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    多維視角巧切入 解三角形妙破解
    ——2019年北京卷文第15題

    2021-01-12 10:10:42郭建能
    數(shù)理化解題研究 2020年34期
    關(guān)鍵詞:余弦定理正弦定理

    郭建能

    (江蘇省啟東市第一中學(xué) 226200)

    解三角形問題是每年高考中的基本考點之一,有時以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),有時以解答題的形式出現(xiàn),一般難度維持在中等檔次.解三角形問題主要借助平面幾何圖形,特別是三角形中的邊與角之間的關(guān)系,通過正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等加以合理轉(zhuǎn)化與應(yīng)用,有時還綜合三角函數(shù)中的相關(guān)公式加以綜合與運算,從而達到破解相關(guān)的邊、角、比值、面積、參數(shù)等相應(yīng)的問題.解三角形往往與三角函數(shù)、平面向量等相關(guān)知識加以綜合,一般運算量大、公式應(yīng)用多.可以很好考查考生的運算求解能力,化歸與轉(zhuǎn)化思想等,關(guān)鍵要善于審題,合理轉(zhuǎn)化,采用有效的策略,優(yōu)化過程,提升效益.

    一、真題在線

    (1)求b,c的值;

    (2)求sin(B+C)的值.

    二、真題解析

    1.破解思維:解三角形思維

    方法1(官方標(biāo)答——正、余弦定理法)

    解得c=5,所以b=c+2=7.

    點評解三角形問題,多為平面幾何圖形中邊和角的求值與轉(zhuǎn)化問題,這就需要根據(jù)正弦定理、余弦定理以及三角形中的相關(guān)公式(三角形的面積公式、三角形內(nèi)角和公式等),結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系,從而達到解決問題的目的.其破解問題的基本步驟是:第一步:“定條件”,即確定平面幾何圖形,特別是三角形中的已知和所求,在平面幾何圖形中標(biāo)出來,然后確定轉(zhuǎn)化的方向;第二步:“定工具”,即根據(jù)條件和所求,有效、合理選擇轉(zhuǎn)化的工具,實施邊與角之間的相互轉(zhuǎn)化與應(yīng)用;第三步:“求結(jié)果”.

    2.破解思維:平面幾何思維

    方法2(平面幾何法1)

    圖1

    如圖1所示,過點A作AD⊥BC,垂足為D.

    而b-c=2,則有b=c+2=2m+2,

    在△ABC中,B+C=π-A,

    方法3(平面幾何法2)

    圖2

    如圖所示,過點C作CD⊥AB,垂足為D.

    而b-c=2,則有b=c+2.

    在Rt△ACD中,結(jié)合勾股定理有CD2+DA2=CA2,

    解得c=5,所以b=c+2=7.

    點評解三角形問題本身就是在平面幾何中進行的一般化探究與總結(jié),因而解三角形問題往往也可以回歸平面幾何,借助平面幾何的相關(guān)知識加以思維與破解.利用平面幾何知識破解復(fù)雜的解三角形問題時,關(guān)鍵是根據(jù)條件加以合理切割、補形等操作,將問題背景轉(zhuǎn)化到特殊的三角形模型中去——直角三角形、等腰三角形或等邊三角形等,進而結(jié)合特殊三角形中的相關(guān)定理與性質(zhì)(特別是直角三角形,比如勾股定理等)來處理,往往可以更為直觀形象、簡單快捷地達到解決一些相關(guān)的解三角形問題.

    三、變式拓展

    (1)求b,c的值;

    (2)求sin(B-C)的值.

    解析(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,

    因為b=c+2,

    解得c=5,所以b=c+2=7.

    在△ABC中,∠B為鈍角,所以∠C為銳角.

    四、解后反思

    對于解三角形中的相關(guān)綜合問題,關(guān)鍵是有效發(fā)現(xiàn)三角形中的邊、角等要素之間的內(nèi)在聯(lián)系與變化規(guī)律,利用解三角形中的相關(guān)知識(包括正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等)以及三角函數(shù)中的相關(guān)公式等加以有效轉(zhuǎn)化,從而充分融合與交匯不同的知識點,構(gòu)建起知識點的有效聯(lián)系與合理轉(zhuǎn)化,真正有助于學(xué)生知識體系的進一步融會貫通,數(shù)學(xué)解題能力與數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的全面提升,真正達到拓展思維,提升能力,培養(yǎng)素養(yǎng)的目的.

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