讓例題成為數(shù)學活動的素材

王強強

摘? 要：數(shù)學基本活動經(jīng)驗的積累離不開數(shù)學活動，數(shù)學活動的開展必然以活動素材為依托. 文章將一道教材例題拓展為綜合實踐的活動素材，以學生的視角來預設活動場景，以學生自主探究來創(chuàng)設活動內(nèi)容，充分挖掘出例題的教學價值與潛在功能，重視直觀操作和邏輯推理的有機結(jié)合，讓學生在探究的過程中獲得豐富的數(shù)學活動經(jīng)驗.

關鍵詞：例題教學;活動素材;活動經(jīng)驗

一、引言

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》明確提出，確定的目標有兩類：一類是結(jié)果性目標;一類是過程性目標. 一般來說，結(jié)果性目標是指向基礎知識與基本技能的. 過程性目標更多地指向數(shù)學基本思想和基本活動經(jīng)驗，而數(shù)學基本活動經(jīng)驗主要是過程性目標的體現(xiàn). 這就意味著學生除了要掌握必要的數(shù)學知識和技能外，還要學會數(shù)學地思考，并在多樣化的數(shù)學活動中積累經(jīng)驗.

接下來，就面臨一個教學上的實際困難：開展數(shù)學活動所需要的素材從何而來？現(xiàn)行教材顯然不大可能一一提供. 這就需要我們在教學實踐中善于發(fā)現(xiàn)、敢于嘗試.

下面是浙教版《義務教育教科書·數(shù)學》八年級下冊（以下統(tǒng)稱“教材”）“5.2菱形”（第2課時）的一道例題教學處理（如圖1）. 研讀教材時，發(fā)現(xiàn)教材是以“一張長方形紙片的折疊”作為“合作學習”，進而得出菱形判定的兩個定理，那么我們是否仍然可以嘗試通過“折疊”，對教材例題進行重組與改編，將例題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€數(shù)學活動的素材，讓學生在探究的過程中獲得豐富的活動體驗.

二、例題呈現(xiàn)

題目 （教材第122頁例2）如圖2，在矩形ABCD中，對角線AC的垂直平分線與邊AD，BC分別交于點E，F(xiàn).求證：四邊形AFCE是菱形.

三、教學功能與價值分析

第一，例題為學生提供了一個利用“菱形的判定定理”進行合理論證的機會.明確“菱形”證明的基本套路：一是直接由“四邊形”，經(jīng)“四邊相等”證明;二是遵循“從一般到特殊”的路徑，由“四邊形”先說明是“平行四邊形”再說明是“菱形”.更進一步明確四邊形、平行四邊形、菱形的從屬關系與邏輯結(jié)構(gòu);幫助學生加深對“四邊形到一般平行四邊形再到特殊平行四邊形是一個從一般到特殊的過程”的理解與貫通，理清知識脈絡.

第二，培養(yǎng)學生的逆向思維能力，為學生從不同角度，利用多種方法去探究指明了方向.從菱形“邊”“對角線”的特性出發(fā)，去尋求證明思路，幫助學生深刻領悟其中所蘊涵的轉(zhuǎn)化思想，即菱形向平行四邊形、三角形轉(zhuǎn)化的思想，從而豐富、積累獲得數(shù)學活動經(jīng)驗的有效途徑.

第三，“垂直平分線”為“折疊活動”的開展提供了操作的可能與良好的素材.例題中“AC的垂直平分線”完全可以與“對折操作”相匹配，實踐中完全可以引導學生將兩者進行很好地融通，被學生發(fā)現(xiàn)并應用于活動中.

第四，為多策略解決、多樣化操作、多層次思維提供示范. 突破教材例題背景單一，打破例題文本描述的枯燥，形式上體現(xiàn)多樣性與趣味性，加大可操作性與綜合性，更大程度上去挖掘與提升例題的教學價值與功能.

四、教學實施

第1階段：拋出問題——自主探索.

問題1：給你一張平行四邊形紙片，你能作出一個菱形嗎？說說你的做法與理由.

【設計意圖】由于菱形是特殊的平行四邊形，因此，筆者特意設計問題1，對學生的自身經(jīng)驗及其自主性學習給予更多地關注，旨在“動態(tài)”演示菱形的形成過程，明確菱形和平行四邊形的構(gòu)成關系，架構(gòu)菱形（新識領域）與平行四邊形（熟識領域）的邏輯關聯(lián)，幫助學生進一步理解菱形與平行四邊形的聯(lián)系，“喚醒”學生的學習經(jīng)驗，營造問題情境，以激發(fā)學生的學習興趣.

第2階段：匯報交流——矯正互學.

要求學生回答并交流.教師進行追問、激勵與評析，師生共同進行相互矯正與完善.

作法1：如圖3，在AD上截取AE = AB，過點E作EF∥AB，交BC于點F，則四邊形ABFE是菱形.

理由：著眼于菱形的特性之——邊.因為四邊形ABCD是平行四邊形，故AD∥BC，即AE∥BF. 于是四邊形ABFE是平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）. 又因為AE = AB，故[?ABFE]是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形）.

作法2：如圖4，作∠BAD的平分線AF，交BC于點F，過點F作FE∥AB，交AD于點E，則四邊形ABFE是菱形.（由角的相等關系得出鄰邊相等關系，其余同作法1.）

作法3：如圖5，作∠BAD的平分線AF，交BC于點F，再作∠ABC的平分線BE，交AD于點E，連接EF，則四邊形ABFE是菱形.

變式練習1：如圖6，已知平行四邊形紙片ABCD，試用對折的方法在圖中作出一個菱形，使得點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，并說明理由.

作法1：如圖7，將[?ABCD]沿某直線折疊使點B，D重合，折痕分別交AD，BC于點E，F(xiàn)，連接BE，DF，則四邊形BEDF是菱形.

作法2：如圖8，將[?ABCD]沿某直線折疊使點A，C重合，折痕分別交AD，BC于點E，F(xiàn)，連接AF，CE，則四邊形AECF是菱形.

【設計意圖】變式練習1是依托“折紙活動”而設計的一道開放探究題.完全就是教材例題的另一個模版，嘗試改變教材例題呆板的文字描述，試圖從“探究”的角度去推動學生的學習進程，引導學生去分析、操作、發(fā)現(xiàn). 同時，變式練習1是對學生逆向思維與推理能力的一個挑戰(zhàn)，為學生從不同角度、用多種方法去探究指明了方向.

如何逆向思維呢？我們不妨適當還原學生的思維場景：（以圖7為例）由于最終作出的四邊形是BEDF，B，D兩點已經(jīng)確定，因此只要確定點E，F(xiàn)的位置即可. 如何確定點E與點F呢？因為四邊形BEDF是菱形，不難發(fā)現(xiàn)BD是其中的一條對角線，EF必定是另一條對角線，那么如何確定另一條對角線EF呢？引導學生從菱形對角線特性的角度去尋求問題解決策略. 根據(jù)菱形特性，EF必然是BD的垂直平分線. 看到“垂直平分線”我們不難想到“折疊”，可以說“垂直平分線”為折疊探究活動的開展提供了操作的可能與良好的素材，“對折操作”完全可以與“垂直平分線”相匹配. 于是，通過逆向思維“作法1”很好地將兩者進行融通. 使得不同作法的得出顯得自然而然、水到渠成.

變式練習2：如圖9，在[?ABCD]中，點E在線段AB上，試在圖中作出一個內(nèi)接菱形EFGH，使得點F，G，H分別在邊BC，CD，AD上，并說明理由.

作法：如圖10，在DC上截取DG = BE，連接EG，作線段EG的垂直平分線，分別交AD，BC于點H，F(xiàn)，于是四邊形EFGH就是所求作的菱形（理由略）.

【設計意圖】提出數(shù)學活動經(jīng)驗，還有一個重要目的，就是培養(yǎng)學生在活動中從數(shù)學的角度進行思考，直觀、合理地獲得一些結(jié)果，提出猜想. 猜想：因為四邊形EFGH是菱形，所以FH必然是EG的垂直平分線，于是只要確定點G的位置即可.如何確定點G呢？通過觀察，大多數(shù)學生會想到“在DC上截取DG = BE”，教師用幾何畫板軟件進行驗證，發(fā)現(xiàn)猜想是正確的.這種基于理解的問題分析，恰恰是解決特殊四邊形問題的基本套路，是逆向思維的理解與貫通，并為接下來菱形的證明提供了思考的方向.

接下來，如何驗證是“菱形”呢？要作出的是一個菱形，借助以往的學習經(jīng)驗，大多數(shù)學生會從菱形的邊或?qū)蔷€這兩方面入手.現(xiàn)在已知“FH⊥EG”，那么只需說明“四邊形EFGH是平行四邊形”即可.引導學生緊緊抓住“DG與BE之間的位置及數(shù)量關系”獲得問題解決的多種策略. 使直觀操作和邏輯推理有機地結(jié)合在一起，使推理證明成為學生觀察、實驗、探究得出結(jié)論的自然延續(xù).

第3階段：嘗試運用——解決問題.

問題2：試折疊所給的矩形紙片，得到一個菱形，且使其四個頂點都在矩形的邊上.

【設計意圖】應該說“問題1”的解決為“問題2”提供了豐富的、可以借鑒的經(jīng)驗.從“平行四邊形紙片”到“矩形紙片”創(chuàng)造性地使用素材（紙片），充分地挖掘出素材“差異”所帶來的教學價值與潛在功能——一題多變、一題多用，幫助學生將零散的經(jīng)驗豐富化、條理化，讓學生逐步地明確解決菱形問題的方法，實現(xiàn)了將知識向能力的轉(zhuǎn)化.

作法1：（著眼于菱形的特性之——邊）如圖11，將矩形紙片ABCD對折兩次，依次連接矩形四條邊的中點E，F(xiàn)，G，H，則四邊形EFGH即為菱形（理由略）.

作法2：（著眼于菱形的特性之——對角線）如圖12，將矩形紙片ABCD沿EF折疊使點A，C重合，折痕EF交BC于點E、交AD于點F，連接AE，CF，四邊形AECF即為菱形（理由略）.

作法3：將矩形紙片ABCD沿任意線段EF折疊，如圖13，得四邊形[CDEF]. 使得[DE]交BC于點G，延長[CF]交AD于點H，四邊形GEHF即為菱形（理由略）.

【設計意圖】“作法2”巧妙地將“教材例題”蘊于其中，使得教材例題的呈現(xiàn)自然、簡潔.“教材例題”只是作為活動中的一種形式，被學生發(fā)現(xiàn)并得以解決.“作法3”則是對“作法2”的進一步優(yōu)化，是從特殊到一般的轉(zhuǎn)化與提煉，更是對“教材例題”深入挖掘后的思維的“再認識”與“再提高”.

變式練習3：如圖14，在矩形ABCD中，E為邊BC上一點，且AE = CE.試僅用一把無刻度的直尺，畫出一個以AE為邊的菱形，并說明理由.

作法：如圖15，第一步：連接AC，BD相交于點O;第二步：作射線EO交AD于點F，連接CF，則四邊形AECF就是所求作的菱形（理由略）.

【設計意圖】“變式練習3”創(chuàng)設學生主動運用已有知識解決新問題的情境，給學生更多自主學習、合作交流的機會，促進學生的主體參與，讓學生在探究的過程中豐富活動經(jīng)驗.

五、教學反思

1. 以學生的學習視角預設活動場景，喚醒、激發(fā)學生的基本活動經(jīng)驗

設置問題1的目的之一是營造問題情境，激發(fā)學生主動學習的興趣;其二，也是最主要的目的，是從學生的“現(xiàn)實知識基礎”出發(fā)，喚醒學生已有的學習經(jīng)驗，引發(fā)學生思考，并促使學生在思考的過程中不斷進行自我辨析、自我甄別、自我完善. 思考什么呢？一是要思考要作出菱形，首先要確保它是平行四邊形，明確一般平行四邊形與特殊平行四邊形之間的從屬關系與邏輯結(jié)構(gòu);二是要思考如何快速、準確地作出平行四邊形，明確一般的平行四邊形成立的標準（即平行四邊形判定）;三是要思考具備怎樣條件的平行四邊形才是菱形，明確菱形作為特殊四邊形所具有的特性（即菱形的判定）. 隨著思考的深入，理性分析不斷得到完善，問題解決的策略才會慢慢地清晰. 事實上，從學生作法當中，我們也深刻地感受到學生“冷靜思維”帶來作法上的不斷創(chuàng)新、突破，緊緊圍繞菱形“邊”“對角線”的特性，特別是作法2、作法3，是學生通過自身的獨立思考、相互交流、體驗感悟，幾何畫板軟件操作驗證后的“集體智慧”的產(chǎn)物，可以說變式練習1的作法1、作法2（以及問題2的作法2）的得出已然完成“教材例題”所承載的教學功能.

問題1多樣化、多角度動態(tài)演示菱形的形成過程，引導學生親身體驗、感知菱形與一般的平行四邊形的圖形特征差異，進一步明確菱形與平行四邊形的構(gòu)成關系，更好地呈現(xiàn)喚醒、激發(fā)學生基本活動經(jīng)驗等諸多學習過程，內(nèi)化和發(fā)展學生的數(shù)學能力，提升學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

2. 以學生的自主探究創(chuàng)設活動素材，積累、發(fā)展學生的基本活動經(jīng)驗

問題2是對問題1的繼承與拓展，滲透類比、轉(zhuǎn)化、化歸等數(shù)學思想，突出探究的過程，重視直觀操作和邏輯推理的有機結(jié)合，使推理證明成為學生觀察、實驗、探究得出結(jié)論的自然延續(xù)，呈現(xiàn)積累、發(fā)展學生基本活動經(jīng)驗的活動過程，幫助學生將零散的經(jīng)驗豐富化、條理化，不單單是簡單地完成對教材例題的解答，更是在問題解決的過程中，不斷提煉方法、提升思維、打磨策略，形成有效化、多樣化的活動經(jīng)驗與學科素養(yǎng). 一是經(jīng)驗的遷移：學生運用問題1積累的學習經(jīng)驗即時解決問題2，