘇省蘇州市吳縣中學(xué) (215151) 吳海燕

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年)》(下稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》)自頒布以來，引起了許多一線教師的關(guān)注與熱議，大家最關(guān)心的是如何發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).筆者在實踐中認(rèn)識到,積累基本活動經(jīng)驗不僅是“四基”的重要組成部分，也是學(xué)生提高“四能”、學(xué)會“三學(xué)會”的有效載體，更是學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑，對于實現(xiàn)課程目標(biāo)具有重要的意義.下面筆者以一道例題教學(xué)片段為例，幫助學(xué)生正確解讀和表征題目條件，運用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想來解決問題，提升學(xué)生解決圓錐曲線綜合題的實戰(zhàn)能力.以此來幫助學(xué)生積累基本活動經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

題目展示已知橢圓C的焦點為F1(-1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過F2的直線與C交于A,B兩點．若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，則C的方程為( ).

該題是2019年全國卷Ⅰ理科的第10題，涉及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)和直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，難度中等偏上，題目敘述簡潔入口寬，能有效甄別學(xué)生的思維能力，更是考察學(xué)科素養(yǎng)的良好素材，所以筆者決定和學(xué)生們共同解決.

1．親歷活動，獲取基本活動經(jīng)驗

一位名人說過：我聽過了，我就忘了；我看見了，我就記得了；我做過了，我就理解了.這句話道出了獲取基本活動經(jīng)驗的重要性，學(xué)生在平時得到的經(jīng)驗往往是感性的、碎片化的，難以完善自身的知識認(rèn)知結(jié)構(gòu)，而經(jīng)驗性的認(rèn)識往往是內(nèi)隱的，這就需要我們教師設(shè)計、組織好每一個數(shù)學(xué)活動，以數(shù)學(xué)知識為載體，培養(yǎng)學(xué)生善觀察、樂傾聽、愛表達(dá)，會思辯的良好習(xí)慣，最終能使他們從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，并揭示出理性認(rèn)識后的理性經(jīng)驗.

師：同學(xué)們，拿到一個解析幾何問題，我們?nèi)绾蝸韺忣}？

生眾：邊閱讀題目信息、邊畫出其示意圖.

師：解析幾何問題盡可能將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言和圖形語言.能交流一下這道題的想法嗎？

師：生1具有強烈的定義意識，輕松得出了各條線段的長度，定義法是解決圓錐曲線問題的重要方法，順著生1的結(jié)果，大家能否根據(jù)題中的條件進行更深入的思考呢？

此時，教室里一片安靜，同學(xué)們都在認(rèn)真的思考和運算，5分鐘后大部分同學(xué)都有了自己的想法，這時，生2的手舉得高高的，于是讓生2來說一下他的思路.只見生2不慌不忙走上講臺，一邊口頭表述，一邊在黑板上板演.

圖1

(寫到這里生2似乎很興奮)

師：生2能夠抓住解析幾何的本質(zhì)—用代數(shù)的方法來研究解析幾何問題，用向量知識將長度關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，結(jié)合方程組利用消元思想求解，整個求解過程體現(xiàn)了他較高的邏輯推理能力，較強的觀察能力，變形能力和運算能力，雖然過程繁瑣，但他還是順利的到達(dá)了終點，讓我們?yōu)樯?這種堅韌不拔的精神點個贊(教室里響起了熱烈的掌聲).同學(xué)們!數(shù)學(xué)解題不僅是為了解決一個問題，更是培養(yǎng)我們一種契而不舍的精神，這對我們今后的學(xué)習(xí)和工作都是大有裨益的.那么這個題目還有別的思路嗎？請同學(xué)們分組討論一下.

學(xué)生們展開了熱烈的討論.一段時間過后，生3主動起來回答.

師：漂亮！生3先由線段關(guān)系發(fā)現(xiàn)點A的特殊性，而后迅速求出點B，再利用其在橢圓上得出了答案，快速簡潔的求解得益于他較強的直觀想象能力，這種數(shù)形結(jié)合的意識值得我們學(xué)習(xí).還有別的解法嗎？

說完，我便在黑板上畫出了圖2.這時，發(fā)現(xiàn)平時向來比較活潑的生4正眉頭緊鎖，若有所思地看著黑板上的圖2，突然他興奮地跳了起來，走上講臺，一邊走一邊喊：我有更簡單的解法.

圖2

圖3

圖4

基本活動經(jīng)驗的獲取強調(diào)學(xué)生的主體性,學(xué)生只有通過自己親身經(jīng)歷的活動經(jīng)驗才能更好地內(nèi)化于心、外化于行,才能更好地發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).縱觀整個課堂，教師鼓勵學(xué)生自主探究、大膽陳述個人見解，引發(fā)學(xué)生進行充分的交流與真實的碰撞.在整個活動過程中，學(xué)從不同角度給出了試題的多種解法，而且通過在黑板上的講、畫結(jié)合的形式，給所有學(xué)生帶來一種別樣的解題體驗，不僅使大家對題目的本質(zhì)有了較清晰的認(rèn)識，而且獲取了幾何直觀助力代數(shù)推理和細(xì)致觀察決定運算變形等基本活動經(jīng)驗，讓直觀想象、數(shù)學(xué)推理及數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)落地生根.

如果本題的教學(xué)僅限于止，學(xué)生則如“入寶山而空返”，收獲的只是解決問題的基本經(jīng)驗，并未對解法的本質(zhì)、各解法之間的比較等有更深層次的認(rèn)識，不利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).因此，需要教師幫助學(xué)生進一步提升基本活動經(jīng)驗.

2．主動反思，提升基本活動經(jīng)驗

學(xué)生經(jīng)歷或參與了數(shù)學(xué)活動并不是就能自動地獲得充足的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，它還需要學(xué)生主動地對活動過程進行反思、總結(jié)和交流，及時概括所獲得的經(jīng)驗，使已得經(jīng)驗條理化和系統(tǒng)化.因此，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生對上述三個解法的由來、思維的過程以及運算的合理性等進行反思，讓其體會到弄清問題，擬定計劃在問題分析中的價值，養(yǎng)成批判性思維的習(xí)慣，以實現(xiàn)數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗從低層次理解到高層次建構(gòu)的生長.

師：同學(xué)們，剛剛我們用三種不同的方法解決了這個高考題，著名數(shù)學(xué)家波利亞提出的“怎樣解題表”中“擬定計劃”非常關(guān)鍵，它能清晰的展現(xiàn)解題的思維過程，大家能分別列出這三種方法的思維導(dǎo)圖嗎？經(jīng)過大家的共同努力，學(xué)生們很快得出了結(jié)果.

解法一思維導(dǎo)圖：

解法二思維導(dǎo)圖：

排尿性暈厥又稱小便猝倒，是指在排尿開始、排尿過程中或排完尿離開廁所時突然暈倒。主要是由于血管舒張和收縮障礙造成低血壓，引起大腦一時供血不足所致。暈厥持續(xù)的時間，少則數(shù)秒鐘，多則半小時，一般休息幾個小時就會恢復(fù)正常，不會留下后遺癥。排尿性暈厥多見于中老年男性，一般好發(fā)在夜間，常常突然發(fā)生，之前多無先兆?；加蟹谓Y(jié)核、神經(jīng)衰弱和氣血兩虛的病人易發(fā)生此種暈厥。此外，病后體虛、過度疲勞以及飲酒等也可誘發(fā)這種現(xiàn)象。

解法三思維導(dǎo)圖：

學(xué)生制作思維導(dǎo)圖的過程是培養(yǎng)其自主、合作和探究的過程，宏觀上能夠在頭腦中梳理解題思路，再現(xiàn)分析問題的思維過程；微觀上通過線條將思維的觸角延伸到解題的每一個環(huán)節(jié)，使學(xué)生的思維對每一個環(huán)節(jié)都比較清晰，便于學(xué)生面對具體問題時進行方法遷移，體會“擬定計劃”之關(guān)鍵.

師：這三張思維導(dǎo)圖為我們提供了思考問題的引導(dǎo)框架，大家能談?wù)勀銓@三種方法的認(rèn)識嗎？

師：這需要我們有完整的知識結(jié)構(gòu)和解題經(jīng)驗的積累，并能在不同的情境下對問題進行轉(zhuǎn)化.

生6：解法二和解法三與解法一的運算順序相剛好反，都是先利用線段AF1,AF2的相等關(guān)系并結(jié)合圖形得出點A位置的特殊性(這里我覺得應(yīng)養(yǎng)成把題中所求線段長及時標(biāo)注在圖中的習(xí)慣，有利于發(fā)現(xiàn)幾何關(guān)系.)，從而迅速鎖定點A坐標(biāo)，接下來，法二利用坐標(biāo)關(guān)系便捷的算出點B坐標(biāo)，法三則從圖形中的幾何特征入手，利用三角形相似也輕松得出了點B的坐標(biāo)，真是殊途同歸呀！縱觀整個法二和法三的求解過程，不僅運算長度大大縮短，而且較法一大大降低了運算量.我認(rèn)為解法三是最簡捷的解法，平幾知識的介入使其運算量小，且易于操作， 真正體現(xiàn)了多想少算的解題理念.因此，在解決圓錐曲線問題時，我們要注重充分挖掘圖形中的幾何關(guān)系，結(jié)合圖形的特點利用中垂線的性質(zhì)、三角形相似的性質(zhì)等進行邏輯推理和轉(zhuǎn)化求解，直到問題解決為止.這要求我們平時要注重對直觀想象和邏輯推理等能力的培養(yǎng).

師：解法二和解法三的順利進行得益于點A特殊位置的發(fā)現(xiàn)，同時也向我們滲透了一種解題的哲學(xué)思想—普遍性都寓于特殊性之中，發(fā)現(xiàn)了問題的特殊性，就找到了問題的突破口.

學(xué)生通過對第一階段數(shù)學(xué)活動過程的反思和總結(jié)，雖然形成了較為有條理的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，但這時經(jīng)驗的提升也僅限于解決一個高考題的活動經(jīng)驗，同時，學(xué)生由于受自身知識水平、社會閱歷和解題經(jīng)驗等因素的制約，很難將活動經(jīng)驗順利應(yīng)用于新的情境中去，這時，就需要我們教師幫助學(xué)生在合作交流的過程中促進數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的內(nèi)化和感悟，以便更好的實現(xiàn)遷移.

3.內(nèi)化感悟，遷移基本活動經(jīng)驗

教師作為數(shù)學(xué)教學(xué)的組織者、引導(dǎo)者，要幫助學(xué)生將數(shù)學(xué)活動中內(nèi)隱的數(shù)學(xué)思想方法轉(zhuǎn)變成相對外顯的、可以表達(dá)的知識和技能等數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，讓學(xué)生感悟到這種經(jīng)驗已經(jīng)脫離了某個具體的情境，顯得更加直觀，有一種“眼見為實”的感覺，而且在遇到新問題時可以自發(fā)的運用這些經(jīng)驗成功解決，讓學(xué)生感覺到學(xué)習(xí)是快樂的.

師：同學(xué)們！到目前為止，大家對這道高考題的本質(zhì)有了深刻的認(rèn)識，解題的最高境界是從解題中學(xué)會解題，今后當(dāng)我們面對一個陌生問題時，本題處理時的哪些經(jīng)驗值得我們借鑒呢？

生7：解析幾何問題的求解不能更多的偏重于代數(shù)運算，而忽略對幾何性質(zhì)的挖掘.

師：很好！解決任何數(shù)學(xué)問題都應(yīng)從代數(shù)和幾何兩個維度來思考，這是一個普遍性的原理，解析幾何問題的求解也不例外，幾何性質(zhì)運用恰當(dāng)不僅可以優(yōu)化算法路徑、縮短解題長度，而且還可以降低運算量，提高我們的正確率.因此，我們的解題需要數(shù)形結(jié)合意識.

生8：一個題目中如果有多個已知條件，在運算求解時必然涉及到先用哪個條件后用哪個條件的順序問題，按照不同的順序求解，往往能收到令人意想不到的效果.

師：生8的觀察很仔細(xì)，數(shù)學(xué)運算是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，也是我們每天進行的數(shù)學(xué)活動，《課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出要在關(guān)聯(lián)的情境中設(shè)計運算程序，解決問題.這里設(shè)計運算程序就涉及運算順序問題，如果一味的按照題設(shè)條件的出場順序自然求解，難免會陷入困境，這就要求我們在擬定計劃時要有足夠的思維量，對解題中可能出現(xiàn)的繁簡程度和運算量作出預(yù)判，并及時進行修正和優(yōu)化，確保設(shè)計出最合理的運算順序，來提高解題的速度和精準(zhǔn)度.

因此，平時我們一定要加強自己的思維訓(xùn)練，積累解題經(jīng)驗，以便為解題時設(shè)計合理的運算順序提供依據(jù).

生9：解題中我們還應(yīng)加強對一些常見經(jīng)驗的總結(jié)，比如，本題中兩個線段的等量關(guān)系，可以從向量的角度來處理.這些，有助于我們碰到類似問題時，能順利實現(xiàn)轉(zhuǎn)化.

師：著名數(shù)學(xué)家笛卡爾曾說過：“我解決過的每一個問題都成為日后用以解決其他問題的法則.”這句話強調(diào)了解題經(jīng)驗積累的重要性，熟悉一些經(jīng)典套路，多往典型題型上靠攏，有助于提升我們看問題的起點，跨越思維障礙，快速、準(zhǔn)確的洞悉問題的本質(zhì)，制定出可行的解題計劃實現(xiàn)順利求解.這就要求我們的數(shù)學(xué)解題要實現(xiàn)從“就題論題“到”經(jīng)驗積累“的跨越，因為這些經(jīng)驗才是我們今后解決相關(guān)問題的利器.

學(xué)生對相關(guān)解題經(jīng)驗的分享，旨在由此及彼，由點到面，獲得解決類似數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗，這些經(jīng)驗的內(nèi)化，不僅能更好的幫助理解基礎(chǔ)知識，掌握基本技能得，感悟數(shù)學(xué)基本思想，而且能對基本活動經(jīng)驗本身產(chǎn)生再認(rèn)和再生，有利于學(xué)生形成更高和更完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，養(yǎng)成用一般觀念思考問題的習(xí)慣.比如，這道高考題與生4所說的題目雖然呈現(xiàn)方式不一樣，但如果學(xué)生積累了 “降維”的基本活動經(jīng)驗，三角形相似方法的出現(xiàn)便是基本活動經(jīng)驗順利遷移的產(chǎn)物.

總之，作為一名數(shù)學(xué)教師，我們應(yīng)在課堂教學(xué)中給學(xué)生提供充分?jǐn)?shù)學(xué)活動的機會，注重積累和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，讓學(xué)生在對話交流與深刻反思中理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，獲取理性的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，并學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，從而有效的促進數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展.