最優(yōu)化問題的二階最優(yōu)性條件中臨界錐不同表達形式的研究

曲皓月，張 杰，王夢茹

（遼寧師范大學 數學學院，遼寧 大連 116029）

非線性規(guī)劃是帶有等式和不等式約束的約束優(yōu)化問題，是最優(yōu)化理論中較常見的一種數學模型，在交通運輸、物流管理、投資組合等諸多社會經濟生活領域有重要的應用。對非線性規(guī)劃最優(yōu)性條件的研究已經相當成熟，可見于各種優(yōu)化方法的教材，如文獻[1-5]。但在這些教材中對非線性規(guī)劃二階最優(yōu)性條件的描述中，所涉及到的臨界錐有著多種不同的表達形式，初學者在接觸這部分知識時可能會感到困惑。因此歸納出不同教材中臨界錐的不同表達形式并對它們之間的聯(lián)系進行研究是非常有意義的，這會讓初學者對臨界錐及二階最優(yōu)性條件有更深層次的理解，并使得二階最優(yōu)性條件有統(tǒng)一的表達式。本研究考慮如下形式的非線性規(guī)劃問題：

其中，f,hi,i= 1,2,…,p,gj,j= 1,2,…,q是Rn到R 的映射且二次連續(xù)可微，總結了不同教材中臨界錐的六種表達形式，給出了這些集合之間的聯(lián)系，并給出這些集合相等的充分條件。文章安排如下：第一節(jié)給出預備知識，接下來在第二節(jié)中給出主要結果。首先給出一些預備知識。

1 預備知識

本節(jié)給出的預備知識主要來自于國內外優(yōu)化方法的經典教材和專著，見文獻[1-7]。點x∈Rn被稱為問題（1）的可行點，如果x滿足（1）的約束條件。所有可行點所組成的集合稱為可行域，記（1）的可行域為X，

則稱d是X在x*處的線性化可行方向，X在x*處的所有線性化可行方向的集合記為LFD(x*,X)。

定義4 設x*∈X,d∈Rn，如果存在序列dk(k= 1,2,…)和δk＞0(k= 1,2,…)使得x*+δkdk∈X，?k且有dk→d和δk→0，則稱d是X在x*處的序列可行方向，X在x*處的所有序列可行方向的集合記為SFD(x*,X)。

注意到根據文獻[3]中的定義，LFD(x*,X)和SFD(x*,X)中不含有零方向，但在文獻[4]和文獻[6]的定義中，這兩個集合含有零方向。本研究采用了后者的定義，原因是此時的方向集合是閉集合，方便后續(xù)的研究，也與錐優(yōu)化中線性化切錐和切錐的定義相一致。

定義5 設Y是有限維Hilbert空間，Z是Y中的閉子集，x∈Z，則Z在x處的切錐定義為

2 臨界錐不同表達形式的相互關系

所以得到C(x*)?S(x*,μ*,λ*)，證畢。

如果線性無關約束規(guī)范不成立時，會存在d∈F(x*,μ*,λ*)但d?S(x*,μ*,λ*)的情況，本研究引用文獻[8]中用來研究Guignard約束規(guī)范的例子進行說明。

例1 考慮下述優(yōu)化問題：

證明 由定理1 只需證明C(x*)?F(x*,μ*,λ*)，根據文獻[6]中的定理8.2.7 可知在M-F 約束規(guī)范下，LFD(x*,X)= SFD(x*,X)=TX(x*)，所以根據定理1 中（vii）的后半部分證明直接得到C(x*)?F(x*,μ*,λ*)，證畢。

3 結論

本研究總結歸納了不同最優(yōu)化方法教材中的臨界錐的表達形式，給出了這些臨界錐的關系，并得到了保證這些臨界錐相等的充分條件。