活躍在中學數(shù)學中的思想方法例談

李成輝

(安徽省宿州市靈璧中學 234200)

函數(shù)與方程思想就是用函數(shù)與方程的觀點，處理變量與未知數(shù)之間的關(guān)系；數(shù)形結(jié)合思想即是將數(shù)和形構(gòu)建相互聯(lián)系的體系，進行恰當轉(zhuǎn)化，求解問題.要想熟練、快速地解答此類問題，需要熟悉數(shù)學解題的三種語言，即文字語言、符號語言和圖形語言.

求解數(shù)學問題中，離不開轉(zhuǎn)化與化歸，有時也需要對問題分類討論才能得到需要的結(jié)論.要想對問題熟練、準確地求解，需要細讀題目，弄清題意，弄清題目中設計的相關(guān)數(shù)學概念、公式及其相互間的聯(lián)系，才能明白如何轉(zhuǎn)化、如何討論.

一、函數(shù)與方程思想

例1在等差數(shù)列{an}中，已知a1=13,3a2=11a6，則數(shù)列{an}的前n項和Sn的最大值為____.

解析方法一(函數(shù)法)：由3a2=11a6，得3×(13+d)=11×(13+5d)，解得d=-2，

所以an=13+(n-1)×(-2)=-2n+15.

所以當n=7時，數(shù)列{an}的前n項和Sn最大，最大值為S7=49.

方法二(通項法)：由解法一可得an=-2n+15.

解得6.5≤n≤7.5.

點評數(shù)列的通項與前n項和是自變量為整數(shù)的函數(shù)，可用函數(shù)的觀點去處理數(shù)列問題.常涉及最值問題或參數(shù)范圍問題，解決問題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性來研究最值問題.

二、數(shù)形結(jié)合思想

例2 已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，在(0，+∞)上是減函數(shù)，且在區(qū)間[a，b](a

圖1

A.有最大值4 B.有最小值-4

C.有最大值-3 D.有最小值-3

解析方法一：根據(jù)題意作出y=f(x)的簡圖，由圖知，選B.

方法二：當x∈[-b，-a]時，-x∈[a，b]，

由題意得f(b)≤f(-x)≤f(a)，即-3≤-f(x)≤4，

∴-4≤f(x)≤3，即在區(qū)間[-b，-a]上，f(x)min=-4，f(x)max=3.

故選B.

點評函數(shù)最值問題是高考試題中常見的一類考題，此類考題的求解方法常結(jié)合函數(shù)圖象進行解決，利用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學問題，有助于使問題更加直觀化.

三、分類討論思想

例3 已知函數(shù)f(x)=3-2log2x，g(x)=log2x.

(1)當x∈[1，4]時，求函數(shù)h(x)=(f(x)+1)·g(x)的值域；

解析(1)h(x)=(4-2log2x)·log2x=-2(log2x-1)2+2.

因為x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，

故函數(shù)h(x)的值域為[0，2].

(3-4log2x)(3-log2x)>k·log2x，

令t=log2x，因為x∈[1，4]，

所以t=log2x∈[0，2]，

所以(3-4t)(3-t)>k·t對一切t∈[0，2]恒成立，

①當t=0時，k∈R；

綜上，實數(shù)k的取值范圍為(-∞，-3).

點評分類討論思想的運用，在高中數(shù)學中的體現(xiàn)是十分明顯的，我們要清楚產(chǎn)生分類討論的具體緣由，這樣才能在分類討論時做到不重復也不遺漏.

四、轉(zhuǎn)化與化歸思想

圖2

點評本題需要先結(jié)合圖形引入輔助角，以便根據(jù)題意建立日總效益的函數(shù)關(guān)系式，然后通過求導分析并運用其單調(diào)性，即可順利求解目標問題.

分類討論問題主要涉及：由數(shù)學概念引起的分類討論；由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論；由數(shù)學運算要求引起的分類討論；由圖形的不確定性引起的分類討論；由參數(shù)的變化引起的分類討論.

轉(zhuǎn)化與化歸問題主要有：直接轉(zhuǎn)化法；換元法；數(shù)形結(jié)合法；等價轉(zhuǎn)化法.

高考題中考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想的題目較多，選擇題、填空題和解答題中都有.

函數(shù)與方程的思想在解題中的應用十分廣泛，如：函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化；數(shù)列的通項與前n項和；解析幾何問題；立體幾何中與線段、角、面積、體積的計算問題.

數(shù)形結(jié)合思想解決的問題常有：構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求解相關(guān)問題；構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問題；構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題；構(gòu)建方程模型，求根的個數(shù)；研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)；等等.