機(jī)架模型下指向誤差數(shù)據(jù)的篩選與分析

胡曉煒，朱慶生

(1. 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)，安徽 合肥 230026 ；2. 中國(guó)科學(xué)院南京天文儀器有限公司，江蘇 南京 210042)

在天文望遠(yuǎn)鏡的指向誤差修正方面，文[1]建立了機(jī)架模型，經(jīng)修正后的指向精度優(yōu)于5″；文[2]對(duì)靜態(tài)指向模型的基本參數(shù)進(jìn)行了討論，通過(guò)逐步回歸分析，確定了碼盤零點(diǎn)差、度盤偏心誤差等誤差源作為顯著回歸因子；文[3]對(duì)比了球諧函數(shù)模型和水平式望遠(yuǎn)鏡指向模型，并通過(guò)水平式望遠(yuǎn)鏡觀測(cè)驗(yàn)證了模型的有效性。在射電望遠(yuǎn)鏡的指向性能改進(jìn)上，文[4]通過(guò)修正軌道高差造成的指向偏差，提高了天線整體的指向精度。本文通過(guò)軟件方式修正指向誤差，對(duì)機(jī)架模型誤差數(shù)據(jù)的獲取及系數(shù)求解做了說(shuō)明，并通過(guò)殘差分析的方法篩選指向誤差數(shù)據(jù)，計(jì)算均方根誤差(Root Mean Square Error, RMSE)以驗(yàn)證模型對(duì)優(yōu)化后數(shù)據(jù)的內(nèi)符合精度，排除找星錯(cuò)誤等誤操作對(duì)修正結(jié)果的影響，提高擬合精度。在此基礎(chǔ)上分析加密測(cè)量點(diǎn)數(shù)對(duì)指向修正精度的影響，并說(shuō)明了分次獲取的誤差數(shù)據(jù)，殘差檢驗(yàn)后可合并處理。使用本文方法對(duì)1 m人造衛(wèi)星激光測(cè)距望遠(yuǎn)鏡和地基激光發(fā)射望遠(yuǎn)鏡獲取的指向誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，修正精度均得到有效提高。

1 指向誤差影響因素分析

天文望遠(yuǎn)鏡在設(shè)計(jì)、加工、制造、裝配等環(huán)節(jié)，由于多種因素引入指向誤差，導(dǎo)致望遠(yuǎn)鏡主光軸顯示到達(dá)的位置與目標(biāo)星實(shí)際位置存在偏差，在跟蹤過(guò)程中不能準(zhǔn)確指向衛(wèi)星的預(yù)報(bào)位置。這些因素主要包括機(jī)架的制造與安裝誤差、軸系傾斜、軸間不正交、重力變形、鏡筒與光學(xué)系統(tǒng)的彎沉[5]、光柵編碼器誤差、視準(zhǔn)軸誤差等。指向誤差一般用均方根誤差表示。

指向誤差的修正可采用硬件修正和軟件修正兩種方法。硬件修正指在機(jī)械和光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)加工、裝調(diào)過(guò)程中，采用軸系校準(zhǔn)、視軸校準(zhǔn)、光柵編碼器測(cè)角組件校準(zhǔn)等方法減小誤差。但望遠(yuǎn)鏡裝調(diào)結(jié)束后難以通過(guò)硬件修正減小誤差，且隨著運(yùn)動(dòng)部件的磨損，硬件修正效果大打折扣，修正效果有限且費(fèi)用較高。軟件修正是提取影響望遠(yuǎn)鏡指向誤差的各個(gè)因素，利用系統(tǒng)誤差重復(fù)性的特征建立數(shù)學(xué)模型并通過(guò)計(jì)算機(jī)軟件修正。

通過(guò)對(duì)望遠(yuǎn)鏡機(jī)械系統(tǒng)的分析可以估計(jì)不加修正前的誤差量，這部分誤差為系統(tǒng)誤差。就地平式望遠(yuǎn)鏡而言，指向誤差中系統(tǒng)誤差較大，隨機(jī)誤差較小，由于系統(tǒng)誤差與望遠(yuǎn)鏡軸系的角度有關(guān)，可以建立高度誤差ΔH和方位誤差ΔA的擬合模型。

望遠(yuǎn)鏡在指向與跟蹤前需要建立指向誤差模型，通過(guò)回歸分析確定擬合參數(shù)。在運(yùn)行時(shí)，計(jì)算機(jī)實(shí)時(shí)計(jì)算望遠(yuǎn)鏡在當(dāng)前指向處的系統(tǒng)誤差估計(jì)值，并對(duì)光柵編碼器反饋的位置進(jìn)行修正，可消除指向誤差中的系統(tǒng)誤差，大幅提高望遠(yuǎn)鏡的指向精度和盲測(cè)的跟蹤精度，美國(guó)的SLR2000經(jīng)模型修正后指向誤差可小于1″。

望遠(yuǎn)鏡指向誤差修正過(guò)程包括：(1)恒星選?。?2)獲取誤差數(shù)據(jù)；(3)建立指向誤差模型；(4)計(jì)算模型參數(shù)；(5)驗(yàn)證模型符合度；(6)在望遠(yuǎn)鏡控制程序中導(dǎo)入修正系數(shù)并實(shí)時(shí)修正。

2 常用指向誤差模型

2.1 球諧函數(shù)模型

采用球諧函數(shù)多項(xiàng)式對(duì)地基望遠(yuǎn)鏡指向誤差進(jìn)行擬合的誤差模型稱為球諧函數(shù)模型，它可應(yīng)用于任何機(jī)架結(jié)構(gòu)的望遠(yuǎn)鏡，通過(guò)對(duì)基準(zhǔn)面為球面誤差進(jìn)行擬合，方法簡(jiǎn)單，可擬合各種誤差，對(duì)地平式望遠(yuǎn)鏡和赤道式望遠(yuǎn)鏡能達(dá)到較高的內(nèi)符合精度。但模型參數(shù)較多且沒有實(shí)際物理意義，參數(shù)之間相關(guān)性大，模型不穩(wěn)定[6]，重新測(cè)得數(shù)據(jù)后，求出的模型參數(shù)變化大。

2.2 基本參數(shù)模型

對(duì)望遠(yuǎn)鏡的靜態(tài)指向誤差及基本參數(shù)逐步回歸分析以確定顯著回歸因子。由于導(dǎo)致指向誤差的因素較多且可能存在相關(guān)性，通過(guò)逐步回歸分析可將誤差源中的不顯著因子剔除，確保模型中的參數(shù)項(xiàng)必須存在且不可替代。分析思路是將誤差源逐個(gè)引入，每引入一個(gè)變量，對(duì)模型中的原有變量逐個(gè)檢驗(yàn)，將不顯著的因子刪除，重復(fù)該步驟，直至添加所有誤差源。此時(shí)，回歸模型中的所有誤差源對(duì)修正系數(shù)都是顯著的，因?yàn)榻?jīng)過(guò)逐步回歸分析，參數(shù)項(xiàng)較少且參數(shù)之間相關(guān)性小，模型較為穩(wěn)定[7]。但需根據(jù)望遠(yuǎn)鏡的機(jī)架結(jié)構(gòu)引入其他參數(shù)，設(shè)計(jì)不同的模型并驗(yàn)證殘差，過(guò)程復(fù)雜，拓展性差。

2.3 機(jī)架模型

機(jī)架模型也稱為轉(zhuǎn)臺(tái)模型，常用于地平式望遠(yuǎn)鏡，通過(guò)對(duì)望遠(yuǎn)鏡機(jī)架結(jié)構(gòu)分析建立模型。全模型共有24項(xiàng)參數(shù)，通過(guò)對(duì)參數(shù)間的相關(guān)性回歸分析及試驗(yàn)，保留19項(xiàng)參數(shù)，其中方位軸參數(shù)有11項(xiàng)，高度軸參數(shù)有10項(xiàng)(方位軸南北向傾斜和方位軸東西向傾斜為共同參數(shù))，這些參數(shù)均有實(shí)際的物理意義，表1和表2分別為機(jī)架模型方位軸和高度軸各項(xiàng)參數(shù)。

機(jī)架模型的表達(dá)式為

ΔA=a1-a2cosAtanH-a3sinAtanH+a4secH-a5tanH+a6sinA+a7cosA+a8sin2A+

a9cos2A+a10sin2AsecH+a11cos2AsecH，

(1)

ΔH=b1+b2sinA-b3cosA+b4cotH+b5sinA+b6cosA+b7HsinA+b8HcosA+b9sin2A+

b10cos2A.

(2)

機(jī)架模型是對(duì)基本參數(shù)模型的擴(kuò)展，具有更高的精度，符合度優(yōu)于基本參數(shù)模型。由于機(jī)架模型加入了更多的參數(shù)，增大了參數(shù)間的相關(guān)性，因此沒有基本參數(shù)模型穩(wěn)定[8]。

3 誤差數(shù)據(jù)獲取與機(jī)架模型系數(shù)求解

望遠(yuǎn)鏡指向模型修正分為零點(diǎn)校正、指向誤差測(cè)定和模型系數(shù)求解3個(gè)模塊，將修正系數(shù)載入控制程序，在恒星和衛(wèi)星的指向與跟蹤中實(shí)時(shí)修正。本文基于地基激光發(fā)射望遠(yuǎn)鏡，選用機(jī)架模型修正指向誤差。

3.1 測(cè)定碼盤零點(diǎn)偏差

通過(guò)FK5星表或星圖軟件使望遠(yuǎn)鏡指向任意一顆恒星(避免指向雙星系統(tǒng)，條件允許時(shí)選北極星可便于跟蹤，避免引入更多誤差)，手動(dòng)將該星調(diào)到CCD中心，用碼盤測(cè)得的方位/高度值減去該星的理論方位/高度值，即為碼盤的零點(diǎn)偏差。通過(guò)這一步驟，修正碼盤零點(diǎn)和坐標(biāo)系零點(diǎn)之間的偏差。

表2 機(jī)架修正模型參數(shù)表(高度軸)

3.2 劃分天區(qū)，獲取數(shù)據(jù)

在晴夜中，根據(jù)擬獲取的測(cè)試數(shù)據(jù)組數(shù)均勻劃分天區(qū)，在每個(gè)分區(qū)內(nèi)選定一顆亮度適中的恒星(太亮容易曝光過(guò)度，使獲取的誤差數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確，太暗可能與周圍的恒星混淆)。此時(shí)有兩種方法可以獲得指向誤差數(shù)據(jù)：(1)根據(jù)該星偏離CCD中心的脫靶量和像素的空間分辨率，計(jì)算望遠(yuǎn)鏡在該空間指向處的指向誤差；(2)手動(dòng)將目標(biāo)星調(diào)整到相機(jī)成像中心，該方法能避免方位軸像素分辨率隨高度角變化帶來(lái)的影響，有效提高測(cè)量精度。通過(guò)測(cè)量星點(diǎn)在CCD上偏移一定像素對(duì)應(yīng)的望遠(yuǎn)鏡轉(zhuǎn)角，可以測(cè)定像素分辨率。經(jīng)試驗(yàn)，在高度角為0°時(shí)，方位像素分辨率見表3。高度角H處，方位的像素分辨率為(0.466cosH)″。因此，采用第2種方法記錄誤差數(shù)據(jù)(方位、高度、方位誤差、高度誤差)。試驗(yàn)共測(cè)得66組數(shù)據(jù)。

3.3 求解指向模型系數(shù)

利用MATLAB對(duì)獲取的誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，計(jì)算修正系數(shù)。誤差數(shù)據(jù)包含4項(xiàng)，分別為方位角AZi、高度角Hi、方位偏差ΔAZi、高度偏差ΔHi(方位、高度以弧度表示，偏差數(shù)據(jù)以角度表示，共測(cè)得N組數(shù)據(jù)，i=1, 2, …,N)，將其導(dǎo)入MATLAB中，構(gòu)造4組一維列向量，代入機(jī)架模型的方位函數(shù)與高度函數(shù)，得到修正系數(shù)矩陣A，通過(guò)最小二乘法求解，可求得修正系數(shù)向量B。推導(dǎo)過(guò)程如下。

表3 CCD像素分辨率測(cè)量表Table 3 CCD pixel resolution measurement table

X=[1 0-cos(AZ).×tan(H)-sin(AZ).×tan(H)sec(H)-tan(H)sin(AZ)cos(AZ) 0 sin

(2.×AZ) cos(2.×AZ) 0 0 0 0 sin(2.×AZ).×sec(H)cos(2.×AZ).×sec(H) 0 0] ，

(3)

Y=[0 1 sin(AZ)-cos(AZ) 0 0 0 0 cot(H) 0 0 sin(AZ)cos(AZ)H.×sin(AZ)H.×cos

(AZ) 0 0 sin(2.×AZ)cos(2.×AZ)].

(4)

采用多項(xiàng)式曲線擬合，擬合曲線方程為19階多項(xiàng)式。測(cè)試數(shù)據(jù)共66組，系數(shù)矩陣A為132 × 19，誤差矩陣E為132 × 1，

(5)

用矩陣形式可以表示為

E=AB，

(6)

B為待求解的修正系數(shù)向量[b19,b18, …,b1]T，在方程兩邊左乘AT，得到

ATE=ATAB，

(7)

在(7)式兩邊同乘ATA的逆矩陣，有

B=(ATA)-1ATE，

(8)

上式右半部分各項(xiàng)均已知，可求解得到修正系數(shù)向量B。

在望遠(yuǎn)鏡的基座、重力分布未發(fā)生較大變化的情況下，一次誤差測(cè)定可長(zhǎng)期使用。

4 誤差數(shù)據(jù)分析及模型符合度驗(yàn)證

在指向模型數(shù)據(jù)處理的過(guò)程中，修正系數(shù)的擬合精度受單次觀測(cè)統(tǒng)計(jì)量的影響。當(dāng)出現(xiàn)目標(biāo)星識(shí)別錯(cuò)誤、基座振動(dòng)等情況時(shí)，測(cè)量的誤差值會(huì)大幅偏離真實(shí)誤差值。異常的觀測(cè)數(shù)據(jù)在圖形上呈現(xiàn)孤立型，偏離由大多數(shù)數(shù)據(jù)組成的分布趨勢(shì)，需要剔除這些數(shù)據(jù)，減小對(duì)擬合精度的影響。

通過(guò)殘差分析的方法剔除偏離大的數(shù)據(jù)，從而保證實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的精確度。從上節(jié)的求解模型中提取方位誤差并單獨(dú)求解，由(1)式可知，方位修正系數(shù)共11項(xiàng)，若要求解這11個(gè)系數(shù)，最少需要11組方程。試驗(yàn)共獲取66組數(shù)據(jù)，可構(gòu)建66組方程，相應(yīng)地有66個(gè)殘差。本文中，第i組數(shù)據(jù)的殘差ei

為該組的預(yù)測(cè)值y^i與觀測(cè)值yi之差，即ei=y^i-yi。代入上節(jié)求解模型，有

e=3 600[(XB)-ΔAZ] ，

(9)

(9)式殘差的單位為角秒(″)，取殘差95%置信區(qū)間，可得方位殘差圖，以此估計(jì)預(yù)測(cè)的誤差與實(shí)際誤差是否一致，從而驗(yàn)證所建模型的符合度，方位殘差圖如圖1，(a)為95%置信區(qū)間，(b)為99%置信區(qū)間。圖1的橫坐標(biāo)表示測(cè)試文件中數(shù)據(jù)的序號(hào)，縱坐標(biāo)代表殘差，即擬合值與實(shí)際測(cè)量值之間的差值，單位為″。從圖1可以看出，殘差隨機(jī)分布在0點(diǎn)兩側(cè)，若殘差的置信區(qū)間與0點(diǎn)相交，說(shuō)明獲取的指向誤差數(shù)據(jù)能夠較好地符合模型，若置信區(qū)間偏離0點(diǎn)，該組數(shù)據(jù)可視為異常數(shù)據(jù)，需要剔除。以方位殘差95%置信區(qū)間為例，66組測(cè)試數(shù)據(jù)中有4組異常，需要剔除以提高模型的精度。

圖1 方位殘差分析圖Fig.1 Azimuth residual analysis chart

為了驗(yàn)證指向模型對(duì)偏差數(shù)據(jù)的修正是否具有良好的精確度，本文采用均方誤差(Mean-Square Error, MSE)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，該指標(biāo)可評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)的變化程度，均方誤差越小，說(shuō)明模型描述數(shù)據(jù)越準(zhǔn)確。均方誤差表達(dá)式為

(10)

為了在數(shù)量級(jí)上更直觀，可對(duì)均方誤差開方，即均方根誤差

(11)

以方位的指向誤差為例，分別計(jì)算在不同組數(shù)下的均方根誤差，如表4。

由于擬合方位誤差需要確定11個(gè)系數(shù)，故最少需要11組測(cè)試數(shù)據(jù)。從表4可以看出，在一定范圍內(nèi)，增加測(cè)試組數(shù)能有效提高模型的符合度。當(dāng)測(cè)試組數(shù)超過(guò)20組時(shí)，擬合數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確度反而隨測(cè)試組數(shù)的增加而降低。因此，不經(jīng)處理地增加測(cè)試組數(shù)并不能使擬合精度得到優(yōu)化。添加新的誤差數(shù)據(jù)后須經(jīng)殘差分析，剔除偏離較大的值才能降低擬合誤差。

表4 不同數(shù)量測(cè)試組下計(jì)算的均方根誤差(方位角)

在已獲取指向誤差數(shù)據(jù)的情況下，可通過(guò)殘差分析，將殘差95%置信區(qū)間與0點(diǎn)不相交的數(shù)據(jù)依次剔除，如圖2，(a)為66組數(shù)據(jù)，(b)為62組數(shù)據(jù)，(c)為58組數(shù)據(jù)，(d)為54組數(shù)據(jù)，均取95%置信區(qū)間。計(jì)算剔除殘差偏離數(shù)據(jù)后的均方根誤差如表5、表6。

表5 剔除殘差偏離數(shù)據(jù)后的均方根誤差(方位角)

表6 剔除殘差偏離數(shù)據(jù)后的均方根誤差(高度角)

圖2 剔除部分偏離較大數(shù)據(jù)后的殘差分析圖(方位角)Fig.2 Residual analysis chart after removing some value with large deviation (azimuth)

由(2)式可知，高度修正系數(shù)共有10項(xiàng)，故擬合高度誤差至少需要10組數(shù)據(jù)。同理，對(duì)高度方向做殘差分析，圖3為殘差分布直方圖，橫坐標(biāo)表示殘差，縱坐標(biāo)表示某一殘差范圍的數(shù)據(jù)組數(shù)，由圖3可以看出，高度殘差近似服從正態(tài)分布。剔除部分偏離較大數(shù)據(jù)后的殘差分析見圖4，(a)為66組數(shù)據(jù)，(b)為62組數(shù)據(jù)，(c)為58組數(shù)據(jù)，(d)為54組數(shù)據(jù)，均取95%置信區(qū)間。

我們使用烏魯木齊的地基激光發(fā)射望遠(yuǎn)鏡做試驗(yàn)，在0°～360°范圍內(nèi)選擇60顆恒星，測(cè)量指向誤差數(shù)據(jù)(恒星指向數(shù)據(jù)的方位-高度分布如圖5)，刪除殘差偏離較大的數(shù)據(jù)點(diǎn)后，兩軸均方根誤差如表7、表8，相應(yīng)殘差分析圖如圖6、圖7，(a)為60組數(shù)據(jù)，(b)為56組數(shù)據(jù)。

圖3 高度角殘差數(shù)據(jù)分布Fig.3 Height residual data distribution

圖4 剔除部分偏離較大數(shù)據(jù)后的殘差分析圖(高度角)Fig.4 Residual analysis chart after removing some value with large deviation (height)

表9為應(yīng)用機(jī)架模型對(duì)位于烏魯木齊的地基激光發(fā)射望遠(yuǎn)鏡計(jì)算的兩軸指向誤差修正系數(shù)。第1組系數(shù)由原始的恒星指向數(shù)據(jù)計(jì)算得出(共60個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn))，兩軸誤差均方值分別為9.46″和18.47″。第2組系數(shù)由剔除部分殘差偏離較大的指向數(shù)據(jù)計(jì)算得出(共56個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn))，兩軸誤差均方值分別為7.79″和11.39″。

試驗(yàn)獲取了1 m人造衛(wèi)星激光測(cè)距望遠(yuǎn)鏡、地基激光發(fā)射望遠(yuǎn)鏡的多組指向誤差數(shù)據(jù)，通過(guò)計(jì)算分析得出結(jié)論：剔除殘差偏離較大的數(shù)據(jù)后的測(cè)試組能夠有效提高指向修正數(shù)據(jù)的擬合精度。

在外界環(huán)境未發(fā)生明顯變化的前提下，指向誤差數(shù)據(jù)可分次獲取(可將分批獲取的數(shù)據(jù)合并，使用殘差圖分析，若殘差集中在95%置信區(qū)間內(nèi)且未出現(xiàn)斷層，可判定外部環(huán)境未發(fā)生明顯變化)，添加新的測(cè)試數(shù)據(jù)時(shí)，要保證添加后測(cè)試組的均方根誤差小于原有測(cè)試組的均方根誤差，才能提高指向模型對(duì)誤差數(shù)據(jù)描述的準(zhǔn)確度。

圖5 恒星指向數(shù)據(jù)的方位-高度坐標(biāo)分布圖Fig.5 A-O-E coordinate distribution of star pointing data

表7 剔除殘差偏離數(shù)據(jù)后的均方根誤差(方位角)

表8 剔除殘差偏離數(shù)據(jù)后的均方根誤差(高度角)

圖6 剔除部分偏離較大數(shù)據(jù)后的殘差分析圖(方位角)Fig.6 Residual analysis chart after removing some value with large deviation (azimuth)

圖7 剔除部分偏離較大數(shù)據(jù)后的殘差分析圖(高度角)Fig.7 Residual analysis chart after removing some value with large deviation (height)

通過(guò)多元線性回歸檢驗(yàn)機(jī)架指向修正模型對(duì)偏差數(shù)據(jù)擬合的精確度，如表10，R2為決定系數(shù)，其值越大，擬合程度越高。由表10可以看出，原始的66組測(cè)試數(shù)據(jù)擬合優(yōu)度超過(guò)99%，誤差擬合精度非常好。通過(guò)殘差分析篩選數(shù)據(jù)后，擬合優(yōu)度得到進(jìn)一步提高。同樣也可通過(guò)F檢驗(yàn)的P值驗(yàn)證指向模型的有效性，當(dāng)P< 0.001時(shí)，說(shuō)明模型有效，由表10可看出，對(duì)于所列的測(cè)試組，F(xiàn)檢驗(yàn)的P值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于0.001，說(shuō)明指向模型能夠很好地?cái)M合偏差數(shù)據(jù)。

表9 應(yīng)用機(jī)架模型計(jì)算的剔除殘差偏離較大數(shù)據(jù)前后的修正系數(shù)對(duì)比

表10 機(jī)架模型檢驗(yàn)表Table 10 Frame model inspection form

5 結(jié) 論

本文通過(guò)以上的試驗(yàn)與分析得出如下結(jié)論：

(1)對(duì)使用機(jī)架模型獲取的指向誤差數(shù)據(jù)，通過(guò)殘差分析的方法剔除部分殘差偏離較大的數(shù)據(jù)，能夠有效提高指向修正精度。但隨著數(shù)據(jù)組的不斷優(yōu)化，精度提高的幅度逐步減小。

(2)指向誤差數(shù)據(jù)可分次獲取，增加新的測(cè)試數(shù)據(jù)后，可使用殘差圖判定外部環(huán)境有無(wú)明顯變化。若增加數(shù)據(jù)后，測(cè)試組的均方根誤差小于原有測(cè)試組的均方根誤差，能夠提高修正精度。