右刪失數(shù)據(jù)下半?yún)?shù)線性轉(zhuǎn)換模型的經(jīng)驗似然推斷

劉 宇，李 霓

（海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，海南 ?？?571158）

右刪失數(shù)據(jù)是刪失數(shù)據(jù)中最常見的一種，經(jīng)常出現(xiàn)在醫(yī)學(xué)研究和臨床試驗。在試驗中，試驗的時間是固定的并且每一個被研究的對象是以不同的時間進入試驗中。在試驗研究中，一些被研究的對象可能在研究未結(jié)束之前就已經(jīng)死亡，這種情況下，他們的生存時間是確定的；而有些被研究的對象可能在試驗研究未結(jié)束之前中途退出或者突然失蹤，對于這種情況，他們的生存時間存在刪失；除了之前所提及的情況，還存在一些被研究的對象在試驗結(jié)束之后仍然存活，因此他們的生存時間至少是進入試驗研究到研究結(jié)束這段時間。由于右刪失的存在，對回歸參數(shù)的估計通常使用秩估計方法，然而這種估計方法的算法很復(fù)雜并且參數(shù)的方差不容易被計算，因此，本研究考慮使用經(jīng)驗似然方法進行統(tǒng)計推斷。

經(jīng)驗似然的方法是由Owen[1-3]提出，其思想起源于Thomas和Grunkemeier[4]，該方法是一種非參方法并且對數(shù)據(jù)的分布函數(shù)不需要做任何的假設(shè)，與傳統(tǒng)的正態(tài)逼近方法的不同之處是不需要估計協(xié)方差去構(gòu)造置信區(qū)間，自O(shè)wen 將經(jīng)驗似然方法引入統(tǒng)計研究領(lǐng)域以來得到了廣泛的應(yīng)用。Qin 和Lawless 介紹了經(jīng)驗似然方法以及該方法的核心估計方程[5]。Qin和Jing考慮了經(jīng)驗似然方法在部分線性模型下的應(yīng)用，并通過數(shù)值模擬比較傳統(tǒng)的漸近正態(tài)方法，結(jié)果表明經(jīng)驗似然方法的結(jié)果明顯優(yōu)于漸近正態(tài)方法[6]。Zhang和Zhao為區(qū)間刪失時間數(shù)據(jù)的線性變換模型提出了經(jīng)驗似然方法[7]。

無偏轉(zhuǎn)換量法是處理右刪失數(shù)據(jù)的一種有效的方法，該方法有三種類型：Buckley-James估計[8-9]、KSV估計[10]和Class K估計，其中KSV估計是Class K估計的一種特殊情形。在一般的模型研究中，首先采用合成數(shù)據(jù)方法將右刪失數(shù)據(jù)完整化，即用合成變量代替響應(yīng)變量，并且二者的期望是相等的，之后應(yīng)用經(jīng)驗似然方法估計未知參數(shù)。如Li 和Wang 在對右刪失數(shù)據(jù)下的線性模型進行經(jīng)驗似然推斷中考慮了Koul、Susala 和Ryzin的KSV方法，并在此基礎(chǔ)之上構(gòu)造了調(diào)整因子，得到的調(diào)整經(jīng)驗似然統(tǒng)計量收斂于標準的卡方分布，提高了線性模型中未知參數(shù)置信區(qū)間的精度[11]。Qin等利用KSV方法對刪失數(shù)據(jù)進行處理分析，研究了部分線性模型中的經(jīng)驗似然推斷[12]。孫志猛等提出了基于KSV 方法的線性變換模型回歸系數(shù)的經(jīng)驗似然推斷[13]。鄧文麗等對刪失的響應(yīng)變量運用無偏轉(zhuǎn)換量，并利用最小二乘方法得到回歸系數(shù)的估計，其估計具有相合性和漸近正態(tài)性[14]。Fang等基于線性模型提出了一種新的經(jīng)驗似然方法，在此過程中使用了Buckley-James估計，證明了KSV方法比Buckley-James需要更強的假設(shè)，并且進行了數(shù)值模擬研究，結(jié)果顯示該方法優(yōu)于Li和Wang的方法[15]。

本研究基于線性轉(zhuǎn)換模型，采用Buckley-James估計將右刪失數(shù)據(jù)完整化，并對完整化后數(shù)據(jù)進行經(jīng)驗似然推斷，之后進行了數(shù)值模擬，模擬結(jié)果顯示在較弱的條件下，本研究所提出的方法優(yōu)于孫志猛等的方法。最后，給出了引理和定理的證明。

1 統(tǒng)計模型和推導(dǎo)過程

若H和μX是已知的，檢驗假設(shè)H0就等于H。然而H和μX是未知的，因此需要估計H和μX的值并且將其代入式（3）中。首先對于μX，用樣本均值-X作為其估計值；其次對于H，采用Chen等基于鞅的性質(zhì)得到的H的有效估計值H?[16]。將所得到的估計值H?和-X代入式（3），記

2 數(shù)值模擬

為了更好地評估所提出的經(jīng)驗似然方法的性能，本研究進行了數(shù)值模擬，把基于Buckley-James方程所提出的經(jīng)驗似然方法（ELBJ）和孫志猛等基于KSV方法所提出的經(jīng)驗似然方法（ELSD）[13]相比較。模擬研究中考慮了兩種模型：模型1，協(xié)變量X的分布是伯努利分布且成功概率為0.5，刪失變量C的服從均勻分布[0,c]，其中c決定刪失率，ε的分布是零均值的極值分布；模型2，協(xié)變量X服從正態(tài)分布N(0,0.52)，其他變量與模型1的選擇是相同的。

在這兩種模型中，H選取自然對數(shù)函數(shù)，回歸參數(shù)β= 1，響應(yīng)變量T由各個模型生成。此模擬研究考慮的刪失率（CR）為15%、30%、45%，樣本容量( )n為60、80、100。兩種模型所得出β的置信區(qū)間覆蓋率分別展示在表1和表2。

表1 模型1中β的置信區(qū)間覆蓋率Table 1 Coverage probabilities of confidence region for β in model 1

表2 模型2中β的置信區(qū)間覆蓋率Table 2 Coverage probabilities of confidence region for β in model 2

從表1和表2中很容易看出，在這兩種模型中，β的覆蓋率均接近正態(tài)水平且當(dāng)刪失率增大時，β的覆蓋率減少。在刪失率較大且樣本量小時，基于Buckley-James方程的經(jīng)驗似然方法得出的β的覆蓋率明顯優(yōu)于基于KSV方法的經(jīng)驗似然方法，此時顯示出文中所提出的方法是有效的。

3 引理和定理的證明