一類具有非線性傳染率和治愈率的SIR模型的行波解

安陽學(xué)院數(shù)理學(xué)院 河南 安陽 455000

1 引言

醫(yī)療措施是實際傳染病防治中阻止和控制疾病傳播的有效方法．下面我們考慮一類具有治愈函數(shù)的傳染病模型,其中疾病發(fā)生率和治愈函數(shù)分別為具體我們考慮下面的SIR模型

其中b表示易感染者和移出者的自然出生率及死亡率．δ表示染病者的死亡率及出生率．γ表示染病者的自然恢復(fù)率．q為垂直傳染率,且p＝1－q．S和R的新生兒為易感染者,并且I的新生兒中未被垂直傳染的那部分也為易感染者．以上參數(shù)均為正數(shù)．疾病的發(fā)生率是一個非線性函數(shù),β為正常數(shù),用來描述疾病的感染率,α是半飽和常數(shù),且α≥0．非線性項,k＞0,μ≥0為飽和治愈函數(shù),其中k表示治愈率,μ用來衡量染病者由于延遲治療而導(dǎo)致治愈效果受影響的效應(yīng),在這里我們假設(shè)μ≤1．d1,d2,d3為擴散系數(shù)．

對于該模型,我們給出以下假設(shè)

下面我們將證明,在(A．1)、(A．2)、(A．3)條件下,(1．1)具有連接從無病平衡點到地方病平衡點的行波解．

2 行波解的存在性

把 (1．1) 三 個 方 程 相 加, 得 到由 (A．3),可進一步得到在該假設(shè)下,總?cè)丝贜是一個常數(shù),為方便起見,不妨再假定N＝1,這樣一來S,I和R就變成了易感染者、染病者和移出者各自在總?cè)丝谥兴嫉谋壤ㄟ^變換S＝1－I－R,系統(tǒng) (2．1)的后兩個方程就不再包含S．因此系統(tǒng) (2．1)等價于下面的2維系統(tǒng)

顯然,(2．2)始終有一個無病平衡點E0(0,0)．并且,如果滿足條件(A．1),則由下面的方程

可以解得(2．2)還存在唯一的地方病平衡點E?＝(I?,R?),其中

接下來,我們使用[1]中的方法證明 (2．2)具有連接 平衡點E0和E?的行波解．

3 對結(jié)論的一些說明