隨機(jī)利率混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型下的再裝期權(quán)定價(jià)

張曉倩,劉會(huì)利

(河北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,河北 石家莊 050024)

隨著金融證券市場的不斷發(fā)展,再裝期權(quán)成為很多企業(yè)喜愛的一種新型期權(quán).再裝期權(quán)允許其持有者鎖定在再裝日的利潤,消除在到期日可能只能獲得較低收入的風(fēng)險(xiǎn).Johnson[1]首次給出了布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下再裝期權(quán)的定價(jià).羅春玲和王曉勤[2]運(yùn)用鞅方法給出了股票價(jià)格服從分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下再裝期權(quán)定價(jià).薛紅和吳江增[3]研究了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下再裝期權(quán)保險(xiǎn)精算定價(jià)模型.Cong-cong XU和Zuo-liang XU[4]使用保險(xiǎn)精算的方法估算了跳擴(kuò)散過程和Hull-White利率下非交易風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn) 的再裝期權(quán)價(jià)值.最新的有關(guān)再裝期權(quán)的研究是王佳寧和薛紅[5]他們根據(jù)次分?jǐn)?shù)相關(guān)的隨機(jī)分析理論給出了次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下再裝期權(quán)保險(xiǎn)精算定價(jià).文獻(xiàn)[6-8]提出了混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的市場是完備的且不存在套利機(jī)會(huì).混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的自相似性以及長程依賴性使它比標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng)更適合描述金融資產(chǎn)的價(jià)格變化行為.所以考慮在混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下再裝期權(quán)的定價(jià)是十分有必要的.因此國內(nèi)外的一些學(xué)者在混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型下得到了一些新的研究成果.周海艷和江秉華[9]在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型假設(shè)下,利用擬鞅定價(jià)的方法得到了幾種奇異期權(quán)的定價(jià)公式.D.Ahmadian和L.V.Ballestra[10]在假設(shè)標(biāo)的股票價(jià)格服從混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型的前提下,研究了幾何平均亞式期權(quán)定價(jià)問題.

事實(shí)上,在上面的這些文獻(xiàn)中,對(duì)利率的假設(shè)是不夠的,在實(shí)際生活中,國家經(jīng)濟(jì)發(fā)展情況以及股票市場的波動(dòng)都會(huì)引起利率的波動(dòng).所以利率風(fēng)險(xiǎn)對(duì)期權(quán)價(jià)格也存在一定影響.張藍(lán)心[11]利用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理給出了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境中隨機(jī)利率下的再裝期權(quán)定價(jià).受上述文獻(xiàn)的啟發(fā),本文主要在混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下,運(yùn)用鞅方法研究利率隨機(jī)的情況下再裝期權(quán)的定價(jià)公式.

1 預(yù)備知識(shí)

表示乘積空間.

σBH(t)+εW1(t)

稱為混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng),其中σ,ε為不同時(shí)等于0的常數(shù).

3 隨機(jī)利率混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型下再裝期權(quán)的定價(jià)公式

dS(t)=r(t)S(t)dt+σsS(t)dBH(t)+εsS(t)dW1(t),

(1)

其中σs,εs都是常數(shù),分別表示分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)和布朗運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)率；r(t)為無風(fēng)險(xiǎn)利率,式(1)的解為

設(shè)r(t)服從Vasicek[16]利率模型,即

dr(t)=αr(θ-r(t))dt+εrdW2(t),

(2)

由文獻(xiàn)[17]中的方程(5)可得

其中

再裝期權(quán)是在歐式看漲期權(quán)的基礎(chǔ)上衍生出來的一種新型期權(quán).在本文中,我們僅考慮再裝一次的情況.它允許期權(quán)的持有者在到期日T之前的特定的再裝日T1(0K,則執(zhí)行期權(quán)的同時(shí)獲得一個(gè)數(shù)量為K/S(T1),到期日T不變,執(zhí)行價(jià)格為S(T1)的新的歐式看漲期權(quán).若在再裝日期權(quán)處于虛值狀態(tài),則不提前執(zhí)行期權(quán).

故再裝期權(quán)在再裝日T1所獲得的現(xiàn)金流為

VT1=max(S(T1)-K,0),

(3)

在到期日T所獲得的現(xiàn)金流為

(4)

當(dāng)T1=T時(shí),再裝期權(quán)即為普通的歐式看漲期權(quán).

本文中我們用C(S(t),t),t≤T1表示標(biāo)的資產(chǎn)為S(t),執(zhí)行價(jià)格為K,再裝日為T1,到期日為T的再裝期權(quán)在t時(shí)刻的價(jià)格(t≤T1≤T).由風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理可知,C(S(0),0)為再裝期權(quán)到到期日T所獲得的所有現(xiàn)金在0時(shí)刻的貼現(xiàn)值.根據(jù)方程(3)和(4),可得

(5)

定義遠(yuǎn)期測度QT關(guān)于Q的Radon-Nikodm導(dǎo)數(shù)為

(6)

則由引理1可得

其中QT(A)表示事件A在QT下的概率.

類似定義遠(yuǎn)期測度QT1,使得

為了化簡式(5),我們還需引入兩個(gè)新測度.一個(gè)是以股票價(jià)格S(t)作為計(jì)價(jià)單位的測度QS.定義它關(guān)于Q的Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù)為

(7)

則由引理1可得

(8)

則由引理1可得

定理1假設(shè)利率是隨機(jī)的,再裝期權(quán)在0時(shí)刻的價(jià)格由下式確定

(9)

接下來,我們將利用Girsanov定理和分?jǐn)?shù)Girsanov定理,分別計(jì)算式(9)中各項(xiàng)的值,從而進(jìn)一步得到下面再裝期權(quán)的定價(jià)公式.

定理2設(shè)股票價(jià)格S(t)滿足式(1),隨機(jī)利率r(t)滿足(2),則再裝期權(quán)在0時(shí)刻的價(jià)格為

C(S(0),0)=S(0)(N(d1)+N(-d1,d6,-ρ2))-KP(0,T1)(N(d2)-N(d2,d3,ρ1))-KP(0,T)(N(d4,d5,ρ1)+N(-d4,d7,-ρ2)),

其中N(·)表示一維正態(tài)分布隨機(jī)變量的累積分布函數(shù),N(·,·,ρ)表示二維正態(tài)分布隨機(jī)變量的累積分布函數(shù),ρ是相關(guān)系數(shù),

QS(A1)=N(d1),

(10)

(11)

QT=(A1∩A2)=N(d4,d5,ρ1),

(12)

(13)

類似可得出

QT1(A1)=N(d2).

(14)

利用引理2和引理3構(gòu)造分段函數(shù),取

(15)

綜上,將式(10)-(15)代入定理1中式(9),即可得定理2的結(jié)論.

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

為觀察各參數(shù)對(duì)再裝期權(quán)價(jià)格的影響,我們分別給出了不同參數(shù)下期權(quán)價(jià)格C(S(0),0)關(guān)于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S(0)的圖像.上面五幅圖均假設(shè)：

r(0)=0.05,αr=0.2,θr=0.05,T1=0.5,T=1.

圖(a)是當(dāng)σs=0.1,K=110,εs=0.3,εr=0.3時(shí),Hurst參數(shù)H對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響.從圖(a)中可以看出,當(dāng)Hurst參數(shù)為0.7和0.8時(shí),期權(quán)價(jià)格很接近,但是二者均比H=0.6時(shí)的期權(quán)價(jià)格高.所以,在金融市場進(jìn)行期權(quán)交易中選取合適的Hurst參數(shù)能有效地降低購買期權(quán)時(shí)的交易成本.

圖(b)是當(dāng)σs=0.1,εs=0.3,εr=0.3,H=0.6時(shí),執(zhí)行價(jià)格K對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響.從圖(b)中可以看出K對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響是較為明顯的,進(jìn)而會(huì)影響股東和經(jīng)理人雙方的利益,當(dāng)股票價(jià)格在一定范圍內(nèi)時(shí),執(zhí)行價(jià)格K越大,期權(quán)價(jià)格反而越低.因此,為實(shí)現(xiàn)股東利益的最大化,非常有必要根據(jù)此分析選擇合適的執(zhí)行價(jià)格.

圖(c)是當(dāng)K=110,H=0.6,σs=0.3,εr=0.3時(shí),波動(dòng)率σs對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響.其中較為顯著的一個(gè)特點(diǎn)是當(dāng)σs=0.1時(shí)期權(quán)價(jià)格的變化程度較其它兩者更大.從圖(c)中可以看出,選取合適的σs會(huì)降低股票價(jià)格波動(dòng)帶來的風(fēng)險(xiǎn),具有實(shí)際意義.

圖(d)是當(dāng)K=110,H=0.6,σs=0.1,εr=0.3時(shí),波動(dòng)率εs對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響.在εs=0.3的情況下,在一定范圍內(nèi)期權(quán)價(jià)格較其它兩個(gè)參數(shù)對(duì)應(yīng)的期權(quán)價(jià)格較低;將εs=0.1和εs=0.05兩種情況做對(duì)比,在一定范圍內(nèi)εs=0.05對(duì)應(yīng)的期權(quán)價(jià)格比εs=0.1對(duì)應(yīng)的期權(quán)價(jià)格高,但由于εs=0.1的曲線增長率更大,使得當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格越大時(shí),εs=0.1對(duì)應(yīng)的期權(quán)價(jià)格高于εs=0.05對(duì)應(yīng)的期權(quán)價(jià)格.

圖(e)是當(dāng)K=110,H=0.60,σs=0.1,εs=0.3時(shí),波動(dòng)率εr對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響.εr=0.1對(duì)應(yīng)的期權(quán)價(jià)格比其它兩個(gè)參數(shù)的高,在一定程度內(nèi)其期權(quán)價(jià)格的變化程度也是最大的.

4 總 結(jié)

考慮到利率隨機(jī)更加符合金融市場的實(shí)際情況,本文假定利率服從Vasicek利率模型,并假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)滿足混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)過程驅(qū)動(dòng)下的隨機(jī)微分方程,其中波動(dòng)率以及Hurst參數(shù)H均為常數(shù).我們主要運(yùn)用測度變換的方法,研究了在隨機(jī)利率混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境中再裝期權(quán)的定價(jià)問題,并對(duì)所推導(dǎo)的結(jié)果進(jìn)行了數(shù)值模擬.