數(shù)學(xué)分析習(xí)題課課程與教材建設(shè)的思考與探索

胡穎 高等教育出版社理科事業(yè)部

數(shù)學(xué)是一切科學(xué)的基礎(chǔ)。恩格斯曾指出：數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。這也就是說(shuō)：數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征。自然界中的事物都有“數(shù)”和“形”這兩個(gè)面，因此數(shù)學(xué)就成為物理、化學(xué)、生物等自然科學(xué)的基礎(chǔ)。2019年印發(fā)的由科技部、教育部、中科院、自然科學(xué)基金委共同制定的《關(guān)于加強(qiáng)數(shù)學(xué)科學(xué)研究工作方案》指出，數(shù)學(xué)實(shí)力往往影響著國(guó)家實(shí)力，幾乎所有的重大發(fā)現(xiàn)都與數(shù)學(xué)的發(fā)展與進(jìn)步相關(guān)，數(shù)學(xué)已成為航空航天、國(guó)防安全、生物醫(yī)藥、信息、能源、海洋、人工智能、先進(jìn)制造等領(lǐng)域不可或缺的重要支撐。

本文所討論的“數(shù)學(xué)分析”是高等學(xué)校數(shù)學(xué)類(lèi)專(zhuān)業(yè)中最重要的基礎(chǔ)課之一，也是歷時(shí)最長(zhǎng)（一般為三個(gè)學(xué)期）、占學(xué)分最多的一門(mén)課程；它和高等代數(shù)、解析幾何等一起構(gòu)成了其他后續(xù)數(shù)學(xué)課程（如復(fù)變函數(shù)、實(shí)變函數(shù)、泛函分析、微分幾何、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、計(jì)算方法等）的必備基礎(chǔ)。作為數(shù)學(xué)類(lèi)專(zhuān)業(yè)學(xué)生進(jìn)入大學(xué)后所面對(duì)的第一門(mén)專(zhuān)業(yè)課，數(shù)學(xué)分析學(xué)起來(lái)是比較枯燥和晦澀的，但是數(shù)學(xué)分析的理論和方法對(duì)于數(shù)學(xué)思想的形成、理性思維的訓(xùn)練、邏輯推理能力的提升等都起著特別重要的作用。如何掌握好數(shù)學(xué)分析課的主要內(nèi)容并能熟練地應(yīng)用其中的思想方法，對(duì)每個(gè)初學(xué)者來(lái)說(shuō)都是至關(guān)重要的。由于數(shù)學(xué)分析中涉及很多不同于高中階段的數(shù)學(xué)語(yǔ)言（如ε-δ語(yǔ)言，ε-N語(yǔ)言等），很多學(xué)生在初學(xué)時(shí)會(huì)感覺(jué)比較困難，甚至無(wú)從下手。而習(xí)題課是課堂教學(xué)的延伸和應(yīng)用，貫穿于數(shù)學(xué)分析教學(xué)的全過(guò)程；它既有助于更深入地理解和掌握數(shù)學(xué)分析課堂教學(xué)中的知識(shí)，又可以為學(xué)習(xí)新的知識(shí)打下基礎(chǔ)，起著承前啟后的作用。因此，習(xí)題課是數(shù)學(xué)分析課堂教學(xué)的一個(gè)重要組成部分，它是教與學(xué)、理論與實(shí)踐、知識(shí)與能力的結(jié)合。但是，隨著高等學(xué)校數(shù)學(xué)類(lèi)專(zhuān)業(yè)人才培養(yǎng)方案的修訂，數(shù)學(xué)分析的教學(xué)時(shí)數(shù)進(jìn)行了一定的壓縮，這也迫使這一重要的教學(xué)環(huán)節(jié)有著明顯的弱化。目前，習(xí)題課教學(xué)中常見(jiàn)的問(wèn)題包括習(xí)題課教學(xué)時(shí)間被壓縮，甚至有的取消；對(duì)學(xué)生在習(xí)題中存在的典型問(wèn)題、普遍性問(wèn)題解決力度不夠；教師教學(xué)手段單一，不從學(xué)生的角度考慮，只是一味地演算習(xí)題，呈現(xiàn)“教師講，學(xué)生記”的態(tài)勢(shì)，對(duì)學(xué)生的思維能力、創(chuàng)新能力培養(yǎng)不夠等。針對(duì)當(dāng)前存在的問(wèn)題，原有的習(xí)題課教材已經(jīng)不能很好地滿(mǎn)足教學(xué)實(shí)際，需要進(jìn)行重新設(shè)計(jì)或者升級(jí)。筆者結(jié)合多年的編輯實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，以本人擔(dān)任策劃編輯的《數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義》（第2版）（謝惠民、惲自求、易法槐、錢(qián)定邊編）為例，從四個(gè)方面淺談對(duì)數(shù)學(xué)分析習(xí)題課課程與教材建設(shè)的思考與探索。

一、精心構(gòu)建數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容體系

數(shù)學(xué)分析包含了豐富而深刻的內(nèi)容，其中許多內(nèi)容，在數(shù)學(xué)分析的教材與教學(xué)中是無(wú)法講透徹的，因?yàn)樗鼈兊淖C明或者需要用到超越數(shù)學(xué)分析課程如復(fù)分析、實(shí)分析、常微分方程、泛函分析等后續(xù)課程的知識(shí)，或者具有極大的難度，需要很高的技能和技巧。對(duì)于教材來(lái)講，因?yàn)樾枰非篌w系的完整性與知識(shí)的循序漸進(jìn)，所以現(xiàn)有的數(shù)學(xué)分析教材對(duì)這類(lèi)問(wèn)題往往是回避的，至多只是對(duì)簡(jiǎn)化的情況做簡(jiǎn)單的介紹。但是在教學(xué)中會(huì)遇到各種問(wèn)題，特別是有些學(xué)生，他們思想活躍，他們問(wèn)出的問(wèn)題，往往教師會(huì)回答不出。如果教師以“這是后續(xù)課程的內(nèi)容”而一推了之，學(xué)生不會(huì)感到滿(mǎn)意，而且這種做法對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究能力都是非常不利的。事實(shí)上，對(duì)于許多這類(lèi)問(wèn)題與內(nèi)容，如果能對(duì)其做適當(dāng)?shù)奶幚砼c簡(jiǎn)化，有必要的話(huà)也可以先承認(rèn)一些容易理解的結(jié)論，然后再做深入淺出的分析。

針對(duì)大眾化高等教育背景下的教學(xué)要求，習(xí)題課教材需要精心選擇數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容，不應(yīng)該只是單純地對(duì)原教材的各章節(jié)內(nèi)容做個(gè)總結(jié)，而需要把核心知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行自然、有機(jī)的串聯(lián)，在突出重點(diǎn)的同時(shí)，也盡量保持知識(shí)體系的完整性和系統(tǒng)性?！稊?shù)學(xué)分析習(xí)題課講義》（第2版）就特別注重知識(shí)之間的串聯(lián)和完整性，如在第五章連續(xù)函數(shù)中除了對(duì)基本定理進(jìn)行總結(jié)和細(xì)致的講解，還特意增加了一節(jié)介紹連續(xù)函數(shù)在混沌中的應(yīng)用，這也是第二章介紹過(guò)的迭代生成數(shù)列的現(xiàn)代發(fā)展。這既是課堂學(xué)習(xí)的自然延伸，又是進(jìn)一步學(xué)習(xí)的起跳板，有助于培養(yǎng)學(xué)生的探究能力。

二、精心選擇例題和習(xí)題

學(xué)習(xí)的目的在于應(yīng)用。數(shù)學(xué)分析的基本原理和公式并不是很多，但是如果能嫻熟使用，卻可以發(fā)揮出神奇的威力。要做到這一點(diǎn)，僅靠課堂教學(xué)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，關(guān)鍵在于學(xué)生要勤于獨(dú)立思考，且做相當(dāng)數(shù)量的習(xí)題。學(xué)生通過(guò)做題，不僅能深入、具體地理解和掌握數(shù)學(xué)分析的基本概念、理論和方法；還可以提升分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；進(jìn)一步鍛煉刻苦探索的毅力，培養(yǎng)創(chuàng)造性的思維。熟能生巧，多講不如多練。

為了幫助初學(xué)者更好地掌握和應(yīng)用數(shù)學(xué)分析知識(shí)，習(xí)題課教材在例題和習(xí)題的配置上需要做好數(shù)量和質(zhì)量的平衡。《數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義》（第2版）按照難度的不同層次收錄了相當(dāng)數(shù)量的習(xí)題，在例題和習(xí)題的選取中也力求創(chuàng)新，改變過(guò)去微積分學(xué)教程和吉米多維奇習(xí)題集一統(tǒng)天下的傳統(tǒng)格局；而且特別重視一題多解和前后呼應(yīng)，并對(duì)解題中常見(jiàn)的典型錯(cuò)誤進(jìn)行分析。

除了基礎(chǔ)題的訓(xùn)練，也應(yīng)該注意難題的配置。一些較難的題，一時(shí)做不出是很正常的現(xiàn)象，學(xué)生要學(xué)會(huì)將問(wèn)題牢記于心經(jīng)常思考。如果學(xué)生能通過(guò)自己不懈的努力、花費(fèi)一定的時(shí)間去探索并最終解決一道道難題，對(duì)其能力和自信心都有極大的提升。為了啟發(fā)讀者，《數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義》（第2版）一書(shū)中包含較多的注解，對(duì)一些較難的題給出提示，或者指出有關(guān)例題和習(xí)題的意義、與其他題之間的聯(lián)系等。

三、吸收先進(jìn)的處理方法

任何一門(mén)課程的內(nèi)容都不可能一成不變，雖然經(jīng)過(guò)多代數(shù)學(xué)家持續(xù)不斷的努力，精雕細(xì)琢，數(shù)學(xué)分析已經(jīng)建立了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)和邏輯體系，但是科學(xué)技術(shù)的發(fā)展也在不斷為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)注入新的活力。所以數(shù)學(xué)分析的講授也應(yīng)該推陳出新，同時(shí)在概念和方法的引入中注意采用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)，反映數(shù)學(xué)的發(fā)展形勢(shì)。落實(shí)到習(xí)題課教材，也需要吸取數(shù)學(xué)分析研究和教學(xué)中的新進(jìn)展，對(duì)內(nèi)容進(jìn)行一些增刪和調(diào)整?！稊?shù)學(xué)分析習(xí)題課講義》（第2版）對(duì)許多經(jīng)典性的內(nèi)容采取比較新穎的證明和分析方法，如用三分法證明柯西收斂準(zhǔn)則；介紹上、下極限的三種不同視角以及它們?cè)诓煌矫娴膽?yīng)用等。

四、注重信息技術(shù)的應(yīng)用

近年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)多媒體技術(shù)的高速發(fā)展，課堂化教學(xué)發(fā)生了很大的轉(zhuǎn)變，計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)已經(jīng)進(jìn)入課堂。基于此，習(xí)題課教材中可以將一些利用計(jì)算機(jī)技術(shù)很容易實(shí)現(xiàn)但以前教學(xué)中比較基礎(chǔ)的內(nèi)容（如函數(shù)作圖）做適當(dāng)刪減，而對(duì)計(jì)算數(shù)學(xué)領(lǐng)域中需要使用的重要內(nèi)容（如插值公式、近似求根等）加以強(qiáng)化?！稊?shù)學(xué)分析習(xí)題課講義》（第2版）中有一節(jié)專(zhuān)門(mén)介紹了方程求根和近似計(jì)算，方程求根是個(gè)很有實(shí)際意義的問(wèn)題，是計(jì)算數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的重要知識(shí)點(diǎn)。

為了更加緊密地配合數(shù)學(xué)分析教材和教學(xué)，習(xí)題課教材中還很多值得注意的地方，如在內(nèi)容的選取和難度把握上，如何照顧到相當(dāng)廣泛的讀者群；如何吸取數(shù)學(xué)分析研究中新的進(jìn)展，從而更好地培養(yǎng)學(xué)生的探究能力等。有句俗語(yǔ)“授人以魚(yú)，不如授人以漁”，一本好的數(shù)學(xué)分析習(xí)題課教材也需要努力做到授人以漁，而應(yīng)該只是提供一些習(xí)題的完整解答；需要利用好習(xí)題課這一教學(xué)形式，有效地幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)分析內(nèi)容和方法的實(shí)質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生深入理解分析的思想，讓學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三、更快地熟悉數(shù)學(xué)分析的方法、更熟練地掌握數(shù)學(xué)語(yǔ)言?？偟膩?lái)講，如何提高數(shù)學(xué)分析習(xí)題課教材的質(zhì)量，需要我們?cè)诮窈蟮膶?shí)踐中和廣大的教師不斷地思考和探索。