隨機(jī)時(shí)滯微分方程的截?cái)郈aratheodory數(shù)值解的收斂性

蔡雨欣， 王子豐， 尤蘇蓉

(東華大學(xué) 理學(xué)院，上海 201620)

在隨機(jī)時(shí)滯微分方程(stochastic delay differential equations, SDDEs)的研究中，當(dāng)系數(shù)滿足局部Lipschitz條件和線性增長(zhǎng)條件時(shí)，方程的解存在且唯一。但很多的SDDEs并不滿足線性增長(zhǎng)條件，針對(duì)這類方程，文獻(xiàn)[1]指出系數(shù)滿足Khasminskii型條件時(shí)，方程的解存在且唯一。

隨機(jī)微分方程(stochastic differential equations, SDEs)的精確解通常很難求出，構(gòu)造方程的數(shù)值解并分析數(shù)值解的相關(guān)性質(zhì)是SDEs的熱門研究課題，常用的數(shù)值方法有Euler-Maruyama法、倒向Euler-Maruyama法、馴化Euler-Maruyama法、Milstein法以及Caratheodory法。目前，系數(shù)滿足局部Lipschitz條件和線性增長(zhǎng)條件的SDEs方程的數(shù)值解已得到廣泛研究[2-6]。

對(duì)于非線性增長(zhǎng)條件下SDEs的數(shù)值解問題，也有相關(guān)研究報(bào)道。如Hutzenthaler等[7]在高度非線性增長(zhǎng)條件和單邊Lipschitz條件下研究了這類方程的數(shù)值解。文獻(xiàn)[8-9]提出的截?cái)郋uler-Maruyama法，可以用于求解系數(shù)滿足局部Lipschitz條件和Khasminskii型增長(zhǎng)條件的方程的數(shù)值解。此后，截?cái)郋uler-Maruyama法被應(yīng)用于SDDEs的數(shù)值解分析中，得到了具有強(qiáng)收斂性和收斂速率的數(shù)值解[10]。文獻(xiàn)[11]利用截?cái)郈aratheodory數(shù)值算法探討了SDEs數(shù)值解的收斂性。截?cái)嗨惴ㄔ赟DDEs的應(yīng)用主要是截?cái)郋uler-Maruyama法與局部截?cái)郋uler-Maruyama法，目前還沒有將截?cái)嗨枷霊?yīng)用于SDDEs的Caratheodory數(shù)值解的相關(guān)文獻(xiàn)報(bào)道。本文將這種數(shù)值算法應(yīng)用于SDDEs中，進(jìn)而證明數(shù)值解的強(qiáng)收斂性。

1 問題背景及截?cái)郈aratheodory數(shù)值算法構(gòu)造

若x∈n，用|x|表示其歐幾里得范數(shù)。若A是一個(gè)向量或是矩陣，使用AT表示其轉(zhuǎn)置，用表示它的跡范數(shù)。給定τ>0，用表示定義在[-τ, 0]上，取值于n的連續(xù)函數(shù)族。對(duì)于設(shè)(Ω,F, {Ft}t≥0,P)是一個(gè)完備概率空間，{Ft}t≥0是其上的一個(gè)σ域流，滿足通常條件[10](單調(diào)遞增且右連續(xù)，F(xiàn)0包含的所有P為零測(cè)集)。B(t)=(B1(t),B2(t), …,Bm(t))T是定義在該概率空間上的m維布朗運(yùn)動(dòng)。對(duì)于兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b，記a∨b=max(a,b)，a∧b=min(a,b)。對(duì)于給定實(shí)數(shù)a，用[a]表示小于等于a的最大整數(shù)。

考慮如式(1)所示的隨機(jī)時(shí)滯微分方程。

dx(t)=f(x(t),x(t-τ))dt+
g(x(t),x(t-τ))dB(t),t≥0

(1)

式中：f(x,y):n×n→n，g(x,y):n×n→m×n分別為方程的漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)；τ>0為時(shí)滯量。

初值條件為

{x(θ): -τ≤θ≤0}=ξ∈C([-τ, 0];n)

(2)

假設(shè)式(1)的系數(shù)滿足以下局部Lipschitz條件和Khasminskii條件。

假設(shè)1對(duì)任意的h>0，存在Kh>0使得

假設(shè)2存在一組常數(shù)p>2和K>0，使得對(duì)任意的x,y∈n有

傳統(tǒng)解的存在唯一性定理要求方程的系數(shù)滿足局部Lipschitz條件和線性增長(zhǎng)條件。在局部Lipschitz條件和Khasminskii條件下，方程具有非線性特征，引理1給出了這類方程的解的存在唯一性。

為定義截?cái)郈aratheodory數(shù)值格式，首先選定一個(gè)嚴(yán)格單調(diào)遞增的連續(xù)函數(shù)μ:+→+使得當(dāng)r→+∞時(shí)，得μ(r)→+∞，且對(duì)任意的r≥1有

(3)

記μ-1為函數(shù)μ的反函數(shù)，則μ-1:[μ(0), +∞)→[0, +∞)是嚴(yán)格單調(diào)遞增的連續(xù)函數(shù)。取定一個(gè)常數(shù)Δ*∈(0, 1]和一個(gè)嚴(yán)格單調(diào)遞減的函數(shù)h:(0,Δ*]→(0, +∞)使得對(duì)任意的Δ∈(0,Δ*]都有

(4)

對(duì)于給定的步長(zhǎng)Δ∈(0,Δ*]，定義映射πΔ:n→{x∈n: |x|≤μ-1(h(Δ))}如下：

當(dāng)x=0時(shí)，定義πΔ(0)=0。因此，πΔ(x)將任意一個(gè)向量x映射到一個(gè)半徑為μ-1(h(Δ))的球的內(nèi)部。對(duì)任意的x,y∈n，定義如下截?cái)嗪瘮?shù)

fΔ(x,y)=f(πΔ(x),πΔ(y))
gΔ(x,y)=g(πΔ(x),πΔ(y))

由式(3)得

|fΔ(x,y)|∨|gΔ(x,y)|≤
μ(μ-1(h(Δ)))=h(Δ)

(5)

這表明，無論f和g是否有界，其截?cái)嗪瘮?shù)fΔ和gΔ都是有界的。引理2說明截?cái)嗪瘮?shù)fΔ和gΔ仍然滿足Khasminskii條件。

引理2[13]令假設(shè)2成立，那么對(duì)于Δ∈(0,Δ*]，對(duì)任意的x,y∈n有

當(dāng)-τ-Δ≤t≤-τ時(shí)，定義xΔ(t)=x(-τ)；

當(dāng)k=-M,-M+1,…,0時(shí)，定義xΔ(tk)=ξ(tk)；

當(dāng)k>0，tk

(6)

顯然，

(7)

dxΔ(t)=fΔ(xΔ(t-Δ),xΔ(t-τ-Δ))dt+
gΔ(xΔ(t-Δ),xΔ(t-τ-Δ))dB(t)

本文主要研究常時(shí)滯方程的數(shù)值解設(shè)計(jì)，對(duì)于變時(shí)滯方程情形，需要對(duì)上述數(shù)值解格式進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，變時(shí)滯方程如下：

dx(t)=f(x(t),x(t-δ(t)))dt+
g(x(t),x(t-δ(t)))dB(t),t≥0

2 截?cái)郈aratheodory數(shù)值解的收斂性

為證明數(shù)值解的收斂性，首先給出式(1)的精確解和數(shù)值解所具有的一些基本性質(zhì)及引理。

定理1對(duì)于任意的Δ∈(0,Δ*],t≥0有

(8)

其中Cp是僅與p有關(guān)的正常數(shù)，進(jìn)而有

(9)

證明：由式(7)可得

從而有

由基本不等式|a+b|p≤2p-1|a|p+2p-1·|b|p,H?lder不等式以及矩不等式，上式可變形為

再由式(5)得

顯然有式(9)成立。

引理3若假設(shè)1和假設(shè)2成立，則

(10)

其中C是與Δ無關(guān)的正實(shí)數(shù)。

證明：對(duì)|xΔ(t)|p使用It公式可得

利用引理2以及Young不等式可得

(11)

再利用定理1以及式(4)和(5)可得

(12)

將式(12)代入式(11)得

(13)

其中C3=C1+CpT,C4=3C2，且Ci(i=1,2,3,4)是與Δ無關(guān)的正實(shí)數(shù)。

由于式(13)對(duì)任何的t∈[0,T]都成立，其不等號(hào)右邊是關(guān)于t非降的，因此

進(jìn)而利用Gronwall不等式可推出

(14)

其中C=C3eC4T，且不依賴于Δ，從而式(10)成立。

下文引理4和5說明了式(1)的精確解和數(shù)值解所定義的兩個(gè)停時(shí)的性質(zhì)，這兩個(gè)引理將在定理2證明數(shù)值解的收斂性時(shí)有用，其中引理4關(guān)于精確解的性質(zhì)在文獻(xiàn)[8]中已有證明，這里僅引用其結(jié)論。

引理4[8]令假設(shè)1和假設(shè)2成立，則對(duì)任意實(shí)數(shù)R>‖ξ‖，定義停時(shí)

τR=inf{t≥0:|x(t)|≥R}

(15)

引理5令假設(shè)1和假設(shè)2成立，對(duì)任意實(shí)數(shù)R>‖ξ‖，Δ∈(0,Δ*]，定義停時(shí)

ρΔ,R=inf{t≥0:|xΔ(t)|≥R}

(16)

則

(17)

其中C9是與Δ,R無關(guān)的正實(shí)數(shù)。

證明：將ρΔ, R簡(jiǎn)記為ρ，對(duì)任意0≤t≤T，應(yīng)用It公式可得

根據(jù)引理2，上述不等式可以變形為

(18)

分析式(18)不等號(hào)右邊的第一個(gè)積分

(19)

式中，C6=4K1T(1+E‖ξ‖2)。

基于引理1以及式(4)和(5)，式(18)不等號(hào)右邊的第二個(gè)積分可以放縮為

(20)

將式(19)和(20)代入式(18)可得

(21)

由于式(21)不等號(hào)右邊關(guān)于t是非降的，因此

(22)

由定理2證明截?cái)郈aratheodory數(shù)值解的收斂性，為此需要對(duì)初值函數(shù)添加一定的條件，該條件在其他數(shù)值解的收斂性分析中也有使用[8-9]。

假設(shè)3存在一組常數(shù)K2>0，γ∈(0, 1]，使得初值ξ滿足

|ξ(u)-ξ(v)|≤K2|u-v|γ，-τ≤v≤u≤0。

定理2若假設(shè)1～3都成立，則對(duì)任意的q∈[2,p)，有

(23)

證明：令τR,ρΔ, R與式(15)、式(16)定義相同，并記θΔ,R=τR∧ρΔ, R及eΔ(T)=xΔ(T)-x(T)。利用Young不等式，對(duì)于任意δ>0，有

E|eΔ(T)|q=E(|eΔ(T)|qI{θΔ, R>T})+

E(|eΔ(T)|qI{θΔ, R≤T})≤

(24)

由引理1和引理3可知

E|eΔ(T)|p≤C

(25)

又由引理4和引理5得到

(26)

其中C10=C5+C9。將式(25)和(26)代入式(24)可以推出

(27)

為此定義兩個(gè)截?cái)嗪瘮?shù)

令Δ*足夠小，且滿足μ-1(h(Δ*))≥R，因此對(duì)Δ∈(0,Δ*)，有

fΔ(x,y)=FR(x,y)，gΔ(x,y)=GR(x,y)，其中x,y∈,|x|∨|y|≤R。

考慮式(28)所示的隨機(jī)時(shí)滯微分方程。

dz(t)=FR(z(t),z(t-τ))dt+GR(z(t),z(t-τ))dB(t)

(28)

初值為z(u)=ξ(u),u∈[-τ, 0]，其中FR(x,y)和GR(x,y)滿足全局Lipschitz條件。因此，式(28)在t≥-τ上有唯一的全局解z(t)，且

x(t∧τR)=z(t∧τR) ， 0≤t≤T

(29)

設(shè)zΔ(t)為式(28)的Caratheodory數(shù)值解，則同樣可得

x(t∧ρΔ,R)=z(t∧ρΔ, R) ， 0≤t≤T

(30)

關(guān)于式(28)的Caratherodory數(shù)值解zΔ(t)與全局解z(t)兩者的關(guān)系，由文獻(xiàn)[5，14]的結(jié)論可得

其中H為依賴于KR,T,ξ,q，且與Δ無關(guān)的正常數(shù)。因此

再結(jié)合式(29)和(30)，上式即為

因此，

從而只要Δ足夠小，式(27)成立，即可證明式(23)成立，即數(shù)值解強(qiáng)收斂于精確解。

3 算 例

考慮下面的非線性一維隨機(jī)時(shí)滯微分方程。

dx(t)=(-2x3+2x(t-τ))dt+(|x(t)|3/2+
sinx(t-τ))dB(t)，t≥0

其初值為

xt0=ξ={cosθ:-1≤θ≤0}。

顯然，此方程滿足假設(shè)1，同時(shí)

滿足假設(shè)2。

利用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，得到如圖1所示的截?cái)郈aratheodory數(shù)值解。

相比文獻(xiàn)[11]所討論的不帶時(shí)滯項(xiàng)的隨機(jī)微分方程數(shù)值格式，本文所得到的結(jié)論是對(duì)[11]關(guān)于數(shù)值格式穩(wěn)定性結(jié)論的推廣和補(bǔ)充。如果將算例中的時(shí)滯項(xiàng)舍去，那么該算例能夠滿足文獻(xiàn)[11]進(jìn)行相關(guān)分析所需的條件，因此數(shù)值解也將有相應(yīng)的收斂結(jié)論。

4 結(jié) 語

本文使用截?cái)郈aratheodory法研究了非線性隨機(jī)時(shí)滯微分方程的數(shù)值解的強(qiáng)收斂性。對(duì)于給定的步長(zhǎng)Δ，定義了離散時(shí)間下的截?cái)郈aratheodory數(shù)值解，隨后構(gòu)造了連續(xù)時(shí)間的截?cái)郈aratheodory數(shù)值解

xΔ(t)，在局部Lipschitz條件和Khasminskii型條件下，證明了連續(xù)時(shí)間的截?cái)郈aratheodory數(shù)值解強(qiáng)收斂于其精確解。