用動(dòng)量定理求解這道流體力學(xué)題錯(cuò)在哪里?

董井林 張洪清

(湖南省石門(mén)縣第一中學(xué),湖南 石門(mén) 415300)

1 問(wèn)題的提出

下面這道流體力學(xué)題,用動(dòng)量定理和伯努利方程兩種方法求解,所得結(jié)果截然不同．

圖1 計(jì)算v與h的關(guān)系

如圖1所示,一根水平管道a兩端與大氣相通,在管道上豎直插有一根上端開(kāi)口的“L”形彎管b.當(dāng)a管內(nèi)的液體以速度v勻速流動(dòng)時(shí),b管內(nèi)液面的高度為h,假設(shè)液體與管道之間不存在摩擦力,則v與h的關(guān)系是

解法1:用動(dòng)量定理求.

設(shè)b管底端開(kāi)口處的橫截面積為S,液體密度為ρ,在極短時(shí)間Δt內(nèi),與b管底端相沖擊的a管中的液體質(zhì)量Δm為

Δm=ρvΔtS.

(1)

對(duì)這質(zhì)量為Δm的液柱微元,設(shè)b管中底端靜止液體對(duì)它的作用力為F,由動(dòng)量定理知

0-Δmv=-FΔt.

(2)

由(1)、(2)式得

F=ρSv2.

又由牛頓第三定律知,b管中靜止液體受到a管中水流的沖擊力F′為

F′=F=ρSv2.

(3)

再對(duì)b管中高為h的靜止液柱,由平衡條件知

ρShg=F′.

(4)

由(3)、(4)式得

故應(yīng)選(B)項(xiàng).

解法2:用伯努利方程求.

設(shè)大氣壓強(qiáng)為p0,b管底端開(kāi)口處的液體壓強(qiáng)為p,液體密度為ρ,由伯努利方程可知

(5)

對(duì)b管中高為h的靜止液柱,由平衡條件知,

p0+ρhg=p.

(6)

由(5)、(6)式得

故應(yīng)選(A)項(xiàng).

這兩種解法的答案截然不同.實(shí)際上第1種解法中用動(dòng)量定理求解的過(guò)程有錯(cuò)誤,但一直以來(lái)是個(gè)謎,困擾中學(xué)物體教學(xué)界已經(jīng)很久了,正確答案應(yīng)選(A)項(xiàng).下面循序漸進(jìn)地分析其錯(cuò)解原因.

2 液柱垂直沖擊平板狀物體的過(guò)程中,其橫截面積要增大

從管口噴出的液柱在垂直沖擊平板狀物體后,若沿液柱前進(jìn)方向的速度變?yōu)?,則在沖擊過(guò)程中其橫截面積要增大,流線(xiàn)圖如圖2所示,[1]而不是橫截面積保持不變的如圖3所示的形狀.

圖2 液柱橫截面積增大

可能有很多人對(duì)此表示懷疑,還是讓我們先看看下面的例證吧.

圖4 水柱沖擊煤層示意圖

3 實(shí)例予以佐證

如圖4所示,水采煤時(shí),用水槍在高壓下噴出強(qiáng)力的水柱沖擊煤層,設(shè)水柱的橫截面積為S,水速為v,假設(shè)水柱射在煤層的表面上,沖擊煤層后速度變?yōu)?,求水柱對(duì)煤層的平均沖擊力.(水的密度為ρ)

解法1:用動(dòng)量定理求.

設(shè)在極短時(shí)間Δt內(nèi),沖擊煤層的水柱微元的質(zhì)量為Δm,則

Δm=ρvΔtS.

(7)

設(shè)煤層對(duì)這段水柱微元的平均作用力為F,對(duì)這段水柱微元,由動(dòng)量定理知

0-Δmv=-FΔt.

(8)

由(7)、(8)式得

F=ρSv2.

又由牛頓第三定律知,水柱對(duì)煤層的平均沖擊力F′為

F′=F=ρSv2.

解法2:用伯努利方程求.

設(shè)大氣壓強(qiáng)為p0,和煤層接觸處水柱的壓強(qiáng)為p,由伯努利方程知[2]

(9)

故水柱對(duì)煤層的平均沖擊力(不含大氣壓強(qiáng)對(duì)煤層的壓力)為

F′=(p-p0)s.

(10)

由(9)、(10)式得

由此可見(jiàn),液柱在垂直沖擊平板狀物體的過(guò)程中,其橫截面積確實(shí)是增大了的.

4 錯(cuò)解原因分析

因沖擊過(guò)程中液柱的橫截面積要增大,故平板面積過(guò)小時(shí),是不能把水柱給擋住(使沿垂直于平板方向的水流速度變?yōu)?,下同)的,液柱要斜著越過(guò)平板繼續(xù)流動(dòng),其流線(xiàn)圖如圖5所示,這種情況下水柱對(duì)平板的沖擊力,直接由動(dòng)量定理計(jì)算很困難,但我們可以用等效法來(lái)處理:一部分液柱被平板擋住而給平板以沖擊力;另一部分液柱未與平板沖擊而直接以原速度v到達(dá)平板后面繼續(xù)前進(jìn),其對(duì)平板沒(méi)有沖擊力.設(shè)其中被平板擋住的液柱微元的質(zhì)量為Δm′,由動(dòng)量定理可知

0-Δm′v=-FΔt.

(11)

圖5

F即為液柱對(duì)平板的沖擊力.

在解法1中,因所選的沖擊b管底端液柱的橫截面積和b管底端的橫截面積是相等的,而沖擊過(guò)程中液柱的橫截面積又要增大,故液柱不能被b管底端(相當(dāng)于平板)擋住.根據(jù)上面所介紹的等效法,對(duì)質(zhì)量為Δm=ρvΔtS的液柱微元,通過(guò)沖擊而使等效于沿前進(jìn)方向速度變?yōu)?的液體質(zhì)量Δm′應(yīng)小于Δm,其余的要繞過(guò)去以原速度v前進(jìn)等效于未沖擊.根據(jù)第一種解法并結(jié)合等效法容易得到Δmv>FΔt,而Δm=ρvΔtS,所以F<ρSv2.