《認(rèn)識(shí)二元一次方程組》起始課的分析與思考

文/江門(mén)市江海區(qū)禮樂(lè)中學(xué) 鐘 喜

本文以《認(rèn)識(shí)二元一次方程組》為例介紹章節(jié)起始課的一種設(shè)計(jì)思路，實(shí)踐表明，該設(shè)計(jì)可以較好地幫助學(xué)生初步建立起章節(jié)的內(nèi)容框架，體會(huì)本章節(jié)的核心數(shù)學(xué)思想和通性通法，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維方式與品質(zhì)。

一、感悟核心背景，探索素養(yǎng)教學(xué)

數(shù)學(xué)要發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模 、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維分析世界，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界?；诤诵乃仞B(yǎng)下的章節(jié)起始課要求教師要提綱挈領(lǐng)地呈現(xiàn)出本章的結(jié)構(gòu)性知識(shí)鏈，抓住知識(shí)的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，引發(fā)學(xué)生的深入思考，將抽象的知識(shí)通俗地講解出來(lái)并幫助學(xué)生提煉出學(xué)習(xí)本章后續(xù)幾節(jié)內(nèi)容的規(guī)律和常用方法。

二、初探課例教學(xué)，融入數(shù)學(xué)素養(yǎng)

筆者在2019年廣東省鄉(xiāng)村骨干教師能力提升高端研修班(初中數(shù)學(xué))跟崗學(xué)習(xí)期間，上了一節(jié)《認(rèn)識(shí)二元一次方程組》的示范課，得到廣東省名師吳有昌教授的點(diǎn)評(píng)和指導(dǎo)，我深刻地意識(shí)到章節(jié)起始課教學(xué)中數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性與通性通法的重要性?，F(xiàn)以課例為起點(diǎn)對(duì)《基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下起始課的教學(xué)》做一個(gè)深入探討。

(一)類比建模，挖掘知識(shí)關(guān)聯(lián)性，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

數(shù)學(xué)知識(shí)往往是以結(jié)果的形式呈現(xiàn)出來(lái)的，然而數(shù)學(xué)教學(xué)更重要的是要向?qū)W生展示“結(jié)果”背后的過(guò)程。

1.情境引入

題目：昨天，我們8個(gè)人去紅山公園玩，買(mǎi)門(mén)票花了34元，每張成人票5元，每張兒童票3元，他們到底去了幾個(gè)成人，幾個(gè)兒童呢？

分析：如果設(shè)去了x名成人，則去了(8-x)名兒童。

根據(jù)題意用已學(xué)的知識(shí)列出方程？

5x+3(8-x)=34

師：請(qǐng)問(wèn)這是一個(gè)什么方程？具有什么特征？

生：一元一方程，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)為1。

師：題中含有兩個(gè)未知量且題中存在兩個(gè)等量關(guān)系，能否大膽嘗試設(shè)出兩個(gè)未知數(shù)？

生：設(shè)去了x名成人，去了y名兒童。

師：根據(jù)等量關(guān)系列出方程。

設(shè)計(jì)意圖：這節(jié)課是由一元一次方程進(jìn)入二元一次方程的起始課，學(xué)生對(duì)一元一次方程的概念、解法以及應(yīng)用都非常熟悉，所以利用類比一元一次方程的學(xué)習(xí)方法引入二元一次方程，并設(shè)計(jì)一題多解的方法，向?qū)W生呈現(xiàn)二元一次方程較一元一次方程的優(yōu)越性，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)二元一次方程的欲望，使學(xué)生體會(huì)到知識(shí)的相連性，進(jìn)一步培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的方程思想，提升數(shù)學(xué)建模能力。

2.探究新知

師：這兩個(gè)方程x+y=8、5x+3y=34具有什么特征？

生：具有兩個(gè)未知數(shù)、并且未知數(shù)次數(shù)為1。

師：獨(dú)立思考，小組討論1分鐘，類比一元一次方程概念，說(shuō)說(shuō)二元一次方程的概念。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)讓學(xué)生觀察、探索、類比得出二元一次方程的概念，把課堂交還給學(xué)生，充分體現(xiàn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能動(dòng)性。

(二)遷移應(yīng)用，創(chuàng)新學(xué)習(xí)模式，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理素養(yǎng)

弗萊登塔爾強(qiáng)調(diào)，學(xué)生將所學(xué)知識(shí)“數(shù)學(xué)化”，即對(duì)知識(shí)的“再創(chuàng)造”，在這個(gè)過(guò)程學(xué)生可以自己發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造，進(jìn)而得出結(jié)論，并且學(xué)生有著較大的自主性，可以發(fā)展各種不同的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)方法。

1.請(qǐng)每位同學(xué)寫(xiě)一個(gè)關(guān)于x、y的二元一次方程；

2.同桌兩人把所寫(xiě)的二元一次方程聯(lián)立起來(lái)；

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)課堂活動(dòng)讓學(xué)生編題，把編寫(xiě)的二元一次方程聯(lián)合起來(lái)“創(chuàng)造”出二元一次方程組，并且所編的題目將貫徹整一節(jié)課的教學(xué)，大大地提升了課堂設(shè)計(jì)的嚴(yán)謹(jǐn)性。

3.師：回憶一元一次方程的解？

生：使得一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值。

師：類似地，你知道二元一次方程的解嗎？

練習(xí)：試試尋找二元一次方程x+y=8的解

設(shè)計(jì)意圖：此處設(shè)計(jì)由一元一次方程的解遷移到二元一次方程的解，目的在于讓學(xué)生體會(huì)到可以類比一元一次方程的學(xué)習(xí)方法開(kāi)展對(duì)二元一次方程的學(xué)習(xí)，滲透類比的數(shù)學(xué)思想。練習(xí)的設(shè)計(jì)目的在于說(shuō)明二元一次方程的解由兩個(gè)量(x，y)組成，并且通過(guò)取正數(shù)、負(fù)數(shù)、零、整數(shù)、分?jǐn)?shù)等解順應(yīng)學(xué)生的心理特征，從而引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)二元一次方程有無(wú)數(shù)組解。

4.請(qǐng)每位同學(xué)寫(xiě)出手上二元一次方程的幾組解，并嘗試找找一組x、y同時(shí)適合同桌兩個(gè)方程(安排5分鐘讓學(xué)生同桌兩人合作尋找公共解)。

設(shè)計(jì)意圖：以學(xué)生的“學(xué)”為出發(fā)點(diǎn)，將“自主探究、合作交流”的學(xué)習(xí)方式貫穿于始終，從注重課堂整體性的高度，讓學(xué)生作為課堂的主人充分體會(huì)合作學(xué)習(xí)的魅力，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法，培養(yǎng)良好的情感態(tài)度價(jià)值觀。

(三)整章預(yù)覽，感悟數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)強(qiáng)調(diào)，只有用思維方法的分析帶動(dòng)具體知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)，才能真正幫助學(xué)生學(xué)好相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)。數(shù)學(xué)章起始課中的思想內(nèi)涵是極為豐富的，我們不僅要重視知識(shí)和技能的傳授，還要引導(dǎo)學(xué)生深度理解內(nèi)容深層隱藏的數(shù)學(xué)思想方法和思維方法，滲透數(shù)學(xué)文化等隱性知識(shí)，為后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)、做好鋪墊。

1.課堂小結(jié)

以表格的形式列出一元一次方程與二元一次方程的異同。你學(xué)到了哪些新知識(shí)？哪些數(shù)學(xué)思想方法？

設(shè)計(jì)意圖：在課堂小結(jié)的環(huán)節(jié)意在在總結(jié)反思中，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，促進(jìn)良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和方法的養(yǎng)成。首先，由學(xué)生自己對(duì)本節(jié)課所學(xué)知識(shí)進(jìn)行歸納總結(jié)，在課堂展示后在通過(guò)師生共同評(píng)價(jià)修正，從而幫助學(xué)生建立整體性的認(rèn)知框架，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。其次，對(duì)課堂中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法及時(shí)的進(jìn)行總結(jié)提煉，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的中重要價(jià)值和作用，使得學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)上升到一個(gè)新的高度。

2.課后思考與作業(yè)

課后思考：根據(jù)課本103頁(yè)老牛和小馬的對(duì)話——

a.分別列出一元一次方程與二元一次方程組，再次體會(huì)兩種方法妙處；

b.求出一元一次方程的解，觀察是否適合二元一次方程組，并思考如何求方程組的解。

課后作業(yè)(其中①②題為必做題，③④題為選做題)：

①在下列中,哪些是二元一次方程x-3y=1的解？

③若方程 2xm-1-3y2m+n=1 是二元一次方程，那么m=____，n=____.

④明從郵局買(mǎi)了面值50分和80分的郵票共9枚，花費(fèi)6.3元,則小明買(mǎi)了兩種郵票各幾枚？

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖：針對(duì)學(xué)生的實(shí)際學(xué)情對(duì)教材做了大膽處理，把課前的情境引入放在課后思考讓學(xué)生分別從一元一次方程和二元一次方程組的角度體會(huì)兩種方式的妙處，并嘗試把一元一次方程方程的解代入二元一次方程組，尋找兩者之間的聯(lián)系，同時(shí)為下一節(jié)課消元法解二元一次方程方程組埋下伏筆。

三、反思教學(xué)設(shè)計(jì)，深究課堂模式

本課例從方程的角度，二元一次方程是一元一次方程方程的深化和延伸，二元一次方程在一定程度上都可以轉(zhuǎn)變成一元一次方程來(lái)解決。從函數(shù)的角度，二元一次方程可以看做是一種特殊的一次函數(shù)，二元一次方程的圖形表示的是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。而一次函數(shù)圖像表示的是x，y通過(guò)圖像的依賴關(guān)系。當(dāng)兩直線相交時(shí)對(duì)應(yīng)二元一次方程組有唯一的解，當(dāng)兩直線平行時(shí)對(duì)應(yīng)方程組無(wú)解，當(dāng)兩直線重合時(shí)對(duì)應(yīng)方程組有無(wú)數(shù)組解。在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)重視數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性，通過(guò)知識(shí)間的關(guān)聯(lián)性來(lái)培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力,逐步培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維能力,學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維分析問(wèn)題和解決問(wèn)題。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提倡高效的智慧課堂以學(xué)生的自主性、探究性、合作性學(xué)習(xí)為主體，師生共同合作實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。教學(xué)過(guò)程由“教”變?yōu)椤皩?dǎo)”，教師要放手教學(xué)，讓學(xué)生大膽去編題、組題參與課堂學(xué)習(xí)。

總之，在教學(xué)中，教師要善于營(yíng)造良好的學(xué)習(xí)氛圍，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，創(chuàng)造條件讓學(xué)生充分參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，發(fā)揮學(xué)生自主能動(dòng)性，要注意學(xué)生的學(xué)法指導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生自主獲取知識(shí)的能力，使學(xué)生學(xué)會(huì)知識(shí)、學(xué)會(huì)方法、提升能力以及培養(yǎng)良好情感價(jià)值觀，只有這樣，學(xué)生的自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)才能得到更好的提高，才能讓學(xué)生獲取更主動(dòng)的發(fā)展空間。