有關(guān)Janowski 型凸象函數(shù)的調(diào)和函數(shù)積分表達(dá)式和系數(shù)不等式

張曉麗，李書海

(赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古赤峰 024000)

1 引言

設(shè)A表示在單位圓盤內(nèi)解析且具有形式

的函數(shù)f(z) 全體.

設(shè)u(z) 和v(z) 是D內(nèi)解析函數(shù)，若存在D內(nèi)解析函數(shù)使得u(z)＝v(ω(z)) ，則稱u(z) 從屬于v(z) ，記為u(z) ?v(z)[1].

設(shè)A，B∈ ?， -1 ≤B ＜ A ≤1 ，若函數(shù)在D內(nèi)解析且滿足條件

則稱p(z)∈P(A，B)[2].顯然P(1 ， -1)＝P是正實(shí)部函數(shù).若p(z)∈P(A，B)，則[3]

用SH表示在圓盤D內(nèi)滿足條件f(0)＝fz(0)-1＝0 的復(fù)值單葉保向調(diào)和函數(shù)且具有形式

的f(z) 組成的函數(shù)類，其中解析部分h(z) 和共軛部分g(z) 均為D內(nèi)解析函數(shù)，并具有下列冪級數(shù)表示[5]

Mocanu 在文獻(xiàn)[6 -8]中引進(jìn)并研究調(diào)和函數(shù)類M性質(zhì).文獻(xiàn)[9]中推廣M，研究函數(shù)類:

孫勇等在文獻(xiàn)[10]中引進(jìn)函數(shù)類M(λ，c)，進(jìn)一步推廣M，得到重要結(jié)果.

那么能否用Janowski 型凸象函數(shù)定義h(z) ，從而進(jìn)一步推廣函數(shù)類M? 有關(guān)這個(gè)問題沒有發(fā)現(xiàn)相關(guān)文獻(xiàn)，是有待進(jìn)一步研究的問題.本文重點(diǎn)討論以上兩個(gè)問題.

2 預(yù)備知識

引進(jìn)如下調(diào)和函數(shù)類Hλ(A，B) :

顯然Hλ(A，B) ?M(λ，c)?Q(D) ?M.

我們需要如下引理:

引理1[11]解析函數(shù)h定義在D上，h是近于凸的充分必要條件為h′(z)≠0 ，且滿足

其中θ1＜θ2＜θ1+2π，0＜r ＜1 .

引理2[12]若調(diào)和函數(shù)對于所有解析函數(shù)h + ηg都是近于凸的，則f也是近于凸的.

引理 3設(shè)A，B∈ ?， -1 ≤B ＜ A ≤1 ，函數(shù)h(z)∈K(A，B) 當(dāng)且僅當(dāng)存在D內(nèi)解析函數(shù)w(z) :w(0)使得

證明：先證必要性.設(shè)函數(shù)h(z)∈K(A，B) ，則

上式兩邊同時(shí)積分兩次，得到

接下來，證明充分性.設(shè)(2.1)式成立. 即存在D內(nèi)解析函數(shù)使得

即h(z)∈K(A，B) .證畢.

本文中，我們將利用解析函數(shù)h(z) 的性質(zhì)，結(jié)合h(z) 和g(z) 的關(guān)系，討論類中調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式和系數(shù)不等式，解決了文獻(xiàn)[9]中相應(yīng)的問題，同時(shí)推廣了文獻(xiàn)[10]中的相關(guān)結(jié)果.

3 主要結(jié)果

首先， 求類中函數(shù)的積分表達(dá)式:

定理1若則存在D內(nèi)解析函數(shù)使得

證明若根據(jù)引理3，存在D內(nèi)解析函數(shù)使得

并結(jié)合g′(z)＝λzh′(z) ，推出

上式兩邊同時(shí)積分，得

由(3.3)和(3.4)即得(3.2)式成立.證畢.

下面證明類中函數(shù)的單葉性:

定理2設(shè)f ＝h + g-∈Hλ(A，B)，則f(z)是單葉近于凸函數(shù).

證明令F(z)＝h(z)- ηg(z)，其中則

顯然F'(z)≠0，z∈D.則利用上式，我們有

所以，依據(jù)引理1 可知F(z)＝h(z)-ηg(z)是近于凸的，由于根據(jù)引理2，f(z)是單葉近于凸函數(shù).證畢.

下面討論系數(shù)估計(jì):

定理3設(shè)則有系數(shù)估計(jì)

注當(dāng)時(shí)，從引理3、定理2 -定理4 分別得到文獻(xiàn)[9]中定理1 -定理4 對應(yīng)的結(jié)果；同時(shí)A ＝1-2β(0 ≤β ＜1)，B ＝-1 時(shí)定理3 局部推廣了文獻(xiàn)[10]中的定理1.

4 結(jié)論