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    利用組合知識求二項(三項)展開式中的指定項(系數)

    2021-01-12 10:08:22田素偉
    數理化解題研究 2020年34期
    關鍵詞:三項式展開式二項式

    田素偉

    (上海市泥城中學 201306)

    二項式定理是高中數學的重要知識,在高考中考查的二項式定理大多是以填空題的形式出現.在掌握二項式定理及其通項公式的基礎上,學會利用計數原理與組合知識求二項(三項)展開式中的指定項(系數),會起到事半功倍的效果.

    一、一個二項式展開式中的指定項(系數)

    例題1在(1-2x)6的展開式中,x2的系數為____(用數字作答).

    所以在(1-2x)6的展開式中,x2的系數為60.

    故答案為:15.

    二、兩個二項式乘積展開式的指定項(系數)

    A.15 B.20 C.30 D.35

    評析對于兩個二項式乘積或者幾個多項式積的展開式中的特定項(系數)的問題,可以利用類似單項式與多項式的乘法或者多項式與多項式的乘法,轉化為多項式和的形式,然后利用組合知識來解決展開式指定項(系數)的問題.常需分類解決展開式中的特定項(系數),求出相應的特定項(系數),最后再進行合并.

    練習(2019年高考全國卷)(1+2x2)(1+x)4的展開式中x3的系數為____.

    A.12 B.16 C.20 D.24

    簡析(1+2x2)(1+x)4=(1+x)4+2x2(1+x)4.

    三、求三項式展開式的指定項(系數)

    例3(2015高考新課標1,理10)(x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數為( )

    A.10 B.20 C.30 D.60

    2.在(x2-3x+2)5的展開式中,x項的系數為____(結果用數值表示).

    3.(x2-x+1)10展開式中x3項的系數為(-210).

    分析(x2-x+1)10的展開式是10個(x2-x+1)相乘的結果.要其展開式中含x3的項,在本題(x2-x+1)10展開式中x3項,10個(x2-x+1)任意取3個括號內的(-x)相乘,可以得到x3項,10個(x2-x+1)任意取1個括號內(-x)與1個括號內的x2相乘,也可以得到x3項,所以分兩類.

    (x2-x+1)10展開式中x3項的系數為-210.

    利用計數原理和組合知識在求三項式展開式的指定項(系數)時的更為簡捷,所以在掌握二項式定理及其通項公式的基礎上,學會利用組合求二項(三項)展開式中的指定項(系數),可以使這類問題的解題更為簡便.

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