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    例談高中數(shù)學(xué)中的恒成立問題的解題方法

    2021-01-12 10:09:18錢夢迪
    數(shù)理化解題研究 2020年34期
    關(guān)鍵詞:最值圖象數(shù)形

    錢夢迪

    (江蘇省蘇州市常熟市中學(xué) 215500)

    一、分離參數(shù)求函數(shù)最值

    例1已知函數(shù)f(x)=ex-mx,x∈R,若x>0,關(guān)于x的不等式f(x)≥x2+1恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;

    小結(jié)本題通過不等式恒成立分離參數(shù),進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求得已知函數(shù)的最值,根據(jù)要求求得所求范圍.一般地,f(x)≥a恒成立,只需f(x)min≥a即可;f(x)≤a恒成立,只需f(x)max≤a即可.

    小結(jié)含雙變量的恒成立問題,按照變量的轉(zhuǎn)化順序解題.本題解法是分離出c后,先關(guān)于b求最值,再關(guān)于x求最值.本例也可以先關(guān)于x求最值,再關(guān)于b求最值,但解題過程復(fù)雜,運(yùn)算量大,讀者不妨一試.

    二、分類討論,研究含參函數(shù)的最值

    例3 若不等式(x+1)ln(x+1)

    解析可設(shè)f(x)=(x+1)ln(x+1)-ax2-2ax,問題轉(zhuǎn)化為f(x)<0在(0,+∞)上恒成立.求得f′(x)=ln(x+1)-2ax-2a+1,x>-1.

    (1) 當(dāng)a≤0時,f′(x)=ln(x+1)+1-2a(x+1)>0,則f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)>f(0)=0在(0,+∞)上恒成立,與已知不符,故a≤0不符合題意.

    小結(jié)本題用了函數(shù)思想法:將不等式轉(zhuǎn)化為某含待求參數(shù)的函數(shù)最值問題,利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值(最值),然后構(gòu)建不等式求解.一般的f(x)≤g(x)恒成立等價于f(x)-g(x)≤0恒成立,記G(x)=f(x)-g(x),則G(x)max≤0.本題中由于G(x)有參數(shù),需要分類討論,利用導(dǎo)數(shù)求最值.

    小結(jié)本題用了函數(shù)思想方法,對于多元素的恒成立問題,轉(zhuǎn)化順序,依次求解.

    三、數(shù)形結(jié)合,等價轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)圖象的最值

    解析當(dāng)-1

    由此作出函數(shù)f(x)的圖象,如圖所示.

    小結(jié)本題利用數(shù)形結(jié)合的思想,畫出函數(shù)圖象,研究取值范圍.

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