錯因剖析見本質(zhì) 掌握策略促提高

劉燕

中學數(shù)學教材中，二次函數(shù)占有重要的地位，不管是在代數(shù)里還是在幾何中，用到二次函數(shù)的次數(shù)特別多?，F(xiàn)將平時作業(yè)與練習中經(jīng)常出現(xiàn)的易錯題進行剖析，并給出一些解決策略，希望能幫助同學們建立學好二次函數(shù)的信心。

一、對二次函數(shù)概念掌握模糊

例1 若y=（2-m）xm2-2是二次函數(shù)，則m的值為__________。

【錯解】根據(jù)二次函數(shù)的概念得m2-2=2，解得m=±2。

故答案為m=2或m=-2。

【錯因剖析】根據(jù)二次函數(shù)的概念，題中m應滿足兩個條件：m2-2=2，二次項系數(shù)2-m≠0。錯解中疏忽了二次函數(shù)概念中“二次項系數(shù)a不等于零”這個條件。

【正解】根據(jù)題意，得m2-2=2且2-m≠0，解得m=-2。

故答案為m=-2。

二、未掌握二次函數(shù)最值的計算方法

例2 求函數(shù)y=x2+1（-1≤x≤2）的最大值和最小值。

【錯解】當x=-1時，y=2;當x=2時，y=5。

所以函數(shù)y=x2+1（-1≤x≤2）的最大值為5，最小值為2。

【錯因剖析】二次函數(shù)的最值有多種類型。假設自變量的取值范圍是某個閉區(qū)間，那么其最值可能在端點處，也有可能在頂點處。因此，我們要得出此函數(shù)的最值，應通過二次函數(shù)的增減性來分析，也可以借助數(shù)形結(jié)合的思想方法來完成。

【正解】∵y=x2+1，∴對稱軸是直線x=0，頂點坐標為（0，1），畫出大致圖像如圖1，圖中拋物線位于-1≤x≤2的一段，顯然圖像中最低點不是點A，而是頂點，最高點是點B。

所以當x=0時，y有最小值為1;

當x=2時，y有最大值為5。

三、對圖像平移順序了解不清

例3 把拋物線y=ax2+bx+c先向右平移2個單位，再向下平移5個單位，得到拋物線y=x2-2x-2，求a、b、c的值。

【錯解】∵y=x2-2x-2=（x-1）2-3，

又∵圖像向右平移2個單位，向下平移5個單位，∴原拋物線的解析式為y=（x-1-2）2-3-5=x2-6x+1，∴a=1，b=-6，c=1。

【錯因剖析】二次函數(shù)圖像平移問題往往包括多種類型，在解決已知原圖像的表達式以及平移路徑，求平移后圖像表達式時，可以直接用“左加右減，上加下減”來解決。但此題已知的是平移后圖像表達式以及平移路徑，求原圖像的表達式，因此，我們要看清題目實質(zhì)，千萬不可直接套用口訣解題。

【正解】∵y=x2-2x-2=（x-1）2-3，

又∵原圖像向右平移2個單位，向下平移5個單位得到新拋物線，

∴新圖像向左平移2個單位，向上平移5個單位得到原拋物線，

∴原拋物線的表達式為y=（x-1+2）2-3+5=x2+2x+3，∴a=1，b=2，c=3。

四、沒有進行分類討論

例4 若m為實數(shù)，則函數(shù)y=（m-2）x2+mx+1的圖像與x軸的交點個數(shù)為 。

【錯解】根據(jù)題意，得b2-4ac=m2-4（m-2）×1=m2-4m+8=（m-2）2+4>0，

所以函數(shù)y=（m-2）x2+mx+1的圖像與x軸的交點個數(shù)為2個。

【錯因剖析】此題題干部分說的是“函數(shù)”，而不是“二次函數(shù)”，所以此題還有另一種情形，即一次函數(shù)的情形，需要分類討論。

【正解】當函數(shù)為一次函數(shù)，即m-2=0，m=2時，函數(shù)y=2x+1與x軸相交于點（[-12]，0），交點個數(shù)為1個。

當函數(shù)為二次函數(shù)，即m-2≠0，m≠2時，

∵b2-4ac=m2-4（m-2）×1=m2-4m+8

=（m-2）2+4>0，

∴函數(shù)y=（m-2）x2+mx+1的圖像與x軸的交點個數(shù)為2個。

綜上所述，函數(shù)圖像與x軸的交點個數(shù)為1或2個。

五、忽視題目中的隱藏條件

例5 已知x-y2=1，求y2-x2的最大值。

【錯解】∵x-y2=1，∴y2=x-1

∴y2-x2=-x2+x-1=-（x[-12]）2[-34]，

所以y2-x2的最大值為[-34]。

【錯因剖析】此題將y2用關(guān)于x的代數(shù)式表示，代入y2-x2得到關(guān)于x的二次函數(shù)，就將本題轉(zhuǎn)化成求二次函數(shù)的最值問題。但忽略了y2≥0，x有取值范圍這一隱藏條件。

【正解】∵x-y2=1，∴y2=x-1。

∵y2≥0，∴x-1≥0，解得x≥1。

∵y2-x2=-x2+x-1=-（x[-12]）2[-34]，

∴此拋物線開口向下，對稱軸為x=[12]，

∴當x≥1時，y隨x的增大而減小，

∴當x=1時，y2-x2有最大值為-1。

從上述幾個問題可以看出，各種數(shù)學思想如函數(shù)的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想等都可以利用二次函數(shù)作為載體。因此，同學們在解答二次函數(shù)的問題時，除了理解概念、公式外，還要認真審題，靈活運用，挖掘題目中的隱藏條件。

（作者單位：江蘇省東臺市實驗中學）