經(jīng)典邊界條件黏彈性Pasternak地基上Bernoulli-Euler梁橫向自振特性分析

付艷艷， 余云燕

(蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院， 蘭州 730070)

土木工程中的許多工程構(gòu)件，諸如鐵道軌枕、公路路面，隧道中用以增強(qiáng)地基承載力的梁，在對它們進(jìn)行動力分析時均可簡化為地基梁模型[1-4]。而結(jié)構(gòu)的自振特性又是反映結(jié)構(gòu)動力特性的重要物理量，在結(jié)構(gòu)安全性及可靠性評價時具有重要的意義，因此地基梁的動力特性在學(xué)術(shù)界及工程領(lǐng)域也備受關(guān)注。

Bernoulli-Euler梁在梁理論的發(fā)展歷史上有著非常重要的地位，由于其理論形式簡單易用，并且在很多問題上都能給出可以接受的工程近似解答，故而在以往對地基梁的研究中多有應(yīng)用。Ge等[5]研究了Winkler地基上含有空腔的Bernoulli-Euler的自振頻率和模態(tài)；彭麗等[6]運(yùn)用復(fù)模態(tài)方法研究了有限長黏彈性Winkler 地基上的Bernoulli-Euler梁的振動特性，得出簡支邊界條件下的復(fù)頻率方程和復(fù)模態(tài)函數(shù)表達(dá)式。馬建軍等[7～8]基于Winkler地基模型、Euler梁理論，研究了考慮土體質(zhì)量及有限深度土體運(yùn)動影響的有限長地基梁的線性和非線性固有頻率及模態(tài)構(gòu)型。彭麗等[9-10]應(yīng)用復(fù)模態(tài)方法研究了Pasternak地基上不同邊界條件下的Bernoulli-Euler梁的自振特性數(shù)值解及任一初始激勵條件下外激勵的響應(yīng)。丁虎等[11]由共振關(guān)系給出Pasternak地基上兩端簡支和兩端固支邊界條件下Bernoulli-Euler梁的固有頻率以及模態(tài)。此外，由于Pasternak地基模型考慮了地基梁與地基之間剪切作用，能夠更精確的模擬地基土體的力學(xué)性質(zhì)。因此，近年來關(guān)于黏彈性Pasternak地基梁自振特性的研究成果也頗多。Wang等[12]研究了Pasternak地基上各種經(jīng)典邊界條件下的Timoshenko梁的自振頻率近似解，并給出具體算例分析了轉(zhuǎn)動慣量、剪切模量和地基參數(shù)對梁自振頻率的影響。彭麗等[13]應(yīng)用復(fù)模態(tài)方法研究了Pasternak 地基上Timoshenko梁的自振特性。Zhang等[14]通過差值矩陣法研究了在保守軸向壓縮力下黏彈性Pasternak地基上錐形截面Timoshenko梁的橫向自振特性。雖然在以上的研究中對黏彈性Pasternak地基與Bernoulli-Euler梁的組合也有所涉及，但卻非常有限，且這些研究對各種經(jīng)典邊界條件的分析較為分散，尚不夠全面。

回傳射線矩陣法(MRRM)計算精度高、計算速度快、數(shù)值穩(wěn)定性好，在結(jié)構(gòu)的自振特性研究中已有一定的應(yīng)用[15-19]，但在這些研究中對結(jié)構(gòu)模態(tài)的研究僅停留在實部范圍內(nèi)。故本文基于回傳射線矩陣法(MRRM)，在復(fù)數(shù)域內(nèi)對黏彈性Pasternak地基上的Bernoulli-Euler梁在兩端簡支、兩端自由、兩端固支、簡支-自由、簡支-固支及固支-自由這六種邊界條件下的橫向自振特性進(jìn)行研究。建立各邊界條件下的回傳射線矩陣，推導(dǎo)得到各邊界條件下的頻率方程；根據(jù)邊界條件及正交歸一化條件進(jìn)一步求解出模態(tài)函數(shù)解析表達(dá)式。通過具體算例驗證自振頻率及衰減系數(shù)解析表達(dá)式的正確性，分析不同邊界條件下的自振頻率、衰減系數(shù)及模態(tài)。為黏彈性地基梁的振動特性研究提供理論基礎(chǔ)。

1 振動控制方程及方程的解

黏彈性Pasternak地基上Bernoulli-Euler梁的力學(xué)模型及坐標(biāo)系如圖1所示。

對黏彈性Pasternak地基上的Bernoulli-Euler梁進(jìn)行節(jié)點(diǎn)編號，如圖1所示，分別在節(jié)點(diǎn)1及節(jié)點(diǎn)2處建立局部坐標(biāo)系x12及x21，若以l表示梁長，則兩者的關(guān)系為x12=l-x21。整體坐標(biāo)系x的方向與局部坐標(biāo)系x12一致。其橫向自由振動控制方程為

(1)

式中:ρ、A、I分別表示梁體的材料密度、橫截面面積和橫截面對其形心主軸的慣性矩；E為梁體材料楊氏模量；k1、k2、β分別為土體的彈性系數(shù)、剪切系數(shù)和阻尼系數(shù)；v為梁的撓度；t為時間。

圖1 黏彈性Pasternak 地基上Bernoulli-Euler梁的力學(xué)模型及坐標(biāo)系

對式(1)進(jìn)行無量綱化，令

(2)

將式(2)代入式(1)，并整理得：

(3)

(4)

(5)

求解式(5)得：

(6)

其中，aj(ω)為入射波波幅，dj(ω)為出射波波幅，λj為波數(shù)，其表達(dá)式為

j=1，2

(7)

(8)

2 經(jīng)典邊界條件下的自振頻率及模態(tài)函數(shù)

分別考慮兩端簡支、兩端自由、兩端固支、簡支-自由、簡支-固支及固支-自由六種邊界條件下的自振頻率和模態(tài)函數(shù)，其節(jié)點(diǎn)耦合條件如表1所示。

表1 經(jīng)典邊界條件下黏彈性Pasternak地基上Euler-Bernoulli梁的節(jié)點(diǎn)耦合條件

2.1 兩端簡支邊界條件下的自振頻率和模態(tài)函數(shù)

以兩端簡支為例，基于回傳射線矩陣法推導(dǎo)其頻率方程及模態(tài)函數(shù)，將式(6)及式(8)代入表1中兩端簡支的節(jié)點(diǎn)耦合條件中，可得：

(9)

對式(9)進(jìn)行整理并合并為

d=S1a

(10)

式中：a和d表示總體入射波波幅向量和總體出射波波幅向量；S1為兩端簡支邊界條件下黏彈性Pasternak地基上Bernoulli-Euler梁的總體散射矩陣。其表達(dá)式分別為

(11)

由于出射波波幅向量和入射波波幅之間存在如下的相位關(guān)系

(12)

(13)

(14)

a=PUd

(15)

將式(15)代入式(10)中并整理得

[I-R]d=0

(16)

式中，R=S1PU稱為兩端簡支邊界條件下黏彈性Pasternak地基上Euler-Bernoulli梁的回傳射線矩陣。

要使式(16)中的d有非零解，則其系數(shù)行列式為零，得到兩端簡支邊界條件下黏彈性Pasternak地基上的Bernoulli-Euler梁的頻率方程為

(17)

將式(9)轉(zhuǎn)化到單一局部坐標(biāo)系x12得

(18)

(19)

則兩端簡支邊界條件下的模態(tài)函數(shù)表達(dá)式為

(20)

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)及雙曲函數(shù)的關(guān)系

(21)

2.2 其它邊界條件下的自振頻率和模態(tài)函數(shù)

2.2.1 兩端自由邊界條件下的自振頻率及模態(tài)函數(shù)

|I-S2PU|=(1-e-2iλ1)(1-e-2iλ2)-

(22)

式中，除了總體散射矩陣S2外，其余各矩陣都與兩端簡支邊界條件下相同，S2的表達(dá)式為

(23)

兩端自由邊界條件下的模態(tài)函數(shù)表達(dá)式為

(24)

2.2.2 兩端固支邊界條件下的自振頻率及振動模態(tài)

兩端固支邊界條件下黏彈性Pasternak地基上的Euler-Bernoulli梁的頻率方程為

|I-S3PU|=(1-e-2iλ1)(1-e-2iλ2)-

(25)

式中，S3的表達(dá)式為

(26)

兩端固支邊界條件下的模態(tài)函數(shù)表達(dá)式為

(27)

對比式(22)、式(25) 及式(24) 、式(27)可知，兩端固支與兩端自由邊界條件下的黏彈性Pasternak地基上的Bernoulli-Euler梁的頻率方程完全相同，而其相應(yīng)的振動模態(tài)函數(shù)卻不同。

2.2.3 簡支-自由邊界條件下的自振頻率及振動模態(tài)

簡支-自由邊界條件下黏彈性Pasternak地基上的Bernoulli-Euler梁的頻率方程為

|I-S4PU|=(1-e-2iλ1)(1+e-2iλ2)+

(28)

式中，S4的表達(dá)式為

(29)

簡支-自由邊界條件下的模態(tài)函數(shù)表達(dá)式為

(30)

2.2.4 簡支-固支邊界條件下的自振頻率及振動模態(tài)

簡支-固支邊界條件下黏彈性Pasternak地基上的Bernoulli-Euler梁的頻率方程為

(31)

式中，S5的表達(dá)式為

S5=

(32)

簡支-固支邊界條件下的模態(tài)函數(shù)表達(dá)式為

(33)

對比式(28)、式(31) 及式(30) 、式(33)可知，簡支-自由與簡支-固支邊界條件下的黏彈性Pasternak地基上的Bernoulli-Euler梁的頻率方程亦完全相同，而其相應(yīng)的振動模態(tài)函數(shù)卻不同。

2.2.5 固支-自由邊界條件下的自振頻率及振動模態(tài)

固支-自由邊界條件下黏彈性Pasternak地基上的Euler-Bernoulli梁的頻率方程為

|I-S6PU|=(1-e-2iλ1)(1-e-2iλ2)-

(34)

式中，S6的表達(dá)式為

(35)

固支-自由邊界條件下的模態(tài)函數(shù)表達(dá)式為

(36)

對比各邊界條件下的頻率方程，可以看出，兩端簡支邊界條件下的頻率方程為完全因式分解式，而其他邊界條件下的頻率方程不能進(jìn)行完全因式分解；兩端固定及兩端自由邊界條件下頻率方程完全相同，其表達(dá)式較兩端簡支邊界條件下多一項；簡支自由和簡支固定邊界條件下的頻率表達(dá)式也完全相同，亦是兩項之和，而固定自由邊界條件下的頻率方程是三項之和，它又較兩端固定(兩端自由)的頻率方程表達(dá)式多了一項。

3 模態(tài)函數(shù)正交性及其歸一化條件

令

(37)

可將式(5)轉(zhuǎn)化為

(38)

根據(jù)式(38)進(jìn)一步可得

(39)

(40)

式中：下標(biāo)m和n分別代表m階和n階自振頻率所對應(yīng)的物理量。

式(40)減去式(39)，可以得到

(41)

當(dāng)m≠n時，ωm≠ωn，則得到地基梁的模態(tài)函數(shù)正交性條件為

(42)

當(dāng)m=n時，ωm=ωn，則可得到歸一化條件為

(43)

4 算例分析

通過具體算例可直觀分析各經(jīng)典邊界條件下黏彈性Pasternak 地基上Bernoulli-Euler梁的自振頻率及模態(tài)函數(shù)，將用回傳射線矩陣法求得的解與參考文獻(xiàn)[20]用復(fù)模態(tài)法所得的解進(jìn)行對比，考察回傳射線矩陣法求解黏彈性Pasternak 地基上的Bernoulli-Euler梁的橫向自振頻率的正確性。Bernoulli-Euler梁及黏彈性Pasternak地基的各項物理參數(shù)如表2和表3所示。

表2 Bernoulli-Euler梁的各項物理參數(shù)

表3 黏彈性Pasternak 地基的各項物理參數(shù)

4.1 兩端簡支黏彈性Pasternak 地基上Bernoulli-Euler梁的自振特性解析解

4.1.1 自振頻率及衰減系數(shù)

式(17)為一完全因式分解式，可以方便求解出其精確解析解。利用三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，將式(17)化為三角函數(shù)的形式為

|I-S1PU|=(1-cos 2λ1+isin 2λ1)(1-cos 2λ2+isin 2λ2)=0

(44)

忽略其奇異解λ1=0，因其對應(yīng)的是剛體運(yùn)動，其它的根為

λ1=nπ，n=1，2，3…

(45)

根據(jù)式(7)，解得：

(46)

(47)

(48)

(1) 參數(shù)對自振頻率及衰減系數(shù)的影響

由式(46)～(47)可知，兩端簡支邊界條件下黏彈性Pasternak地基上Bernoulli-Euler梁的衰減系數(shù)大小與階數(shù)n無關(guān)，僅與地基阻尼系數(shù)及梁體的尺寸有關(guān)；自振頻率的大小與階數(shù)n、地基參數(shù)和梁體參數(shù)都有關(guān)。自振頻率隨彈簧系數(shù)和剪切系數(shù)的增大而增大，而剪切系數(shù)對自振頻率的影響大于彈簧系數(shù)；阻尼系數(shù)的增大會使自振頻率減小。

(2) 自振頻率及衰減系數(shù)的解析解及結(jié)果驗證

根據(jù)式(47)～(48)可準(zhǔn)確的求解出兩端簡支邊界條件下黏彈性Pasternak 地基上Bernoulli-Euler梁的衰減系數(shù)和自振頻率的解析解，其結(jié)果分別如式(49)及表4所示，并將其與復(fù)模態(tài)方法求得的數(shù)值解進(jìn)行對比。

(49)

表4 兩端簡支Pasternak 地基上Bernoulli-Euler梁的前10階自振頻率

采用復(fù)模態(tài)方法求得的兩端簡支邊界條件下黏彈性Pasternak 地基上Bernoulli-Euler梁的衰減系數(shù)為0.05，與式(49)的結(jié)果十分接近。

由表4可知，采用回傳射線矩陣法求得的黏彈性Pasternak 地基上兩端簡支的Bernoulli-Euler梁的自振頻率解析解與復(fù)模態(tài)求得數(shù)值解基本一致，其偏差均在0.1%以內(nèi)，由此也表明采用回傳射線矩陣法計算自振頻率方法可行。而解析解為精確解，說明復(fù)模態(tài)方法求得的數(shù)值解偏大，與精確解有一定的誤差。此處解析解的提出既減少了數(shù)學(xué)編程軟件編程的耗時，又能簡單方便、合理可靠的計算出地基梁的自振特性，為黏彈性地基梁的振動特性的研究提供了理論基礎(chǔ)。

4.1.2 模態(tài)函數(shù)

根據(jù)式(43)及式(47)，可得

(50)

將式(21)代入式(50)中得

(51)

其中

(52)

表5 兩端簡支黏彈性Pasternak 地基上Bernoulli-Euler梁前10階模態(tài)函數(shù)待定參數(shù)的值(×10-4)

(a) 1～5階實部

(b) 1～5階虛部

(c) 6～10階實部

(d) 6～10階虛部

由圖2可知，兩端簡支邊界條件下黏彈性Pasternak 地基上Bernoulli-Euler梁各階模態(tài)曲線的實部與虛部關(guān)于軸線對稱，其振幅隨著階數(shù)的增加而逐漸減小，相鄰階數(shù)幅值的減量亦隨著階數(shù)的增加而逐漸減小。

4.2 其它邊界條件下Pasternak 地基上的Bernoulli-Euler梁的自振特性數(shù)值解

4.2.1 自振頻率及衰減系數(shù)

通過Matlab語言編程，求解出除兩端簡支外的其它邊界條件下黏彈性Pasternak 地基上Bernoulli-Euler梁的各階衰減系數(shù)均約等于0.049 94，與兩端簡支邊界條件下的幾乎完全相同，說明黏彈性Pasternak 地基對于Bernoulli-Euler梁振動能量的作用是一個確定的值，僅與地基土特性及梁尺寸有關(guān)，而與其上結(jié)構(gòu)的約束情況無關(guān)。

表6 其他邊界條件下Pasternak 地基上Bernoulli-Euler梁的前10階自振頻率

由表6可知：

(1) 采用回傳射線矩陣法求得的黏彈性Pasternak 地基上兩端固支(兩端自由)及簡支-固支(簡支-自由)邊界條件下Bernoulli-Euler梁的自振頻率與復(fù)模態(tài)求得結(jié)果基本一致，其偏差均在0.1%以內(nèi)，進(jìn)一步證明了回傳射線矩陣法求解自振頻率的正確性。

(2) 六種經(jīng)典邊界條件下黏彈性Pasternak 地基上Bernoulli-Euler的前10階自振頻率從大到小依次排序為：兩端固支(兩端自由)>簡支-固支(簡支-自由)>兩端簡支>固支-自由。

(3) 其他五種邊界條件下Pasternak 地基上Bernoulli-Euler的前10階自振頻率的變化規(guī)律與兩端簡支邊界條件下基本相同。且從第2階自振頻率開始，固支-自由邊界條件下第n階自振頻率與兩端固支(兩端自由)邊界條件下的第n-1階自振頻率幾乎相同，說明隨著階數(shù)的增大，固支-自由邊界條件下頻率方程中較兩端固支(兩端自由)邊界條件下多出的一項對自振頻率的影響幾乎可以忽略。

4.2.2 模態(tài)函數(shù)

經(jīng)過計算可知各階模態(tài)函數(shù)的實部與虛部關(guān)于軸線對稱，故圖3中僅繪出了其他5種邊界條件下Pasternak 地基上Bernoulli-Euler梁前3階模態(tài)函數(shù)曲線的實部，如圖3所示。其振幅變化規(guī)律與兩端簡支邊界條件下的變化規(guī)律基本相同。

5 結(jié) 論

基于回傳射線矩陣法，首先，得到了橫向自由振動時兩端簡支、兩端自由、兩端固支、簡支-自由、簡支-固支和固支-自由這六種邊界條件下黏彈性Pasternak地基上Bernoulli-Euler梁的自振頻率方程及模態(tài)函數(shù)表達(dá)式，其形式較以往研究得到的表達(dá)式更加簡潔，且更容易看出不同邊界條件之間的關(guān)聯(lián)與差異。對其進(jìn)行求解，得到兩端簡支邊界條件下黏彈性Pasternak地基上Bernoulli-Euler梁橫向自由振動時自振特性的解析解及其它邊界條件下的數(shù)值解。為統(tǒng)一起見，根據(jù)正交歸一化條件對模態(tài)函數(shù)中的未知參數(shù)進(jìn)行求解。通過具體算例，對六種經(jīng)典邊界條件下黏彈性Pasternak 地基上Bernoulli-Euler梁的自振頻率、衰減系數(shù)及模態(tài)函數(shù)進(jìn)行了分析，結(jié)果表明：

(1) 兩端簡支邊界條件下黏彈性Pasternak地基上Bernoulli-Euler梁的自振頻率的大小與階數(shù)n、地基參數(shù)和梁體參數(shù)都有關(guān)，自振頻率隨彈簧系數(shù)和剪切系數(shù)的增大而增大，而剪切系數(shù)對自振頻率的影響大于彈簧系數(shù)；阻尼系數(shù)的增大會使自振頻率減小。

(2) 六種經(jīng)典邊界條件下黏彈性Pasternak 地基上Bernoulli-Euler梁的自振頻率的大小隨階數(shù)n的增長而增大；不同邊界條件下自振頻率從大到小依次排序為：兩端固支(兩端自由)>簡支-固支(簡支-自由)>兩端簡支>固支-自由。從第2階自振頻率開始，固支-自由邊界條件下的第n階自振頻率與兩端固支(兩端自由)邊界條件下的第n-1階自振頻率相同。

(a) 兩端自由

(b) 兩端固支

(c) 簡支-自由

(d) 簡支-固定

(e) 固支-自由

(3) 六種經(jīng)典邊界條件下黏彈性Pasternak 地基上Bernoulli-Euler梁的衰減系數(shù)與階數(shù)及約束情況無關(guān)，僅與地基土特性及梁自身的尺寸有關(guān)，當(dāng)?shù)鼗撂匦约傲鹤陨淼某叽绮话l(fā)生變化時，黏彈性Pasternak 地基對于Bernoulli-Euler梁振動能量的作用是一個確定的值。

(4) 六種經(jīng)典邊界條件下黏彈性Pasternak 地基上Bernoulli-Euler梁各階模態(tài)曲線的實部與虛部關(guān)于軸線對稱，其幅值隨著階數(shù)的增加而逐漸減小，相鄰階數(shù)模態(tài)幅值的增量亦隨著階數(shù)的增加而逐漸減小。