時間尺度上二階Lagrange系統(tǒng)Noether對稱性與守恒量

趙淑瓊，朱建青

(蘇州科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009)

1988年，Hilger首次將離散和連續(xù)系統(tǒng)進行了統(tǒng)一，提出了時間尺度理論[1].對動力學(xué)方程進行時間尺度上的分析，可將方程內(nèi)離散系統(tǒng)的差分方程和連續(xù)系統(tǒng)的微分方程相結(jié)合，從而更準(zhǔn)確地描述了許多復(fù)雜動力學(xué)系統(tǒng)的物理本質(zhì).近年來，時間尺度已廣泛應(yīng)用于量子系統(tǒng)、動力學(xué)系統(tǒng)以及自然科學(xué)系統(tǒng)等[2-5].對于連續(xù)的和離散的時間變量，時間尺度理論可以建立更符合實際應(yīng)用的數(shù)學(xué)模型來予以解決相應(yīng)的動力學(xué)問題.例如將不同季節(jié)中昆蟲繁殖行為看作動力學(xué)特征所提出的蟲口模型[6]、關(guān)于擁有較長生產(chǎn)周期的商品產(chǎn)量和價格波動性進行動態(tài)均衡分析所提出的蜘蛛網(wǎng)模型[7]以及電路中電流改變率[8]等.

1918年，Noether基于Hamilton作用量在無限小變換下不變性的原理得到了Noether對稱性與守恒量[9]，Noether定理揭示了對稱性和物理學(xué)守恒律之間的聯(lián)系，即通過Noether對稱性可以找到守恒量.隨后，Karch和Desloge基于無限小變換下不變性首次提出了經(jīng)典意義下Lagrange系統(tǒng)Noether定理[10].2004年，Bartosiewicz和Torres根據(jù)時間重參法將其推廣到時間尺度上Lagrange系統(tǒng)的Noether對稱性及其守恒量[11]，并將離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)對稱理論相統(tǒng)一.近年來，有關(guān)學(xué)者陸續(xù)給出了時間尺度上不同系統(tǒng)中相應(yīng)的對稱性與守恒量[12-18].

1848年-1858年間，Ostrogradsky和Jacobi開創(chuàng)了廣義經(jīng)典力學(xué)理論，廣義經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)是動力學(xué)系統(tǒng)中含有廣義坐標(biāo)對時間作高階導(dǎo)數(shù)運算的Lagrange函數(shù)所構(gòu)成的系統(tǒng).自提出以來，它在力學(xué)、物理和數(shù)學(xué)方面應(yīng)用廣泛.關(guān)于廣義經(jīng)典力學(xué)Noether對稱性的研究，已經(jīng)有了許多進展，1973年，Anderson得到了廣義經(jīng)典力學(xué)中完整保守系統(tǒng)的Noether守恒律[19].喬永芬等人將結(jié)論推廣到廣義經(jīng)典力學(xué)中完整非保守系統(tǒng)中[20-21].張毅等人基于正則作用量在r參數(shù)無限小下的廣義準(zhǔn)對稱性研究了廣義經(jīng)典力學(xué)的Noether定理及其逆定理[22].另外Torres等人對時間尺度上的變分問題以及高階變分問題進行了一定研究[23-26]，為本文所用到的運算奠定了重要基礎(chǔ).但目前關(guān)于時間尺度上高階Lagrange函數(shù)的動力學(xué)系統(tǒng)對稱性與守恒量研究甚少，是一個較為新穎的課題，本文根據(jù)時間尺度上Hamilton作用量的不變性原理得到了時間尺度上二階Lagrange系統(tǒng)Noether定理，并根據(jù)算例說明其應(yīng)用．

1 時間尺度上二階Lagrange系統(tǒng)的運動微分方程

設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的位形由n個廣義坐標(biāo)qs(s=1，2，…，n)來表示，那么該系統(tǒng)Lagrange量

(1)

式中，I[qs(·)]為時間尺度上Hamilton作用量，其中

qsσ2(t)=(qs°σ°σ)(t)，

式中，qsΔ2(t)為二階delta導(dǎo)數(shù)，t∈T，L:R×Rn×Rn×Rn→R對其中各個元素都是C1的．

(2)

(3)

將(3)式代入(2)式可得，

(4)

即可得證．

根據(jù)文獻[24]，給出了時間尺度上高階Lagrange系統(tǒng)運動方程

qsσr-1Δ(t)，…，qsσΔr-1(t)，qsΔr(t))=0,

(5)

其中，

根據(jù)上式可得時間尺度上二階Lagrange系統(tǒng)的運動方程

(6)

2 時間尺度上二階Lagrange系統(tǒng)Noether對稱性及判據(jù)

對于時間尺度上二階Lagrange系統(tǒng)，系統(tǒng)的Noether對稱性是Hamilton作用量在無限小變換下的不變性.

由文獻[13]可知，時間尺度上變分公式為

(7)

(8)

(9)

其中，α，α+dα為時間尺度T上定義的有界閉合線路．

另外由文獻[27]可知，

(10)

對(8)式兩邊在時間尺度上求delta導(dǎo)數(shù)可得，

(11)

根據(jù)上式可得

δqsΔ2=qsΔ2(t，α+dα)-qsΔ2(t，α)=

(12)

通過(11)、(12)式可以得到

(13)

也可進一步推導(dǎo)得到

(14)

接下來考慮時間和坐標(biāo)均變化的無限小變換群

(15)

在變換(15)下，時間尺度上二階Lagrange系統(tǒng)Hamilton作用量(1)式可表示為

qs*(σΔ)*(t*)，qs*(Δ2)*(t*))Δt*.

(16)

(17)

(18)

其中，

(19)

(20)

將(19)、(20)式代入時間尺度上二階Lagrange系統(tǒng)的作用量即可得到(18)式．

在無限小變換(15)式下變分關(guān)系式可表示為

(21)

(22)

(23)

(24)

因此，由(17)式得到

(25)

對于無限小變換(15)式，若時間尺度上作用量(18)式在其上保持不變，那么

(26)

定義1在無限小變換(15)式作用下，如果作用量(1)式在該變換上有

(27)

成立，稱變換(15)式為Noether意義下的廣義對稱變換．

根據(jù)廣義對稱變換定義，由(25)式可得

(28)

判據(jù)1在時間尺度上二階Lagrange系統(tǒng)中，如果在無限小變換(15)式下有(28)式成立，則稱變換為Noether意義下的廣義對稱變換．

定義2在無限小變換(15)作用下，如果作用量(1)式在該變換上成立

(29)

根據(jù)廣義準(zhǔn)對稱變換，由(25)式可知

(30)

由t0，t1任意性可知，

(31)

判據(jù)2在時間尺度上二階Lagrange系統(tǒng)中，如果在無限小變換(15)式下有(31)式成立，則稱變換為Noether意義下的廣義準(zhǔn)對稱變換．

3 時間尺度上二階Lagrange系統(tǒng)Noether定理

在廣義對稱變換下，根據(jù)(26)式可得

(32)

將(6)式代入上式可得

(33)

對(33)式左右兩邊進行積分得到Noether守恒量

(34)

在廣義準(zhǔn)對稱變換下，得到如下Noether守恒量

(35)

從而得到如下定理.

定理1如果無限小變換的生成元ξ0，ξs滿足Noether等式(28)，則時間尺度二階Lagrange系統(tǒng)有Noether守恒量式(34)．

定理2如果無限小變換的生成元ξ0，ξs和規(guī)范函數(shù)GN滿足Noether等式(31)，則時間尺度二階Lagrange系統(tǒng)有Noether守恒量式(35)．

推論1當(dāng)T=R時，即σ(t)=0，μ(t)=0.由(34)式可以得到經(jīng)典意義下二階Lagrange系統(tǒng)下的Noether守恒量[20]．

(36)

4 算例

設(shè)時間尺度

T={2n:n∈Z}∪{0}，

(37)

系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為

(38)

下面研究該系統(tǒng)的對稱性與守恒量.

首先，計算本題給出時間尺度的前跳算子以及步差函數(shù)

σ(t)=inf{2m:m∈[l+1，∞)}=2l+1=2t，

(39)

μ(t)=σ(t)-t=t.

(40)

其次，求生成元ξ0，ξs以及規(guī)范函數(shù)GN.Noether等式(31)給出

(41)

方程(41)有如下解

ξ0=1，ξs=t，GN=0.

(42)

最后，(42)式代入(35)式即得守恒量，

(43)

(43)式即為該系統(tǒng)對應(yīng)的Noether對稱性所導(dǎo)致的守恒量．

5 結(jié)論

本文研究時間尺度上二階Lagrange力學(xué)系統(tǒng)的對稱性，可有效地將連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)相統(tǒng)一.文章研究了時間尺度上二階Lagrange系統(tǒng)Noether對稱性問題.主要工作有:在時間尺度上根據(jù)二階Lagrange系統(tǒng)的運動方程，給出了時間尺度上二階Lagrange系統(tǒng)所對應(yīng)的對稱性定義及判據(jù)進而得到相應(yīng)的Noether守恒量;最后當(dāng)時間尺度取T=R時，即有

σ(t)=0，μ(t)=0，

則該守恒量可以退化到經(jīng)典二階Lagrange系統(tǒng)中Noether守恒量，并通過例子說明結(jié)果的有效性.而時間尺度是具有任意性的特征，因此本文的思想方法和結(jié)果更具有普遍性，可進一步拓展到時間尺度上高階Lagrange系統(tǒng)Noether定理以及時間尺度上二階Lagrange系統(tǒng)Lie對稱性和Mei對稱性等．