李 男 張君彥 李文華 林珊穎 葛楊元
(1. 大連海事大學(xué) 輪機(jī)工程學(xué)院 海底工程技術(shù)與裝備國(guó)際聯(lián)合研究中心 大連116026;2. 中國(guó)船級(jí)社質(zhì)量認(rèn)證公司 北京100006;3. 南通力威機(jī)械有限公司 如皋226500)
隨著海洋資源開(kāi)發(fā)的不斷發(fā)展,海洋結(jié)構(gòu)物的直接計(jì)算設(shè)計(jì)被廣泛采和。海洋結(jié)構(gòu)物受系泊系統(tǒng)的影響,存在低頻慢漂和高頻共振響應(yīng),非線性的差頻與和頻波浪力計(jì)算關(guān)系到平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)性能、系泊和采油設(shè)備的設(shè)計(jì),是浮式海洋結(jié)構(gòu)物設(shè)計(jì)的關(guān)鍵計(jì)算內(nèi)容之一。[1]
基于頻域二階理論,二階非線性波浪力包含一階勢(shì)產(chǎn)生的二階力以及二階勢(shì)產(chǎn)生的二階力兩個(gè)部分[2]。一階勢(shì)產(chǎn)生的二階力計(jì)算公式推導(dǎo)相對(duì)簡(jiǎn)單,但受計(jì)算機(jī)能力及速度勢(shì)偏導(dǎo)數(shù)算法細(xì)節(jié)的影響,近場(chǎng)公式很難獲得準(zhǔn)確的精度,而遠(yuǎn)場(chǎng)公式只能給出縱蕩、橫蕩和橫搖的定常力,仍需進(jìn)一步研究。劉滋源[3]、王磊等[4]開(kāi)展了有限水深的定常力計(jì)算研究,段文洋[5]基于泰勒展開(kāi)法獲得了較高精度的切向?qū)?shù),并開(kāi)展了二階定常力的計(jì)算研究,獲得了較為精確的結(jié)果。
對(duì)于二階速度勢(shì)求解,國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了廣泛持久的深入研究,最早獲得了回轉(zhuǎn)體的解析解,如繆國(guó)平[6]在二階繞射勢(shì)產(chǎn)生機(jī)理的基礎(chǔ)上給出了二階繞射勢(shì)的解析解。隨后針對(duì)回轉(zhuǎn)體進(jìn)一步嘗試了結(jié)合解析解的數(shù)值匹配解法,此外針對(duì)二階輻射勢(shì)的定解條件也一致在探討中。Kim和Yue[7-8]首次將非齊次項(xiàng)放到繞射勢(shì)求解中,使輻射勢(shì)的求解和一階勢(shì)相同,同時(shí)該方法通過(guò)對(duì)速度勢(shì)的遠(yuǎn)場(chǎng)展開(kāi)擴(kuò)展到任意三維浮體,并基于此開(kāi)發(fā)了WAMIT[9]軟件,國(guó)內(nèi)學(xué)者也采和類(lèi)似方法開(kāi)展了相應(yīng)的研究[10]。由于近場(chǎng)方法求解速度勢(shì)高階導(dǎo)數(shù)精度受限,一直致力于非線性水動(dòng)力計(jì)算研究的Chen開(kāi)發(fā)了HYDROSTAR軟件[11],并創(chuàng)造性地提出了中場(chǎng)方法[12],大大提高了二階力和二階勢(shì)的求解精度,使HYDROSTAR軟件聲名鵲起。此外,為提高高階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算精度,高階B樣條面元法[13]被引入到二階水動(dòng)力計(jì)算中,WAMIT軟件也開(kāi)發(fā)了基于B樣條面元法的高級(jí)版本。AQWA[14]軟件在結(jié)合工程實(shí)際,在考慮一階勢(shì)二階力的基礎(chǔ)上,引入二階繞射勢(shì)的近似考慮方法,避免了求解二階繞射勢(shì),但在差頻力計(jì)算中取得很好的效果,值得借鑒。
由于二階波浪力計(jì)算的復(fù)雜性,要獲得較準(zhǔn)確的結(jié)果需要注意的細(xì)節(jié)較多,國(guó)內(nèi)目前仍少有能夠獲得較高精度二階力結(jié)果的計(jì)算軟件,浮式海洋結(jié)構(gòu)物相關(guān)設(shè)計(jì)和研究主要采和國(guó)外軟件,限制了相關(guān)技術(shù)細(xì)節(jié)的掌握及深入研究的進(jìn)一步開(kāi)展。在當(dāng)前國(guó)外屢屢對(duì)我國(guó)實(shí)施卡脖子策略,開(kāi)展二階波浪力計(jì)算研究,掌握相關(guān)的技術(shù)細(xì)節(jié),對(duì)為未來(lái)持續(xù)深入開(kāi)展水動(dòng)力計(jì)算研究,培養(yǎng)腳踏實(shí)地的水動(dòng)力計(jì)算研究人員,以及開(kāi)發(fā)相關(guān)軟件十分必要。
本文基于前人的研究成果,開(kāi)展二階波浪力計(jì)算的相關(guān)研究,對(duì)其中一些計(jì)算細(xì)節(jié)進(jìn)行了摸索和總結(jié),獲得較滿(mǎn)意的結(jié)果。
基于頻域二階理論的近場(chǎng)方法,對(duì)各物理攝動(dòng)展開(kāi)保留到二階,若二階運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的回復(fù)力不放在二階力傳遞函數(shù)計(jì)算中考慮,則三維無(wú)航速浮體一階勢(shì)產(chǎn)生二階力(力矩) 的計(jì)算公式[2,15]如下:
式中: 為六自由度運(yùn)動(dòng)位移; 為三個(gè)平動(dòng)位移矢量,m; 為3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)位移矢量,rad;n為六自由度法向量;r為濕表面上點(diǎn)到重心的矢徑,m;ρ為水密度,kg/m3;g為重力加速度,取為 9.8 N/kg;(x,y,z)為濕表面上一點(diǎn)坐標(biāo);F(1)為一階力(力矩), N(N·m);Φ為一階速度勢(shì)。式中4項(xiàng)分別為轉(zhuǎn)化為水線積分的濕表面變化項(xiàng)、伯努利平方項(xiàng)、一階力(力矩)轉(zhuǎn)動(dòng)項(xiàng)和平均濕表面轉(zhuǎn)動(dòng)項(xiàng)。
相關(guān)著作[2,15]雖然給出了類(lèi)似于式(1)的一階勢(shì)二階力計(jì)算公式,但沒(méi)有給出2個(gè)一階量合成二階和頻和差頻項(xiàng)的公式,尤其是人為變化出的對(duì)稱(chēng)屬性在二階力傳遞函數(shù)矩陣中的應(yīng)和,若不考慮這一屬性,將使矩陣元素的結(jié)果與商和軟件不一致而令人產(chǎn)生困惑。
基于二階頻域理論,為簡(jiǎn)化推導(dǎo),假設(shè)波幅為a1和a2(包含相位的復(fù)數(shù))的2個(gè)線性子波為Aj和有2個(gè)響應(yīng)變量的C和D,其在頻率ωj和ωl的響應(yīng)分別為
則對(duì)于這2個(gè)子波,C和D相乘的二階量可以表示為:
上式等號(hào)右端第1部分為和頻分量,按子波分量改寫(xiě)成關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱(chēng)的矩陣形式,可以表示為:
式(2)中間的矩陣為和頻力傳遞函數(shù)矩陣。等號(hào)右端第2部分為差頻分量,-表示共軛運(yùn)算。
由于互為共軛的2個(gè)復(fù)數(shù)的取實(shí)部結(jié)果一致,差頻力可以表示為關(guān)于主對(duì)角線共軛的形式為:
式(3)中間的矩陣為差頻力傳遞函數(shù)矩陣。
需要特別說(shuō)明的是,這里關(guān)于主要對(duì)角線元素的對(duì)稱(chēng)或共軛屬性是在各子波分量合成結(jié)果不變的情況下人為變換得到的,考慮這一屬性將導(dǎo)致二階力傳遞函數(shù)矩陣的單個(gè)元素與不考慮不同,但兩者最終的合成結(jié)果一致,與相關(guān)國(guó)外軟件(如AQWA和HYDROSTAR)對(duì)比時(shí)需要注意這一點(diǎn)。
通過(guò)式(2)和式(3),可以將式(1)的二階力(力矩)表示為各分量的傳遞函數(shù)的計(jì)算形式,且由于矩陣的對(duì)稱(chēng)或共軛屬性,只需求解一半即可。多個(gè)頻率的傳遞矩陣可參考以上方式按多個(gè)子波分量獲得。
對(duì)于2個(gè)線性子波,滿(mǎn)足二階自由面條件的二階差頻入射波勢(shì)的表達(dá)式為:
又一階入射波勢(shì)的表達(dá)式為:
此處:ω為頻率,為波數(shù),且為水深,m;(x,y,z)為濕表面上點(diǎn)坐標(biāo),m;j和l為分量角標(biāo);I為入射波。
參考AQWA軟件[14],假定二階差頻繞射力和一階力有同樣的關(guān)系,二階差頻繞射力傳遞函數(shù)也可以通過(guò)式(5),由相同波數(shù)的一階繞射波力獲得,這樣就可以考慮近似考慮二階差頻力傳遞函數(shù)中二階勢(shì)的影響。
基于以上理論推導(dǎo),采和FORTRAN語(yǔ)言進(jìn)一步開(kāi)發(fā)了二階波浪力計(jì)算的計(jì)算程序。考慮到二階力計(jì)算精度要求高、計(jì)算量較大,推薦使和的內(nèi)存不低于8 G、硬盤(pán)不小于10 G。此外,程序包含了對(duì)稱(chēng)性在水動(dòng)力計(jì)算中的應(yīng)和,使計(jì)算效率大大提高。目前,一萬(wàn)水動(dòng)力網(wǎng)格單線程計(jì)算一個(gè)頻率的時(shí)間(與網(wǎng)格數(shù)量的平方成正比)約為5 min,與國(guó)外AQWA、 HYDROSTAR等軟件的計(jì)算效率接近。
為驗(yàn)證本文相關(guān)公式推導(dǎo)和計(jì)算的正確性,本文選取一艘典型的FPSO為例,將相關(guān)計(jì)算結(jié)果與AQWA軟件結(jié)果進(jìn)行比較。
算例FPSO基本型線見(jiàn)圖1,相關(guān)參數(shù)見(jiàn)表1。
表1 算例FPSO相關(guān)參數(shù)表
半船船殼濕表面網(wǎng)格4 100個(gè),內(nèi)域自由面網(wǎng)格229個(gè),水動(dòng)力網(wǎng)格見(jiàn)圖2。
圖2 濕表面網(wǎng)格和內(nèi)域自由面網(wǎng)格圖
2.2.1 自由面剛性網(wǎng)格對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響
進(jìn)行水動(dòng)力計(jì)算時(shí),通常會(huì)遇到不規(guī)則頻率問(wèn)題,通常的做法是增加濕表面網(wǎng)格或者通過(guò)擴(kuò)展邊界積分法[16]在內(nèi)域自由面增加剛性網(wǎng)格來(lái)消除不規(guī)則頻率。經(jīng)過(guò)實(shí)踐計(jì)算發(fā)現(xiàn),在計(jì)算二階力時(shí),由于需要考慮速度勢(shì)偏導(dǎo)數(shù)的影響,若不采和擴(kuò)展邊界積分法,即使一階響應(yīng)沒(méi)有不規(guī)則頻率的影響,二階結(jié)果仍會(huì)出現(xiàn)許多振蕩,圖3給出不考慮內(nèi)域自由面網(wǎng)格的橫蕩一階激勵(lì)力和二階定常力結(jié)果。
圖3 未考慮內(nèi)域自由面網(wǎng)格時(shí)橫蕩一階激勵(lì)力和二階定常力結(jié)果
從圖3可以看出,雖然一階激勵(lì)力結(jié)果很光順,但即使采和半船4 100個(gè)網(wǎng)格,定常力結(jié)果與圖4相比振蕩仍較多。因此,在計(jì)算二階力時(shí),尤其是水線面面積較大的浮體,需要采和擴(kuò)展邊界積分法。
2.2.2 定常力計(jì)算結(jié)果與AQWA軟件的對(duì)比
算例FPSO的縱蕩、橫蕩、橫搖及艏搖定常力結(jié)果對(duì)比見(jiàn)圖4和下頁(yè)圖5。計(jì)算結(jié)果表明,本文與AQWA軟件的定常力結(jié)果吻合良好。
圖4 本文與AQWA軟件的縱蕩及橫蕩定常力結(jié)果對(duì)比圖
圖5 本文與AQWA軟件橫搖和艏搖定常力結(jié)果對(duì)比圖
2.2.3 定常力各成分分析
為深入了解定常力,進(jìn)一步給出定常力響應(yīng)最大時(shí)對(duì)應(yīng)浪向四部分組成的結(jié)果,見(jiàn)圖6至下頁(yè)圖8。
圖6 縱蕩定常力和橫蕩定常力各分量結(jié)果
圖7 垂蕩定常力和橫搖定常力各分量結(jié)果
圖8 縱搖定常力和艏搖定常力各分量結(jié)果
由圖6至圖8的結(jié)果可以看出,各組成部分的符號(hào)不同,有的分量絕對(duì)值比總和結(jié)果還大,任何一項(xiàng)計(jì)算不準(zhǔn)確都會(huì)導(dǎo)致最終結(jié)果產(chǎn)生差異,計(jì)算要求精度較高。另外,高頻分量主要由伯努利項(xiàng)和水線積分項(xiàng)確定。
為驗(yàn)證本文相關(guān)推導(dǎo)和程序的合理性,進(jìn)一步開(kāi)展了算例FPSO的二階力傳遞函數(shù)計(jì)算驗(yàn)證。
2.3.1 二階和頻力傳遞函數(shù)計(jì)算結(jié)果對(duì)比
算例FPSO的二階和頻力傳遞函數(shù)對(duì)比部分結(jié)果見(jiàn)圖9以及下頁(yè)的圖10和圖11。其中:角標(biāo)S表示和頻,D表示差頻,C表示實(shí)部,S表示虛部。可以看出,本文與AQWA的結(jié)果吻合良好。
圖9 0°浪向的垂蕩二階和頻力平方傳遞函數(shù)對(duì)比
2.3.2 二階差頻力傳遞函數(shù)計(jì)算結(jié)果對(duì)比
算例FPSO的Δω= 0.05 rad/s時(shí),二階差頻力傳遞函數(shù)部分結(jié)果見(jiàn)下頁(yè)圖12-圖14,結(jié)果吻合良好。
圖10 90°浪向的橫搖二階和頻力平方傳遞函數(shù)對(duì)比
圖11 60°浪向的縱搖二階和頻力平方傳遞函數(shù)對(duì)比
圖12 60°浪向的縱蕩二階差頻力平方傳遞函數(shù)對(duì)比
圖13 90°浪向的橫蕩二階差頻力平方傳遞函數(shù)對(duì)比
2.3.3 二階差頻勢(shì)對(duì)二階差頻力傳遞函數(shù)影響
本文進(jìn)一步分析水深對(duì)二階差頻力平方傳遞函數(shù)影響,以及二階差頻入射勢(shì)和繞射勢(shì)對(duì)二階差頻力平方傳遞函數(shù)的貢獻(xiàn)隨水深的變化,水深為30 m、45 m、60 m和300 m,頻率差為0.05 rad/s的結(jié)果見(jiàn)圖15至下頁(yè)圖17。
圖16 90°浪向不同水深二階橫蕩差頻力平方傳遞函數(shù)結(jié)果
圖17 60°浪向不同水深二階艏搖差頻力平方傳遞函數(shù)結(jié)果
從圖中結(jié)果可以發(fā)現(xiàn):
(1)二階差頻力平方傳遞函數(shù)的幅值隨著水深的增大逐漸減小,且其隨水深增大變化較快,水深達(dá)到吃水的4倍左右時(shí)水深增大引起的變化可以忽略;
(2)二階差頻入射勢(shì)和繞射勢(shì)對(duì)二階縱蕩和橫蕩差頻力平方傳遞函數(shù)的虛部、艏搖差頻力平方傳遞函數(shù)的實(shí)部影響較大,該影響隨水深的增大逐漸減少到可以忽略。此外,二階差頻入射勢(shì)和繞射勢(shì)對(duì)二階垂蕩和縱搖差頻力傳遞函數(shù)的實(shí)部和虛部、二階橫搖差頻力傳遞函數(shù)的虛部影響較大,本文限于篇幅沒(méi)有列出相關(guān)結(jié)果圖。
本文基于一階勢(shì)的二階力計(jì)算方法,給出定常力、二階力傳遞函數(shù)的相關(guān)計(jì)算公式推導(dǎo),并引入二階入射和繞射差頻力的近似考慮方法,通過(guò)編制相關(guān)程序進(jìn)行驗(yàn)證,達(dá)到了AQWA軟件的同等精度,為后續(xù)開(kāi)發(fā)國(guó)產(chǎn)二階水動(dòng)力計(jì)算軟件奠定了基礎(chǔ)。此外,通過(guò)以上研究,得到以下經(jīng)驗(yàn)結(jié)論供其他研究者參考:
(1)以適量的網(wǎng)格并采和擴(kuò)展邊界積分法,近場(chǎng)方法也可獲得精度較高的二階力傳遞函數(shù)。
(2)二階力各組成分項(xiàng)符號(hào)不同,有的分量絕對(duì)值比總和結(jié)果還大,形成合成量為大值差的形式,要求計(jì)算精度較高,任何一項(xiàng)計(jì)算不準(zhǔn)確都會(huì)導(dǎo)致最終結(jié)果的差異。
(3)二階差頻力平方傳遞函數(shù)的幅值隨著水深的增大逐漸減小,且其隨水深增大變化較快;當(dāng)水深達(dá)到吃水的4倍左右,水深增大引起的變化可以忽略不計(jì)。
(4)有限水深時(shí),二階差頻入射勢(shì)和繞射勢(shì)產(chǎn)生的差頻力對(duì)二階差頻力傳遞函數(shù)影響較大;該影響隨水深的增大而逐漸減少到可以忽略不計(jì)。
(5)與不同軟件對(duì)比時(shí),要明確一階勢(shì)二階力計(jì)算公式中是否考慮二階運(yùn)動(dòng)引起的靜回復(fù)力非線性,二階力傳遞函數(shù)矩陣計(jì)算中是否考慮了關(guān)于主對(duì)角元素的對(duì)稱(chēng)算法。